Dany jest wielomian $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$, w którym wszystkie współczynniki $a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_1$ i $a_0$ są liczbami całkowitymi, przy czym $a_n\ne 0$ i $a_0\ne 0$.
Jeżeli liczba całkowita $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$, to $p$ jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego $a_0$.

Dany jest wielomian $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$, w którym wszystkie współczynniki $a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_1$ i $a_0$ są liczbami całkowitymi, przy czym $a_n\ne 0$ i $a_0\ne 0$.
Jeżeli liczba wymierna $\frac{p}{q}$ zapisana w postaci ułamka nieskracalnego, w którym liczby $p$ i $q$ są całkowite jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$, to $p$ jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego $a_0$, zaś $q$ jest dzielnikiem współczynnika $a_n$ przy najwyższej potędze zmiennej.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
$W\left(x\right)=3x^3+2x^2-4x-1$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wielomian ten ma pierwiastek całkowity $1$. Możemy zatem podzielić $W\left(x\right)$ przez dwumian $x-1$.

Po wykonaniu dzielenia (np. schematem Hornera) uzyskamy zapis
$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(3x^2+5x+1\right)$.

Za pomocą wyróżnika możemy stwierdzić, że uzyskany wielomian drugiego stopnia jest rozkładalny. Po wyznaczeniu jego pierwiastków zapisujemy $W\left(x\right)$ w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych
$W\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+\frac{5+\sqrt{13}}{6}\right)\left(x+\frac{5-\sqrt{13}}{6}\right)$.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
$W\left(x\right)=3x^4+17x^3+30x^2+12x-8$.

Rozwiązanie

Analizując dzielniki wyrazu wolnego możemy zauważyć, że $W\left(-2\right)=0$, czyli wielomian jest podzielny przez dwumian $x+2$.

Po wykonaniu dzielenia dostajemy
$W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(3x^3+11x^2+8x-4\right)$.

Analizując analogicznie wielomian $3x^3+11x^2+8x-4$, możemy stwierdzić, że również jego pierwiastkiem jest $\left(-2\right)$. Zatem
$Wx={\left(x+2\right)}^2\left(3x^2+5x-2\right)$.

Po wyznaczeniu pierwiastków funkcji kwadratowej uzyskujemy rozkład $W\left(x\right)$ na wielomiany nierozkładalne
$W\left(x\right)=3{\left(x+2\right)}^3\left(x-\frac{1}{3}\right)$
co można też zapisać w postaci
$W\left(x\right)={\left(x+2\right)}^3\left(3x-1\right)$.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
$W\left(x\right)=2x^5+x^4+8x^3+4x^2+6x+3$.

Rozwiązanie

Sprawdźmy, czy wielomian ma pierwiastek całkowitytwierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitychpierwiastek całkowity, analizując dzielniki wyrazu wolnego. Po obliczeniach możemy stwierdzić, że żadna z liczb $\left(-3\right)$, $3$, $\left(-1\right)$, $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$.

Sprawdźmy, czy wielomian ma pierwiastki niecałkowite wymiernetwierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitychpierwiastki niecałkowite wymierne - jeśli istnieją, muszą być wśród liczb $\left(-\frac{3}{2}\right)$, $\frac{3}{2}$, $\left(-\frac{1}{2}\right)$, $\frac{1}{2}$.
Wykonując obliczenia, można zauważyć, że $W\left(-\frac{1}{2}\right)=0$.

Zgodnie z twierdzeniem Bézouta wielomian $W\left(x\right)$ jest więc podzielny przez dwumian $x+\frac{1}{2}$. Możemy też podzielić go przez dwukrotność tego dwumianu, czyli przez $2x+1$.

Po wykonaniu dzielenia uzyskamy
$W\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(x^4+4x^2+3\right)$.

Rozłóżmy teraz wielomian $x^4+4x^2+3$.

Można to zrobić używając metod stosowanych przy rozwiązywaniu równań dwukwadratowych (wprowadzając niewiadomą pomocniczą $t=x^2$). Można też zauważyć możliwość użycia wzorów skróconego mnożenia
$x^4+4x^2+3=\left(x^4+4x^2+4\right)-1=$
$={\left(x^2+2\right)}^2-1=\left(x^2+2+1\right)\left(x^2+2-1\right)=$
$=\left(x^2+3\right)\left(x^2+1\right)$.

Zatem $W\left(x\right)$ można zapisać w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych
$W\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(x^2+3\right)\left(x^2+1\right)$.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
$W\left(x\right)=x^5+x^4-6x^3+8x^2+8x-48$.

Rozwiązanie

Jeśli wielomian $W\left(x\right)$ ma pierwiastki wymierne, to będą to całkowite dzielniki liczby $48$.

Zauważmy, że $W\left(\pm 1\right)\ne 0$, ale $W\left(2\right)=32+16-6·8+8·4+8·2-48=0$.

Możemy zatem zapisać $W\left(x\right)$ jako iloczyn dwumianu $x-2$ i pewnego wielomianu czwartego stopnia
$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^4+3x^3+8x+24\right)$.

Zauważmy, że $x^4+3x^3+8x+24$ łatwo rozłożyć na czynniki przez grupowanie
$x^4+3x^3+8x+24=$
$=x^3\left(x+3\right)+8\left(x+3\right)=\left(x+3\right)\left(x^3+8\right)$.

Do rozkładu wielomianu $x^3+8$ łatwo z kolei użyć wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów
$x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$,
przy czym uzyskany wielomian drugiego stopnia $x^2-2x+4$ jest już nierozkładalny.

Podsumowując
$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$.

Wiedząc, że zachodzi równość $x^5-5x^4+40x^2-80x+48={\left(x+x_1\right)}^{n_1}{\left(x+x_2\right)}^{n_2}$ wyznaczymy liczby $x_1, x_2, n_1, n_2$

Rozwiązanie

Zauważmy, że $n_1+n_2=5$ – jest to stopień wielomianu. Jednocześnie wyraz wolny to $48=x_1^{n_1}·x_2^{n_2}$. Rozkładając lczbę $48$ na czynniki otrzymamy $2^4·3$. Zatem $x_1=3$, $n_1=1$ i $n_2=4$. Zauważmy, że niektóre współczynniki wielomianu są liczbami ujemnymi. Wynika stąd, że jeden z pierwiastków wielomianu jest liczbą ujemną. Dlatego $x_2=-2$.

Dany jest wielomian trzeciego stopnia $W\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ o współczynnikach całkowitych. Wiadomo, że jest on podzielny przez dwumian $x-1,25$. Wskażemy, jakie liczby mogą być wyrazem wolnym tego wielomianu.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $1,25=\frac{5}{4}$, zatem wielomian $W$ można zapisać w postaci:

$W\left(x\right)=\left(x+\frac{5}{4}\right)·\left(a{x}^2+mx+n\right)$

Wyłączymy $\frac{1}{4}$ przed nawias:

$W\left(x\right)=\frac{1}{4}\left(4x+5\right)·\left(a{x}^2+mx+n\right)$

Zauważmy, że $d=5n$.

Skoro współczynniki wielomianu mają być liczbami całkowitymi, to $d$ musi być wielokrotnością liczby $5$.

liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W\left(x\right)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty

dany jest wielomian $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$, w którym wszystkie współczynniki $a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_1$ i $a_0$ są liczbami całkowitymi, przy czym $a_n\ne 0$ i $a_0\ne 0$.
Jeżeli liczba całkowita $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$, to $p$ jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego $a_0$

dany jest wielomian $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$, w którym wszystkie współczynniki $a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_1$ i $a_0$ są liczbami całkowitymi, przy czym $a_n\ne 0$ i $a_0\ne 0$.
Jeżeli liczba wymierna $\frac{p}{q}$ zapisana w postaci ułamka nieskracalnego, w którym liczby $p$ i $q$ są całkowite jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$, to $p$ jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego $a_0$, zaś $q$ jest dzielnikiem współczynnika $a_n$ przy najwyższej potędze zmiennej