Przypomnijmy definicję funkcji.

Funkcja
Definicja: Funkcja

Dane są dwa niepuste zbiory XY.

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y. Symbolicznie oznaczamy f:XY i czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.

  • Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji f

  • Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element y zbioru Y, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y=fx. Zbiór tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

W zależności od tego, jakimi zbiorami są zbiory XY, funkcje określa się różnymi nazwami.

Gdy dziedzina funkcji   X i zbiór wartości funkcji   Y, to funkcję nazywa się funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

Jeżeli tylko zbiór wartości funkcji Y, to funkcję f nazywa się funkcją rzeczywistą.

Funkcje, których dziedzina i zbiór wartości są liczbami rzeczywistymi, nazywa się także funkcjami liczbowymi.

Zbiór wartości funkcji nie musi być identyczny z całą przeciwdziedziną.

Jeśli każdy element yY jest wartością funkcji f dla pewnego xX, to wówczas mówimy, że f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y.

Poniższe przykłady pomogą zrozumieć pojęcie funkcji liczbowej.

Przykład 1

Dana jest funkcja f, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej czwartą część powiększoną o 5. Określimy jej dziedzinę i zbiór wartości oraz wzór opisujący tę funkcję.

Rozwiązanie

Df=

ZW=

fx=0,25x+5

Jest to przykład funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej.  Każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami liczb rzeczywistych. Jest to też przykład odwzorowania „na”.

Przykład 2

Dana jest funkcja f, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej sześcian powiększony o 2. Określimy jej dziedzinę, zbiór wartości, wzór opisujący tę funkcję oraz wykonamy tabelkę częściową.

Rozwiązanie

Df=

ZW=

fx=x3+2

argumenty i wartości funkcji

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

fx

-62

-25

6

1

2

3

10

29

66

Jest to przykład funkcji liczbowej, ponieważ każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami liczb rzeczywistych. Jest to przykład odwzorowania „na”.

Przykład 3

Dana jest funkcja f, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje iloczyn tej liczby przez 5 powiększony o jej kwadrat. Określimy jej dziedzinę, zbiór wartości, wzór opisujący tę funkcję oraz sporządzimy tabelkę częściową.

Rozwiązanie

Df=

ZW=6,25,)

fx=5x+x2

argumenty i wartości funkcji

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

fx

-4

-6

-6

-4

0

6

14

24

36

Jest to przykład funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej.  Każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami liczbowymi.

Przykład 4

Dana jest funkcja f, która każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 10. Określimy dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.

Rozwiązanie

Df=+

ZW=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Jest to przykład funkcji liczbowej, ponieważ dziedzina i zbiór wartości są zbiorami liczbowymi.

Przykład 5

Czy przyporządkowanie, które każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje wszystkie jej dzielniki większe od jedności, jest funkcją?

Rozwiązanie

Jest to przykład przyporządkowania, które nie jest funkcją. Np. liczbie dwanaście możemy przyporządkować pięć różnych liczb: dwa, trzy, cztery, sześć, dwanaście.

Przykład 6

Dana jest funkcja f, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje kwadrat tej liczby pomniejszony o 7. Określimy jej dziedzinę, zbiór wartości, wzór opisujący tę funkcję oraz wykonamy tabelkę częściową.

Rozwiązanie

Df=

ZW=-7, 

fx=x2-7

argumenty i wartości funkcji

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

fx

9

2

-3

-6

-7

-6

-3

2

9

Jest to przykład funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej. Każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są pewnymi  zbiorami liczb rzeczywistych.

Słownik

funkcja liczbowa
funkcja liczbowa

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości są zbiorami liczb rzeczywistych