Przypomnijmy na początek podstawowe twierdzenia pozwalające wyznaczyć niektóre pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych.

o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych
Twierdzenie: o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych

Dany jest wielomian Wx=anxn+an-1xn-1++a1x+a0, w którym wszystkie współczynniki an, an-1, , a1a0 są liczbami całkowitymi, przy czym an0a00.
Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu Wx, to p jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego a0.

o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych
Twierdzenie: o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych

Dany jest wielomian Wx=anxn+an-1xn-1++a1x+a0, w którym wszystkie współczynniki an, an-1, , a1a0 są liczbami całkowitymi, przy czym an0a00.
Jeżeli liczba wymierna pq zapisana w postaci ułamka nieskracalnego, w którym liczby pq są całkowite jest pierwiastkiem wielomianu Wx, to p jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego a0, zaś q jest dzielnikiem współczynnika an przy najwyższej potędze zmiennej.

Bazując na znajomości pierwiastków i twierdzeniu Bézoutatwierdzenie Bézoutatwierdzeniu Bézouta pokażemy rozwiązania kilku zadań.

Przykład 1

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
Wx=3x3+2x2-4x-1.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wielomian ten ma pierwiastek całkowity 1. Możemy zatem podzielić Wx przez dwumian x-1.

Po wykonaniu dzielenia (np. schematem Hornera) uzyskamy zapis
Wx=x-13x2+5x+1.

Za pomocą wyróżnika możemy stwierdzić, że uzyskany wielomian drugiego stopnia jest rozkładalny. Po wyznaczeniu jego pierwiastków zapisujemy Wx w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych
Wx=3x-1x+5+136x+5-136.

Przykład 2

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
Wx=3x4+17x3+30x2+12x-8.

Rozwiązanie

Analizując dzielniki wyrazu wolnego możemy zauważyć, że W-2=0, czyli wielomian jest podzielny przez dwumian x+2.

Po wykonaniu dzielenia dostajemy
Wx=x+23x3+11x2+8x-4.

Analizując analogicznie wielomian 3x3+11x2+8x-4, możemy stwierdzić, że również jego pierwiastkiem jest -2. Zatem
Wx=x+223x2+5x-2.

Po wyznaczeniu pierwiastków funkcji kwadratowej uzyskujemy rozkład Wx na wielomiany nierozkładalne
Wx=3x+23x-13
co można też zapisać w postaci
Wx=x+233x-1.

Przykład 3

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
Wx=2x5+x4+8x3+4x2+6x+3.

Rozwiązanie

Sprawdźmy, czy wielomian ma pierwiastek całkowitytwierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitychpierwiastek całkowity, analizując dzielniki wyrazu wolnego. Po obliczeniach możemy stwierdzić, że żadna z liczb -3, 3, -1, 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu Wx.

Sprawdźmy, czy wielomian ma pierwiastki niecałkowite wymiernetwierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitychpierwiastki niecałkowite wymierne - jeśli istnieją, muszą być wśród liczb -32, 32, -12, 12.
Wykonując obliczenia, można zauważyć, że W-12=0.

Zgodnie z twierdzeniem Bézouta wielomian Wx jest więc podzielny przez dwumian x+12. Możemy też podzielić go przez dwukrotność tego dwumianu, czyli przez 2x+1.

Po wykonaniu dzielenia uzyskamy
Wx=2x+1x4+4x2+3.

Rozłóżmy teraz wielomian x4+4x2+3.

Można to zrobić używając metod stosowanych przy rozwiązywaniu równań dwukwadratowych (wprowadzając niewiadomą pomocniczą t=x2). Można też zauważyć możliwość użycia wzorów skróconego mnożenia
x4+4x2+3=x4+4x2+4-1=
=x2+22-1=x2+2+1x2+2-1=
=x2+3x2+1.

Zatem Wx można zapisać w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych
Wx=2x+1x2+3x2+1.

Przykład 4

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
Wx=x5+x4-6x3+8x2+8x-48.

Rozwiązanie

Jeśli wielomian Wx ma pierwiastki wymierne, to będą to całkowite dzielniki liczby 48.

Zauważmy, że W±10, ale W2=32+16-6·8+8·4+8·2-48=0.

Możemy zatem zapisać Wx jako iloczyn dwumianu x-2 i pewnego wielomianu czwartego stopnia
Wx=x-2x4+3x3+8x+24.

Zauważmy, że x4+3x3+8x+24 łatwo rozłożyć na czynniki przez grupowanie
x4+3x3+8x+24=
=x3x+3+8x+3=x+3x3+8.

Do rozkładu wielomianu x3+8 łatwo z kolei użyć wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów
x3+8=x+2x2-2x+4,
przy czym uzyskany wielomian drugiego stopnia x2-2x+4 jest już nierozkładalny.

Podsumowując
Wx=x-2x+3x+2x2-2x+4.

Przykład 5

Wiedząc, że zachodzi równość x5-5x4+40x2-80x+48=x+x1n1x+x2n2 wyznaczymy liczby x1, x2, n1, n2

Rozwiązanie

Zauważmy, że n1+n2=5 – jest to stopień wielomianu. Jednocześnie wyraz wolny to 48=x1n1·x2n2. Rozkładając lczbę 48 na czynniki otrzymamy 24·3. Zatem x1=3, n1=1n2=4. Zauważmy, że niektóre współczynniki wielomianu są liczbami ujemnymi. Wynika stąd, że jeden z pierwiastków wielomianu jest liczbą ujemną. Dlatego x2=-2.

Przykład 6

Dany jest wielomian trzeciego stopnia Wx=ax3+bx2+cx+d o współczynnikach całkowitych. Wiadomo, że jest on podzielny przez dwumian x-1,25. Wskażemy, jakie liczby mogą być wyrazem wolnym tego wielomianu.

Rozwiązanie

Zauważmy, że 1,25=54, zatem wielomian W można zapisać w postaci:

Wx=x+54·ax2+mx+n

Wyłączymy 14 przed nawias:

Wx=144x+5·ax2+mx+n

Zauważmy, że d=5n.

Skoro współczynniki wielomianu mają być liczbami całkowitymi, to d musi być wielokrotnością liczby 5.

Słownik

twierdzenie Bézouta
twierdzenie Bézouta

liczba a jest pierwiastkiem wielomianu Wx wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian Wx dzieli się przez dwumian x-a bez reszty

twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych
twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych

dany jest wielomian Wx=anxn+an-1xn-1++a1x+a0, w którym wszystkie współczynniki an, an-1, , a1a0 są liczbami całkowitymi, przy czym an0a00.
Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu Wx, to p jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego a0

twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych
twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych

dany jest wielomian Wx=anxn+an-1xn-1++a1x+a0, w którym wszystkie współczynniki an, an-1, , a1a0 są liczbami całkowitymi, przy czym an0a00.
Jeżeli liczba wymierna pq zapisana w postaci ułamka nieskracalnego, w którym liczby pq są całkowite jest pierwiastkiem wielomianu Wx, to p jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego a0, zaś q jest dzielnikiem współczynnika an przy najwyższej potędze zmiennej