Przeczytaj
Pochodna funkcji w punkcie
Zaczniemy od przypomnienia definicji pochodnej funkcji w punkcie. Załóżmy, że mamy daną funkcję oraz punkt , należący do jej dziedziny wraz ze swoim otoczeniem. Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego postaci
i oznaczamy przez . Z geometrycznego punktu widzenia ilorazy różnicowe, które rozważamy, są współczynnikami kierunkowymi siecznych do wykresu funkcji, przechodzących przez punkty oraz , a po przejściu granicznym przy dążącym do zera wartość oznacza współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie .
Wyznaczymy wartość pochodnej funkcji w punkcie .
Rozwiązanie
Dla dowolnego mamy , zatem
.
Pochodna jako funkcja
W powyższym przykładzie wyznaczyliśmy wartość pochodnej funkcji dla jednego punktu, ale możemy ją obliczyć dla dowolnej wartości .
Dla dowolnego mamy wówczas:
,
zatem
Wartość była dowolna, możemy zatem powiedzieć, że skonstruowaliśmy funkcję , która każdemu rzeczywistemu argumentowi przyporządkowuje wartość pochodnej funkcji w punkcie , czyli . Funkcję tę nazywamy funkcją pochodną funkcji lub pochodną funkcji .
Dla lepszej czytelności nie będziemy już używać oznaczenia na argumenty funkcji , ale będziemy pisać . Możemy również pisać .
Podobnie moglibyśmy wyznaczyć pochodną dowolnej funkcji potęgowej, otrzymując
Powyższy wzór zachodzi również dla niecałkowitych wartości wykładnika .
Wykażemy, że pochodna funkcji ; ; ma postać:
Rozwiązanie
Wykażemy, że pochodna funkcji ; ; ma postać:
Rozwiązanie
Rozwiążemy na koniec zadanie o rabatkach z kwiatami.
Pewien ogrodnik zmuszony jest ogrodzić swoją rabatkę z kwiatami przed kozą sąsiada. Chciałby postawić płot dookoła rabatki, ale ma do dyspozycji jedynie siatkę o długości metrów. Wymyślił zatem, że postawi płot w taki sposób, żeby rabatka w kształcie prostokąta przylegała jednym bokiem do ściany szopy na narzędzia. Jakie powinny być wymiary boków prostokątnej rabatki, żeby obejmowała jak największe pole powierzchni upraw?
Rozwiązanie
Rozwiązanie rozpoczniemy od oznaczenia długości obydwu boków przylegających do ściany szopy przez . Wtedy długość boku równoległego do ściany będzie równa metrów, gdyż z metrów siatki zabieramy dwa boki o długości metrów.
Pole ogrodzonej powierzchni zależało będzie wówczas jedynie od wartości i wynosić będzie .
Po narysowaniu wykresu tej funkcji widzimy, że dla oraz mamy sytuacje skrajne o zerowym polu, ujemne wartości dla , oznaczające brak siatki na stworzenie płotu takich rozmiarów i dodatnie wartości dla argumentów pomiędzy i .
Widzimy również, że dla małych wartości wartość funkcji rośnie, a później zaczyna maleć. Optymalnym wymiarem dla będzie zatem taki punkt, w którym funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć.
Z geometrycznego punktu widzenia oznacza to punkt, w którym styczna do wykresu jest pozioma, czyli jej współczynnik kierunkowy jest równy zero, a to oznacza, że pochodna funkcji musi być równa zero. Wyznaczymy zatem wzór na pochodną :
Znalezienie punktu, w którym pochodna się zeruje, oznacza rozwiązanie równania , czyli . Ostatecznie możemy powiedzieć, że optymalna rabatka będzie miała boki długości metry i metrów i pole równe .
Słownik
funkcja przyporządkowująca każdemu argumentowi wartość pochodnej zadanej funkcji w danym punkcie