Przeczytaj
Co to jest ograniczenie dolne ciągu?
Rozważmy następujący ciąg
Wypiszmy kilka jego wyrazów.
Jak możemy zauważyć, da się wskazać taką liczbę rzeczywistą, że wszystkie wyrazy ciągu są od niej większe lub są jej równe. Taką liczbą jest np. . Ilustruje to poniższy rysunek.
Ciągi o powyższej własności nazywamy ciągami ograniczonymi z dołu. Formalną definicję możemy zapisać następująco
Powiemy, że ciąg jest ograniczony z dołu, jeśli istnieje liczba rzeczywista taka, że dla każdego zachodzi nierówność
Liczbę z powyższej definicji nazywamy ograniczeniem dolnym ciągu. Jak możemy zauważyć, jeśli pewna liczba rzeczywista jest ograniczeniem dolnym ciągu, to jest nim także każda liczba rzeczywista od niej mniejsza. W związku z tym często wyróżnia się liczbę, która jest największym ograniczniem dolnym ciągu.
Wracając do naszego przykładowego ciągu , możemy zauważyć, że jest to ciąg rosnący. Wynika stąd, że jego największym ograniczeniem dolnym jest jego pierwszy wyraz, czyli . Własność tę można zapisać ja poniżej.
Jeśli ciąg jest ciągiem rosnącymciągiem rosnącym, to jest on ograniczony z dołu. Dodatkowo jego największym ograniczeniem dolnym jest jego pierwszy wyraz.
Czym jest ograniczenie górne ciągu?
Spójrzmy teraz na ciąg Jego kolejne wyrazy są równe
Jak widać ciąg ten jest ciągiem malejącymciągiem malejącym. Ponadto łatwo wskazać liczbę taką, że wszystkie wyrazy tego ciągu są od niej mniejsze lub jej równe. Taką liczbą jest np. . W takim przypadku mówimy, że ciąg jest ograniczony z góry. Ilustruje to poniższy rysunek.
Powiemy, że ciąg jest ograniczony z góry, jeśli istnieje liczba rzeczywista taka, że dla każdego zachodzi nierówność
Liczbę z powyższej definicji nazywamy ograniczeniem górnym ciągu . Analogicznie jak w przypadku ograniczenia z dołu widzimy, że jeśli liczba jest ograniczeniem górnym pewnego ciągu, to jest też nim każda liczba od niej większa. W związku z tym częsta wyróżnia się liczbę, która jest najmniejszym ograniczeniem górnym danego ciągu. Zachodzi analogiczna własność jak dla ciągów rosnących.
Jeśli ciąg jest ciągiem malejącym, to jest on ograniczony z góry. Dodatkowo jego najmniejszym ograniczeniem górnym jest jego pierwszy wyraz.
Jak zauważyliśmy wcześniej ciąg jest malejący, zatem jego najmniejszym ograniczeniem górnym jest wyraz .
Czy każdy ciąg jest ograniczony?
Powróćmy raz jeszcze do pierwszego przykładu, czyli do ciągu . Jak zauważyliśmy ciąg ten jest ograniczony z dołu. Jednak jak widać z jego interpretacji na osi liczbowej jest on też ograniczony z góry. Jego ograniczeniem górnym jest np. liczba . Ciągi, które są jednocześnie ograniczone z góry i z dołu nazywamy ciągami ograniczonymi.
Powiemy, że ciąg jest ograniczony, jeśli istnieją liczby rzeczywiste takie, że dla każdego zachodzą nierówności
Innymi słowy ciąg jest ograniczony, jeśli istnieje przedział właściwy (tzn. taki, którego krańcami są liczby rzeczywiste), do którego należą wszystkie wyrazy tego ciągu.
Istnieje ważny związek między ograniczonością ciągu a jego zbieżnością. Podamy go w kolejnym temacie.
Na koniec spróbujmy odpowiedzieć na pytanie, czy każdy ciąg jest ograniczony? Rozważmy w tym celu ciąg . Ponieważ wyrazami tego ciągu są wszystkie liczby naturalne więc łatwo widać, że wybierając dowolnie dużą liczbę rzeczywistą zawsze znajdziemy wyraz tego ciągu (czyli liczbę naturalną), który jest większy od . Zatem ciąg ten nie jest ograniczony z góry a zatem nie jest ograniczony. Ponieważ jest to ciąg rosnący więc jest on ograniczony z dołu. Przykładem ciągu który nie jest ograniczony z dołu jest np. ciąg . Ciąg ten z kolei jest malejący więc jest ograniczony z góry. Istnieją oczywiście ciągi, które nie są ograniczone ani z góry ani z dołu. Potrafisz podać przykład takiego ciągu?
Słownik
ciąg którego każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, tzn. który spełnia warunek dla każdego
ciąg którego każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, tzn. który spełnia warunek dla każdego