Warto przeczytać

Ciałem doskonale czarnymCiało doskonale czarne (ang. black body)Ciałem doskonale czarnym nazywamy obiekt, który pochłania całe padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne, niezależnie od temperatury tego ciała, czy częstotliwości padającego promieniowania.

Ponadto ciało doskonale czarne emituje promieniowanie, którego widmo zależy od jego temperatury. Wszystkie obiekty, które mają temperaturę powyżej 0 K emitują promieniowanie elektromagnetyczne o rozkładzie zgodnym z widmem ciała doskonale czarnego.

Widmo promieniowania emitowanego przez ciało doskonale czarne jest widmem ciągłym, którego maksimum, jak i całkowita moc promieniowania są uzależnione od temperatury tego ciała. Przykładowe wykresy widma promieniowania ciała doskonale czarnego dla różnych temperatur przedstawia Rys. 1.

R1escicF539rI

Rys. 1. Rysunek przedstawia wykres natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego od długości fali. Na osi pionowej odłożone jest natężenie promieniowania wyrażone w umownych jednostkach o wartościach od zera do 20000, na osi poziomej odłożono długość fali w nanometrach o wartościach od zera do 2000 nanometrów. Wykres wykonany jest dla pięciu temperatur i każda krzywa narysowana jest innym kolorem. Krzywa dla najwyższej temperatury 6000 K narysowana jest kolorem zielonym i ma kształt dzwonu z wyciągniętą niesymetrycznie prawą stroną. Maksimum natężenia promieniowania dla tej temperatury przypada dla długości fali około 500 nm i ma wartość 20000 jednostek. Pod tą krzywą narysowany jest wykres dla temperatury 5500 K kolorem żółtym. Może być narysowany pod krzywą zieloną, bo wszystkie jego wartości są mniejsze, maksimum przypada dla 520 nm, a wartość natężenia 13000. Kolejna krzywa jest dla temperatury 5000 K i narysowana jest kolorem pomarańczowym. Wartość maksymalna 8000 jednostek jest dla 530 nm. Kolejne krzywe są coraz niższe, maksima wynoszą 4000 i 2000 jednostek. A długości fali dla nich przesunięte są w kierunku fal długich. Kształt jest dalej krzywą dzwonową, ale coraz bardziej płaską i odkształconą z prawej strony.

Energia emitowana w jednostce czasu, przez jednostkową powierzchnię ciała doskonale czarnego na jednostkę długości fali, inaczej zwana jest radiancją spektralną ($R$).

Treścią prawa Plancka jest wzór określający zależność radiancji od długości fali i temperatury i ma następującą postać:

gdzie:

$c$ – prędkość światła w próżni równa w przybliżeniu $3\cdot 10^{8}m/s$

$h$ – stała Plancka równa $\mathrm{6,62607015}\cdot {10}^{-34}J\cdot s$ lub $\mathrm{4,14}\cdot {10}^{-15}eV\cdot s$

$\lambda$ – długość fali promieniowania

$k_B$ – stała Boltzmanna równa $\mathrm{1,38}\cdot {10}^{-23}J/K$ lub $\mathrm{8,62}\cdot {10}^{-5}eV/K$

Wyrażenie $exp\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)$ można również zapisać w postaci $e^{\frac{hc}{\lambda kT}}$. Jest ono liczbą $e$, czyli liczbą Eulera, podniesioną do potęgi $hc/\lambda kT$. Liczba Eulera jest podstawą logarytmu naturalnego i wynosi ok 2,718.

Max Planck wyprowadził ten wzór przyjmując wnękę z niewielkim otworem jako model ciała doskonale czarnego. Promieniowanie wpadające przez otwór do wnęki ulega w niej wielokrotnym odbiciom, czyli jest niemal w 100% pochłaniane. Powierzchnia otworu zachowuje się więc zgodnie z definicją ciała doskonale czarnego. Ponadto uczony przyjął kilka nieoczywistych w świetle mechaniki klasycznej założeń. Opierając się na nich otrzymał powyższy wzór, który dobrze zgadzał się z doświadczalnie wyznaczonym rozkładem radiancji. I to był sukces Plancka.

Postulaty Plancka:

1. Atomy ścianek wnęki zachowują się jak oscylatory, czyli obiekty, które drgają z charakterystyczną częstotliwością $f$

Przykładem oscylatora, z którym możesz się spotkać w życiu codziennym, jest klocek zawieszony na sprężynie. Po wychyleniu klocka z położenia równowagi, zaczyna on drgać, czyli oscylować, wokół położenia równowagi, z określoną częstotliwością.

Atomy ciała doskonale czarnego wg Plancka są małymi oscylatorami, które pochłaniają promieniowanie z wnęki oraz emitują promieniowanie do wnęki. Pomiędzy ściankami wnęki a promieniowaniem we wnęce nie ma jednak (średnio w czasie) przepływu energii, czyli pozostają one w równowadze termicznej.

2. Oscylatory przyjmują dyskretne, czyli nieciągłe, oddzielone od siebie wartości energii ($E_n$), które można opisać wzorem:

gdzie $n$ jest liczbą naturalną ($n$ = 1, 2, 3, …), f - częstotliwością drgań, a symbol $h$ oznacza stałą PlanckaPrawo Plancka (ang. Planck's distribution)stałą Plancka.

Aby przybliżyć Ci istotę tego założenia posłużmy się przykładem. Wyobraź sobie człowieka wspinającego się po stopniach drabiny. Jego grawitacyjna energia potencjalna jest iloczynem masy ($m$), wysokości nad ziemią ($w$) oraz przyspieszenia grawitacyjnego ($g$). Kolejne stopnie oddalone są od siebie o odległość $d$, czyli pierwszy stopień znajduje się na wysokości $w=d$, drugi na wysokości $w=2d$, a $n$-ty na wysokości $w=n\cdot d$. Grawitacyjna energia potencjalna człowieka stojącego na kolejnych stopniach wynosi więc $m\cdot g\cdot d,m\cdot g\cdot 2\cdot d,m\cdot g\cdot 3\cdot d,\dots ,m\cdot g\cdot n\cdot d$, czyli przyjmuje pewne dyskretne wartości. Określenie dyskretne wartości jest przeciwstawne określeniu ciągłe. Oczywiście dotyczy to wyłącznie sytuacji stania na stopniach drabiny, a nie wspinania się po nich.

Energia oscylatorów Plancka może przyjmować tylko dyskretne wartości, czyli jest skwantowana. Takie oscylatory nazywamy kwantowymi. Zwróć uwagę, że energia oscylatorów klasycznych, takich jak klocek zawieszony na sprężynie, może przyjmować dowolne wartości, czyli jest ciągła.

Warto podkreślić, że model kwantowego oscylatora harmonicznegoKwantowy oscylator harmoniczny (ang. quantum harmonic oscillator)kwantowego oscylatora harmonicznego jest współcześnie stosowany do opisu wielu układów fizycznych, np. jądra atomowego. Energia oscylatora nieznacznie różni się od zapostulowanej przez Plancka i wynosi $E_n=\left(n+1/2\right)\cdot h\cdot f$.

3. Liczba $n$ jest liczbą kwantową, co znaczy, że jednoznacznie określa energię oraz opisuje stan oscylatora, który nazywamy stanem kwantowym. Jeśli oscylator nie absorbuje i nie emituje energii to pozostaje w swoim stanie kwantowym.

Stanem o $n$ = 1 nazywamy stanem podstawowym, ma on najniższą z możliwych energii. Stany o większych liczbach $n$ nazywamy stanami wzbudzonymi.

4. Oscylatory mogą pochłaniać i emitować energię porcjami (kwantami). Emisja energii oznacza zmianę stanu kwantowego, czyli zmianę liczby kwantowej, o całkowitą wartość ($k$).

Zmiana energii oscylatora, czyli różnica pomiędzy energią końcową ($E_k$) i początkową ($E_p$) wynosi $\Delta E=E_k-E_p=\left(n+k\right)\cdot h\cdot f-n\cdot h\cdot f=k\cdot h\cdot f$.

Zmiana energii oscylatora jest więc całkowitą wielokrotnością iloczynu stałej Plancka i częstotliwości $h\cdot f$.

Powróćmy do przykładu z drabiną. Obliczmy, jaka będzie zmiana energii człowieka po wejściu o $k$ = 4 stopnie w górę. Początkowa energia człowieka znajdującego się na n‑tym stopniu wynosi $E_p=m\cdot g\cdot n\cdot d$, energia końcowa $E_k=m\cdot g\cdot \left(n+4\right)\cdot d$, zaś zmiana energii $\Delta E=m\cdot g\cdot \left(n+4\right)\cdot d-m\cdot g\cdot n\cdot d=4\cdot m\cdot g\cdot d$.

Otrzymaliśmy wyrażenie zgodne z postulatem 4. Postulat ten jest naturalną konsekwencją postulatu 2.

Te cztery postulaty umożliwiły Planckowi wyprowadzenie wzoru poprawnie opisującego widmo promieniowania ciała doskonale czarnego. Jednak jak pogodzić postulaty Plancka ze znanym z życia codziennego oscylatorem klasycznym? Dlaczego energia klocka jest ciągła i zależy od stałej sprężystości i amplitudy? Powodem jest bardzo mała wartość stałej Plancka, a przez to bardzo mała wielkość pojedynczej porcji energii. Posłużmy się przykładem. Rozważmy klocek o masie 1 kg, zawieszony na sprężynie o stałej sprężystości $k$ = 40 N/m, wykonujący drgania o amplitudzie wynoszącej $A$ = 15 cm.

Całkowita energia oscylatora wynosi

zaś jego częstotliwość

Pojedyncza porcja energii, według postulatu Plancka, wynosi $\Delta E=h\cdot f=\mathrm{6,62607015}\cdot {10}^{-34}J\cdot s\cdot 1Hz=6,6\cdot {10}^{-34}J$, czyli 33 rzędy wielkości mniej niż wynosi całkowita energia oscylatora. Oznacza to tyle, że aby otrzymać wielkość odpowiadającą kwantowi energii, energię całkowitą należy podzielić przez 1 i trzydzieści trzy zera! Wartość energii kwantu jest zdecydowanie poniżej czułości jakichkolwiek urządzeń pomiarowych. Energia klasycznego oscylatora jest, owszem, skwantowana, ale efekt ten jest niemierzalny, dlatego z dobrym przybliżeniem możemy traktować ją jako ciągłą.

Słowniczek