Co to jest ograniczenie dolne ciągu?

Rozważmy następujący ciąg

Wypiszmy kilka jego wyrazów.

$a_1=2-1=1$

$a_2=2-\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$

$a_3=2-\frac{1}{3}=1\frac{2}{3}$

$a_4=2-\frac{1}{4}=1\frac{3}{4}$

$\dots$

$a_{10}=2-\frac{1}{10}=1\frac{9}{10}$

Jak możemy zauważyć, da się wskazać taką liczbę rzeczywistą, że wszystkie wyrazy ciągu $a_n$ są od niej większe lub są jej równe. Taką liczbą jest np. $0$. Ilustruje to poniższy rysunek.

Ciągi o powyższej własności nazywamy ciągami ograniczonymi z dołu. Formalną definicję możemy zapisać następująco

Wracając do naszego przykładowego ciągu $a_n=2-\frac{1}{n}$, możemy zauważyć, że jest to ciąg rosnący. Wynika stąd, że jego największym ograniczeniem dolnym jest jego pierwszy wyraz, czyli $1$. Własność tę można zapisać ja poniżej.

Czym jest ograniczenie górne ciągu?

Spójrzmy teraz na ciąg $a_n=2+\frac{1}{n},n\in \mathbb{N}.$ Jego kolejne wyrazy są równe

$a_1=2+1=3$

$a_2=2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$

$a_3=2+\frac{1}{3}=2\frac{1}{3}$

$a_4=2+\frac{1}{4}=2\frac{1}{4}$

$\dots$

$a_{10}=2+\frac{1}{10}=2\frac{1}{10}$

Jak widać ciąg ten jest ciągiem malejącymciąg malejącyciągiem malejącym. Ponadto łatwo wskazać liczbę taką, że wszystkie wyrazy tego ciągu są od niej mniejsze lub jej równe. Taką liczbą jest np. $3$. W takim przypadku mówimy, że ciąg jest ograniczony z góry. Ilustruje to poniższy rysunek.

Liczbę $M$ z powyższej definicji nazywamy ograniczeniem górnym ciągu $a_n$. Analogicznie jak w przypadku ograniczenia z dołu widzimy, że jeśli liczba $M$ jest ograniczeniem górnym pewnego ciągu, to jest też nim każda liczba od niej większa. W związku z tym częsta wyróżnia się liczbę, która jest najmniejszym ograniczeniem górnym danego ciągu. Zachodzi analogiczna własność jak dla ciągów rosnących.

Jak zauważyliśmy wcześniej ciąg $a_n=2+\frac{1}{n}$ jest malejący, zatem jego najmniejszym ograniczeniem górnym jest wyraz $a_1=3$.

Czy każdy ciąg jest ograniczony?

Powróćmy raz jeszcze do pierwszego przykładu, czyli do ciągu $a_n=2-\frac{1}{n},n\in \mathbb{N}$. Jak zauważyliśmy ciąg ten jest ograniczony z dołu. Jednak jak widać z jego interpretacji na osi liczbowej jest on też ograniczony z góry. Jego ograniczeniem górnym jest np. liczba $3$. Ciągi, które są jednocześnie ograniczone z góry i z dołu nazywamy ciągami ograniczonymi.

Innymi słowy ciąg jest ograniczony, jeśli istnieje przedział właściwy (tzn. taki, którego krańcami są liczby rzeczywiste), do którego należą wszystkie wyrazy tego ciągu.

Na koniec spróbujmy odpowiedzieć na pytanie, czy każdy ciąg jest ograniczony? Rozważmy w tym celu ciąg $a_n=n$. Ponieważ wyrazami tego ciągu są wszystkie liczby naturalne więc łatwo widać, że wybierając dowolnie dużą liczbę rzeczywistą $M$ zawsze znajdziemy wyraz tego ciągu (czyli liczbę naturalną), który jest większy od $M$. Zatem ciąg ten nie jest ograniczony z góry a zatem nie jest ograniczony. Ponieważ jest to ciąg rosnący więc jest on ograniczony z dołu. Przykładem ciągu który nie jest ograniczony z dołu jest np. ciąg $a_n=-n$. Ciąg ten z kolei jest malejący więc jest ograniczony z góry. Istnieją oczywiście ciągi, które nie są ograniczone ani z góry ani z dołu. Potrafisz podać przykład takiego ciągu?

Słownik