Wyznaczymy wartość pochodnej funkcji $f\left(x\right)=x^3$ w punkcie $x_0=3$.

Rozwiązanie

Dla dowolnego $h$ mamy $f\left(x_0+h\right)=f\left(3+h\right)={\left(3+h\right)}^3=27+27h+9h^2+h^3$, zatem

$f\text{'}\left(3\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{27+27h+9h^2+h^3-27}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(27+9h+h^2\right)=27$.

Wyznaczymy funkcję pochodnąfunkcja pochodnafunkcję pochodną funkcji $f\left(x\right)=2x^3$.

Rozwiązanie

Dla dowolnego $h$ mamy:

$h\left(x+h\right)=2{\left(x+h\right)}^3=2x^3+6x^{2}h+6x{h}^2+2h^3$,

zatem

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2x^3+6x^{2}h+6x{h}^2+2h^3-2x^3}{h}=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\left(6x^2+6xh+h^2\right)=6x^2$

Wykażemy, że pochodna funkcji $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$; $x\ne 0$; ma postać: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Rozwiązanie

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}}{{\displaystyle h}}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}}{{\displaystyle h}}=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}}{{\displaystyle h}}·\frac{{\displaystyle \sqrt[3]{{\left(x+h\right)}^2}+\sqrt[3]{\left(x+h\right)x}+\sqrt[3]{x^2}}}{{\displaystyle \sqrt[3]{{\left(x+h\right)}^2}+\sqrt[3]{\left(x+h\right)x}+\sqrt[3]{x^2}}}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle x+h-x}}{{\displaystyle h\left(\sqrt[3]{{\left(x+h\right)}^2}+\sqrt[3]{\left(x+h\right)x}+\sqrt[3]{x^2}\right)}}=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle h}}{{\displaystyle h\left(\sqrt[3]{{\left(x+h\right)}^2}+\sqrt[3]{x^2+hx}+\sqrt[3]{x^2}\right)}}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \left(\sqrt[3]{{\left(x+h\right)}^2}+\sqrt[3]{x^2+hx}+\sqrt[3]{x^2}\right)}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Wykażemy, że pochodna funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$; $x\ne 0$; ma postać: $f\text{'}\left(x\right)=-\frac{2}{x^3}$

Rozwiązanie

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle {\left(x+h\right)}^2}}-\frac{1}{x^2}}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2-{\left(x+h\right)}^2}{h·x^2·{\left(x+h\right)}^2}=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle -2xh-h^2}}{{\displaystyle h·x^2·\left(x^2+2xh+h^2\right)}}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle -2x-h}}{{\displaystyle x^4+2x^{3}h+x^2{h}^2}}=-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle x^3}}$

Pewien ogrodnik zmuszony jest ogrodzić swoją rabatkę z kwiatami przed kozą sąsiada. Chciałby postawić płot dookoła rabatki, ale ma do dyspozycji jedynie siatkę o długości $12$ metrów. Wymyślił zatem, że postawi płot w taki sposób, żeby rabatka w kształcie prostokąta przylegała jednym bokiem do ściany szopy na narzędzia. Jakie powinny być wymiary boków prostokątnej rabatki, żeby obejmowała jak największe pole powierzchni upraw?

Rozwiązanie

Rozwiązanie rozpoczniemy od oznaczenia długości obydwu boków przylegających do ściany szopy przez $x$. Wtedy długość boku równoległego do ściany będzie równa $12-2x$ metrów, gdyż z $12$ metrów siatki zabieramy dwa boki o długości $x$ metrów.

Pole ogrodzonej powierzchni zależało będzie wówczas jedynie od wartości $x$ i wynosić będzie $P\left(x\right)=x·\left(12-2x\right)=12x-2x^2$.

RWTbyDqUDu5e7

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do siedmiu oraz pionową oś Y od minus dwóch do osiemnastu. Na układzie współrzędnych zaznaczono również wykres funkcji y równa się P od x, rozpoczynający się w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Wykres funkcji jest parabolą z ramionami skierowanymi w dół, wykres ma dwa miejsca zerowe w punkcie zero oraz sześć, natomiast wierzchołek znajduje się w punkcie nawias trzy średnik osiemnaście koniec nawiasu.

Po narysowaniu wykresu tej funkcji widzimy, że dla $x=0$ oraz $x=6$ mamy sytuacje skrajne o zerowym polu, ujemne wartości dla $x>6$, oznaczające brak siatki na stworzenie płotu takich rozmiarów i dodatnie wartości dla argumentów pomiędzy $0$ i $6$.

Widzimy również, że dla małych wartości $x$ wartość funkcji rośnie, a później zaczyna maleć. Optymalnym wymiarem dla $x$ będzie zatem taki punkt, w którym funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć.

Z geometrycznego punktu widzenia oznacza to punkt, w którym styczna do wykresu jest pozioma, czyli jej współczynnik kierunkowy jest równy zero, a to oznacza, że pochodna $P^{\prime }$ funkcji $P$ musi być równa zero. Wyznaczymy zatem wzór na pochodną $P\text{'}$:

$P\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{P\left(x+h\right)-P\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle 12\left(x+h\right)-2{\left(x+h\right)}^2-12x+2x^2}}{{\displaystyle h}}=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle 12x+12h-2x^2-4xh-2h^2-12x+2x^2}}{{\displaystyle h}}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle 12h-4xh-2h^2}}{{\displaystyle h}}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(12-4x-2h\right)=12-4x$

Znalezienie punktu, w którym pochodna się zeruje, oznacza rozwiązanie równania $12-4x=0$, czyli $x=3$. Ostatecznie możemy powiedzieć, że optymalna rabatka będzie miała boki długości $3$ metry i $6$ metrów i pole równe $18 {\mathrm{m}}^2$.

funkcja przyporządkowująca każdemu argumentowi $x$ wartość pochodnej zadanej funkcji w danym punkcie $x$