Przeczytaj

Układ równań

Definicja: Układ równań

Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Aby rozwiązać układ równań, należy znaleźć wszystkie układy liczb spełniające jednocześnie wszystkie równania składowe danego układu równań lub wykazać, że takich liczb nie ma.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcjękoniunkcjakoniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych $x$ oraz $y$ ,
$c_{1}$ i $c_{2}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Współczynniki odpowiednio przy $x$ oraz przy $y$ nie mogą być jednocześnie zerami.

Rozwiązanie układu równań

Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem układu równań z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb spełniających każde równanie danego układu równań.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy pary liczb $(6, 4)$ oraz $(4, 6)$ są rozwiązaniami układu równańrozwiązanie układu równańrozwiązaniami układu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Sprawdzamy wartości liczbowe wyrażeń znajdujących się po lewej stronie kolejnych równań składowych i porównujemy je z wartościami liczbowymi znajdującymi się po prawej stronie tych równań.

Rozpatrzmy parę $(6, 4)$ . Wtedy $\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 4 \end{cases}$ .

$L_{1} = x + y = 6 + 4 = 10 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = 2 x - 3 y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 0 = P_{2} \Rightarrow L_{2} = P_{2}$

A zatem para liczb $(6, 4)$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Sprawdźmy teraz parę liczb $(4, 6)$ . Wiemy, że $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 6 \end{cases}$ .

$L_{1} = x + y = 4 + 6 = 10 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = 2 x - 3 y = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 6 = - 10 \neq 0 = P_{2} \Rightarrow L_{2} \neq P_{2}$

Aby para liczb była rozwiązaniem układu równań, musi spełniać jednocześnie każde równanie układu.

Para liczb $(4, 6)$ spełnia pierwsze równanie, ale nie spełnia drugiego z nich, a zatem nie jest rozwiązaniem układu równańukład równańukładu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Przykład 2

Narysujmy w jednym układzie współrzędnych ilustracje graficzne równań

$2 x + y = 5$ oraz $4 x - 2 y = 6$ .

Interpretacją geometryczną równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.

Wyznaczamy niewiadomą $y$ z każdego równania i rysujemy wykresy równań.

$2 x + y = 5$ oraz $4 x - 2 y = 6$

$y = - 2 x + 5$ oraz $- 2 y = - 4 x + 6 |: (- 2)$

$y = - 2 x + 5$ oraz $y = 2 x - 3$

R1K5NPQqJPAQC

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do sześciu i pionową osią y od minus 4 do siedmiu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie proste. Pierwsza o równaniu y=−2x+5 i druga o równaniu y=2x−3. Proste przecinają się w jednym punkcie, który został zaznaczony zamalowaną kropką i oznaczony literą A. Współrzędne tego punktu to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu.

Wykresy równań:

$2 x + y = 5$ oraz $4 x - 2 y = 6$ .

przecinają się w punkcie $A = (2, 1)$ .

Punkt ten należy jednocześnie do każdego z wykresów, jest więc rozwiązaniem każdego z równań.

Stąd para $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ 4 x - 2 y = 6 \end{cases}$ .

Układ równań oznaczony

Definicja: Układ równań oznaczony

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym.

Przykład 3

W prostokątnym układzie współrzędnych narysujemy wykresy równań

$4 x + 5 y = - 6$ oraz $- 2 x - 2, 5 y = 3$ .

Wyznaczamy niewiadomą $y$ z każdego równania:

$4 x + 5 y = - 6$ oraz $- 2 x - 2, 5 y = 3$

$5 y = - 4 x - 6 |: 5$ oraz $- 2, 5 y = 2 x + 3 |: (- 2, 5)$

$y = - 0, 8 x - 1, 2$ oraz $y = - 0, 8 x - 1, 2$

A zatem równania $4 x + 5 y = - 6$ oraz $- 2 x - 2, 5 y = 3$ są równoważne, a ich wykresy się pokrywają.

RxssNU3OoUm1l

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do trzech i pionową osią y od minus 3 do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się prosta, która jest opisana dwoma następującymi równaniami, równanie pierwsze 4x+5y=−6, równanie drugie −2x−2,5y=3.

Istnieje nieskończenie wiele punktów, które należą jednocześnie do jednego i drugiego równania. Ich współrzędne spełniają też układ równańukład równańukład równań

$\{\begin{cases} 4 x + 5 y = - 6 \\ - 2 x - 2, 5 y = 3 \end{cases}$ .

Układ ten ma więc nieskończenie wiele rozwiązań postaci $(x, - 0, 8 x - 1, 2)$ .

Układ równań nieoznaczony

Definicja: Układ równań nieoznaczony

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb, nazywamy układem nieoznaczonym.

Przykład 4

W prostokątnym układzie współrzędnych narysujemy wykresy równań

$3 x - y = 2$ oraz $- 6 x + 2 y = 2$ .

Korzystając z wykresów odczytamy rozwiązanie układu tych równań.

Wyznaczamy niewiadomą $y$ z każdego równania i rysujemy wykresy równań.

$3 x - y = 2$ oraz $- 6 x + 2 y = 2$

$- y = - 3 x + 2$ oraz $2 y = 6 x + 2 |: 2$

$y = 3 x - 2$ oraz $y = 3 x + 1$

RHGQYKIEvaBR4

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do czterech i pionową osią y od minus 3 do sześciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie równoległe do siebie proste. Pierwsza o równaniu 6x+2y=2 i druga o równaniu 3x−y=2.

Wykresy równań $3 x - y = 2$ oraz $- 6 x + 2 y = 2$ są równoległymi prostymi nie posiadającymi wspólnych punktów. Nie istnieje więc żaden punkt, który należy jednocześnie do zbioru rozwiązań pierwszego i drugiego równania.

A zatem zbiorem rozwiązań układu równań

$\{\begin{cases} 3 x - y = 2 \\ - 6 x + 2 y = 2 \end{cases}$

jest zbiór pusty.

Układ równań sprzeczny

Definicja: Układ równań sprzeczny

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie posiada rozwiązań, nazywamy układem sprzecznym.

Przykład 5

Układy równań liniowych często wykorzystujemy do rozwiązywania zadań z treścią. Zapiszmy układ równań, który pozwoli rozwiązać następujące zadanie:

Suma dwóch liczb wynosi $12$ , a jedna z liczb jest $3$ razy większa od drugiej. Znajdź te liczby.

Wprowadzamy oznaczenia:
$x$ – pierwsza liczba,
$y$ – druga liczba.

Zapisujemy odpowiedni układ równań:

$\{\begin{cases} x + y = 12 \\ y = 3 x \end{cases}$

Otrzymaliśmy układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

W tym przypadku łatwo zgadnąć, że szukane liczby to $3$ i $9$ , więc rozwiązaniem układu jest para liczb $(3, 9)$ .

Słownik

koniunkcja

zdanie złożone postaci „ $p \land q$ ” (czyt.: $p$ i $q$ ); iloczyn logiczny; część wspólna

układ równań

koniunkcja co najmniej dwóch równań

rozwiązanie układu równań

układ liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik