Przeczytaj

Równanie kwadratowe niezupełne

Definicja: Równanie kwadratowe niezupełne

Równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , dla $a \neq 0$ , $b = 0$ lub $c = 0$ .

Parametry w matematyce najczęściej oznacza się początkowymi literami alfabetu, np. $a$ , $b$ lub symbolami $m$ , $n$ , $p$ , $s$ . Końcowe litery alfabetu często używane są jako zmienne, choć nie jest to regułą. Dlatego w poleceniu zadania często pojawia się informacja, która litera jest zmienną, a która parametrem.

Zwróć uwagę na oznaczenia parametrów w poniższych przykładach.

Przykład 1

Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru $k$ , dla których jednym z rozwiązań równania kwadratowego niezupełnego $3 k x^{2} - (k + 1) \cdot x = 0$ z niewiadomą $x$ jest liczba $(- 2)$ .

Do równania podstawimy w miejsce $x$ liczbę $(- 2)$ .

$3 k {(- 2)}^{2} - (k + 1) \cdot (- 2) = 0$

$12 k + 2 k + 2 = 0$

$14 k = - 2$

$k = - \frac{1}{7}$

Aby jednym z rozwiązań równania niezupełnego $3 k \cdot x^{2} - (k + 1) \cdot x = 0$ była liczba $(- 2)$ parametr

$k = - \frac{1}{7}$ .

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru $k$ równanie $x^{2} - 2 k^{2} x - x = 0$ z niewiadomą $x$ ma dwa rozwiązania, z których jedno jest równe $0$ , a drugie jest liczbą dodatnią?

Najpierw uporządkujemy i zapiszemy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej.

$x^{2} - (2 k^{2} + 1) x = 0$

$x [x - (2 k^{2} + 1)] = 0$

$x = 0$ lub $x = 2 k^{2} + 1$

Wyrażenie $2 k^{2} + 1 > 0$ dla dowolnego $k \in ℝ$ .

Warunki zadania są spełnione dla $k \in ℝ$ .

Przykład 3

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełne $x^{2} + 4 = m^{2}$ z niewiadomą $x$ ma dokładnie jedno rozwiązanie?

$x^{2} + 4 = m^{2}$

$x^{2} = m^{2} - 4$

$m^{2} - 4 = 0$

$(m - 2) (m + 2) = 0$

$m = 2$ lub $m = - 2$

Aby równanie miało jedno rozwiązanie $m = - 2$ lub $m = 2$ .

Przykład 4

Ustalimy, dla jakich wartości parametru $k$ rozwiązaniem równania $x^{2} - k^{2} + 6 k - 9 = 0$ są liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ spełniające warunek $|x_{1} - x_{2}| = 4$ .

$x^{2} - k^{2} + 6 k - 9 = 0$

$x^{2} = k^{2} - 6 k + 9$

$x^{2} = {(k - 3)}^{2}$

Czyli $x_{1} = k - 3$ lub $x_{2} = - k + 3$

$|x_{1} - x_{2}| = |k - 3 - (- k + 3)| = |k - 3 + k - 3| = |2 k - 6|$

$|2 k - 6| = 4$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$2 k - 6 = 4$ lub $2 k - 6 = - 4$

$2 k = 10$ lub $2 k = 2$

$k = 5$ lub $k = 1$

Przykład 5

Określimy, kiedy równanie $|x^{2} - 9| = m - 1$ jest sprzeczne.

Aby równanie było sprzeczne wyrażenie $m - 1$ musi być liczbą ujemną.

$m - 1 < 0$

$m < 1$

Aby równanie było sprzeczne $m \in (- \infty, 1)$ .

Słownik

równanie kwadratowe niezupełne

równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , dla $a \neq 0$ , $b = 0$ lub $c = 0$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik