Pani Zosia wpłaciła do banku na dwuletnią lokatę kwotę $5000 \mathrm{zł}$. Kapitalizacja odsetek jest naliczana w banku po każdym roku oszczędzania. Po dwóch latach pani Zosia odebrała z banku kwotę nie mniejszą niż $5618 \mathrm{zł}$. Obliczymy jakie było roczne oprocentowanie tej lokaty (nie uwzględniamy podatku od dochodu).

Niech:

$x$ – oznacza roczne oprocentowanie lokat (wyrażone w ułamku dziesiętnym).

Korzystając z wzoru na procent składany mamy:

$5000\cdot {\left(1+x\right)}^2\ge 5618$

${\left(1+x\right)}^2\ge 1,1236$

$\left|1+x\right|\ge 1,06$

$1+x\ge 1,06$ lub $1+x\le -1,06$

$x\ge 0,06$ lub $x\le -2,06$

sprzeczność

Oprocentowanie lokaty w stosunku rocznym było nie mniejsze niż $6\%$.

Długości boków trójkąta są kolejnymi dwucyfrowymi liczbami naturalnymi niepodzielnymi przez $4$. Obliczymy te liczby, jeżeli wiadomo że suma ich kwadratów jest nie większa od $590$.

Kolejne liczby naturalne niepodzielne przezkolejne liczby naturalne niepodzielne przez $4$Kolejne liczby naturalne niepodzielne przez $4$ to $4n+1$, $4n+2$, $4n+3$ dla $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Zapiszemy i rozwiążemy nierówność opisującą sytuację przedstawioną w zadaniu.

${\left(4n+1\right)}^2+{\left(4n+2\right)}^2+{\left(4n+3\right)}^2\le 590$

$16n^2+8n+1+16n^2+16n+4+16n^2+24n+9\le 590$

$48n^2+48n-576\le 0|:48$

$n^2+n-12\le 0$

$\left(n+4\right)\left(n-3\right)\le 0$

$n\in ⟨-4,3⟩$ i $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$n\in \left\{0,1,2,3\right\}$

Dla $n=0$ otrzymujemy liczby $1$, $2$, $3$.

Dla $n=1$ otrzymujemy liczby $5$, $6$, $7$.

Dla $n=2$ otrzymujemy liczby $9$, $10$, $11$.

Liczby nie spełniają warunków zadania, bo nie są dwucyfrowe.

Dla $n=3$ otrzymujemy liczby $13$, $14$, $15$.

Długości boków trójkąta to $13$, $14$, $15$.

Wyznaczymy trzy kolejne liczby naturalne takie, że podwojona różnica kwadratów trzeciej i pierwszej liczby jest większa od kwadratu drugiej liczby.

Kolejne liczby naturalne, to $n$, $n+1$, $n+2$ dla $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

$2\left[{\left(n+2\right)}^2-n^2\right]>{\left(n+1\right)}^2$

$2\left(n^2+4n+4-n^2\right)>n^2+2n+1$

$8n+8>n^2+2n+1$

$-n^2+6n+7>0$

$-\left(n+1\right)\left(n-7\right)>0$

$n\in \left(-1,7\right)$ i $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$n\in \{0,1,2,3,4,5,6\}$

Czyli szukane trójki liczb naturalnych to:

$\left(0,1,2\right)$, $\left(1,2,3\right)$, $\left(2,3,4\right)$, $\left(3,4,5\right)$, $\left(4,5,6\right)$, $\left(5,6,7\right)$, $\left(6,7,8\right)$.

Długości boków prostokąta wyrażają się liczbami naturalnymi mniejszymi od $16$ i różnią się o $4$. Obliczymy długości boków prostokąta, jeżeli pole prostokąta jest większe od $45$.

Niech:

$x$ - pierwszy bok prostokąta,

$x+4$ - drugi bok prostokąta.

Czyli mamy:

$x\left(x+4\right)>45$

$x^2+4x-45>0$

$\left(x-5\right)\left(x+9\right)>0$

$x\in \left(-\mathrm{\infty },-9\right)\cup \left(5,\mathrm{\infty }\right)$

Ponieważ $x\in \mathrm{\mathbb{N}}$ i $x<16$

$x+4\in \mathrm{\mathbb{N}}$ i $x+4<16$

$x<12$

Czyli $x\in \left\{6,7,8,9,10,11\right\}$

Zatem prostokąt może mieć boki o długości $6$ i $10$, lub $7$ i $11$, lub $8$ i $12$, lub $9$ i $13$, lub $10$ i $14$, lub $11$ i $15$.

liczby postaci $4n+1$, $4n+2$, $4n+3$ dla $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$