Warto przeczytać

II prawo Kirchhoffa zostało omówione w e‑materiale „Poznajemy II prawo Kirchhoffa”. Zachęcamy do zapoznania się z nim przed rozpoczęciem dalszej lektury.

Prawo to głosi, że:

W zamkniętym obwodzie elektrycznym suma sił elektromotorycznychsiła elektromotorycznasił elektromotorycznych jest równa sumie spadków napięć na odbiornikach.

Jest ono konsekwencją zasady zachowania energii.

Poniżej podajemy kilka reguł i sposobów postępowania, ułatwiających rozwiązywanie zadań, wymagających zastosowania II prawa Kirchhoffa.

Co to znaczy obwód zamknięty?

Obwody elektryczne mogą być niekiedy bardzo skomplikowane. Równanie II prawa Kirchhoffa można napisać dla każdego obwodu lub fragmentu obwodu, który jest zamknięty (zwyczajowo używa się nazwy oczkooczkooczko). Przykład pokazano na Rys. 1.

R1NQ7tuhjfRXm

Rys. 1. Na rysunku widoczny jest schemat układu elektrycznego. Układ składa się z sześciu takich samych części połączonych po trzy szeregowo a obie trójki połączono dodatkowo równolegle. Każda część układu to równolegle połączony układ rezystorów narysowanych w postaci czarnych, poziomych prostokątów. Układ równoległego połączenia narysowany jest poziomo a przed górnym i środkowym rezystorem znajduje się schematycznie narysowane źródło siły elektromotorycznej. Dodatni biegun siły elektromotorycznej skierowany jest w stronę rezystora. Pierwsze dwa elementy każdej trójki połączone są szeregowo z dwoma połączeniami a druga i trzecia część posiada tylko jedno połączenie.

Omawiane prawo obowiązuje w każdej sytuacji i dla każdego rodzaju prądu. My jednak ograniczymy się tu do obwodów prądu stałego oraz instalacji energetycznych prądu przemiennego nieposiadających elementów pojemnościowych i indukcyjnych (np. instalacji domowych).

Część I. Rozważanie potencjałów elektrycznych

Najbardziej ogólną metodą analizy napięć w obwodzie jest wyznaczanie potencjałów elektrycznych w punktach pomiędzy elementami obwodu elektrycznegoelement obwodu elektrycznegoelementami obwodu elektrycznego. Zwykle potrafimy podać wyrażenie opisujące wartość napięcia panującego na danym elemencie, ale nie mamy pewności, czy zapisać tę wartość w równaniu ze znakiem dodatnim, czy ujemnym. Najłatwiej wtedy wybrać punkt początkowy obwodu i podążać wzdłuż oczka, docierając ponownie do tego miejsca. Skoro znaleźliśmy się w tym samym punkcie, suma wzrostów i spadków potencjału na naszej drodze musi być równa zeru.

Rozkład potencjałów wokół źródła jest oczywisty, gdyż jego dodatni biegun ma zawsze wyższy potencjał, niż biegun ujemny, o wartość równą napięciu źródła. Tak samo jest w przypadku kondensatora, który gromadzi ładunki dodatnie na jednej, a ujemne na drugiej okładce. Rozkład potencjałów wokół elementu, który posiada opór elektryczny wiąże się z kierunkiem przepływającego przezeń prądu. Ładunki dodatnie muszą bowiem płynąć od wyższego do niższego potencjału.

Przykład takiej analizy potencjałów w obwodzie przedstawia Rys. 2. Przed przystąpieniem do niej, musimy zaproponować kierunki prądów płynących w poszczególnych przewodach pamiętając o tym, że jedyną konsekwencją wyboru nie pokrywającego się z rzeczywistością będzie uzyskanie po obliczeniach ujemnej wartości natężenia takiego prądu. Na Rys. 2. wartości potencjałów są przykładowe i podane w celu zwiększenia poglądowości rysunku. Zwykle nie znamy ich przed rozwiązaniem zadania, ale uświadomienie sobie, który z nich jest większy, a który mniejszy, bardzo ułatwia napisanie równań II prawa Kirchhoffa, które przedstawiono na rysunku pod każdym oczkiem.

RKtXjso5MkfCz

Rys. 2. Na rysunki widoczny jest schemat równoległego obwodu elektrycznego narysowanego w postaci poziomego prostokąta czarnymi liniami. Prostokąt podzielony jest na trzy kwadraty pionowymi czarnymi liniami. Na obwodzie prostokąta widoczne są groty strzałek symbolizujące kierunek przepływu prądu elektrycznego zgodny z kierunkiem wskazówek zegara. W pierwszym oczku – kwadracie po lewej stronie na krawędziach widoczne są elementy elektryczne. Na lewej krawędzi opornik opisany symbolem wielka litera R z indeksem dolnym jeden, przez który przepływa prąd o natężeniu wielka litera I z indeksem dolnym jeden. Na górnej krawędzi źródło napięcia opisane symbolem mała grecka litera epsilon z indeksem dolnym jeden równe dziewięć woltów. Na prawej krawędzi oczka widoczny jest opornik wielka litera R z indeksem dolnym dwa, prze który płynie prąd o natężeniu wielka litera i z indeksem dolnym dwa. Na dolnej krawędzi oczka widoczne jest źródło napięcia oznaczone symbolem mała grecka litera epsilon z indeksem dolnym trzy równe sześć woltów. W środku czerwonym łukiem zakończonym grotem widoczny jest kierunek przepływu prądu zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. W drugim, środkowym oczku, które ma wspólną krawędź z lewym oczkiem widoczne są następujące elementy elektryczne na krawędziach. Na górnej krawędzi widać źródło napięcia oznaczone, jako mała grecka litera epsilon z indeksem dolnym dwa równe trzy wolty. Na prawej krawędzi widoczny jest kondensator, który na górnej krawędzi kumuluje ładunek dodatni oznaczony symbolem plus a na dolnej kumuluje ładunek ujemny oznaczony symbolem minus. Napięcie na kondensatorze opisane jest symbolem wielka liter U z indeksem dolnym wielka litera C. na dolnej krawędzi widoczny jest grot strzałki skierowany w lewą stronę oznaczający kierunek przepływu prądu o natężeniu wielka litera I z indeksem dolnym trzy. W środku oczka widoczny jest czerwony łuk z grotem opisujący kierunek przepływu prądu elektrycznego, zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. W ostatnim po prawej stronie oczku, którego lewa krawędź jest wspólna z oczkiem drugim widoczny jest jeden element elektryczny. Na prawej krawędzi narysowano w postaci szarego pionowego prostokąta rezystor oznaczony symbolem wielka litera R z indeksem dolnym trzy. Płynie przez niego prąd o natężeniu wielka litera I z indeksem dolnym trzy. Kierunek przepływu prądu opisany jest czerwonym łukiem wewnątrz oczka, zakończony grotem i jest on zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. W rogach oczek odliczając od lewego górnego rogu całego obwodu, zgodnie z ruchem wskazówek zegara opisano czerwonym kolorem wartości napięcia zero woltów, dziewięć woltów, dwanaście woltów, dwanaście woltów, siedem woltów, siedem woltów, siedem woltów, jeden wolt. Poniżej każdego z oczek opisane są równania przedstawiające drugie prawo Kirchhoffa. Pod lewym oczkiem: mała grecka litera epsilon z indeksem dolnym jeden odjąć iloczyn natężenia prądu wielka litera I z indeksem dolnym dwa i rezystancji opornika wielka litera R z indeksem dolnym dwa odjąć iloczyn natężenia prądu wielka litera I z indeksem dolnym jeden i rezystancji opornika wielka litera R z indeksem dolnym jeden równa się zero. Pod środkowym oczkiem: mała grecka litera epsilon z indeksem dolnym dwa odjąć napięcie na kondensatorze wielka litera U z indeksem dolnym wielka litera C dodać iloczyn natężenia prądu wielka litera I z indeksem dolnym dwa i rezystancji opornika wielka litera R z indeksem dolnym dwa równa się zero. Pod prawym oczkiem: minus iloczyn natężenia prądu wielka litera I z indeksem dolnym trzy i rezystancja opornika wielka litera R z indeksem dolnym trzy dodać napięcia na kondensatorze wielka litera U z indeksem dolnym wielka litera C równa się zero.

Potencjał jest wielkością względną, więc jego wartość przyjęta w punkcie początkowym nie ma znaczenia. Istotne są tylko zmiany potencjału.

Część II. Rozważanie sił elektromotorycznych i spadków napięcia

Drugą, równoważną metodą analizy napięć w obwodzie zamkniętym jest skorzystanie z równania w postaci:

Poniżej podajemy reguły dotyczące zapisywania wyrażeń w tym równaniu. Wszystkie dotyczą sytuacji, w której obraliśmy sobie kierunek wędrówki wzdłuż oczka i przyjęliśmy domniemane kierunki prądów.

Dodawanie i odejmowanie sił elektromotorycznych (SEM)

Siła elektromotorycznasiła elektromotorycznaSiła elektromotoryczna to napięcie wytwarzane przez źródło, które powoduje przemieszczanie się ładunków elektrycznych. Umownie przyjęto, że prąd to ruch ładunków dodatnich, więc są one odpychane od dodatniego bieguna źródła (wypływają z niego) i przyciągane do ujemnego (wpływają do niego). Przez źródło (w jego wnętrzu) prąd płynie wobec tego w kierunku od jego zacisku „–” do zacisku „+”. Ilustruje to Rys. 3. Jeżeli w tym kierunku wędrujemy wzdłuż oczka, SEM źródła wpisujemy ze znakiem dodatnim. Jeśli w przeciwnym – wpisujemy ją ze znakiem ujemnym.

Rj9W9oSSslGPJ

Rys. 3. Na rysunku widać schematycznie narysowany kierunek przepływu prądu elektrycznego przez źródło napięcia, nazywane często źródłem siły elektromotorycznej. Na czarnej poziomej linii zaznaczono źródło napięcia dwoma pionowymi czarnymi kreskami. Lewa kreska jest krótsza i grubsza niż prawa. Przy lewej kresce zaznaczono znakiem minus ujemny ładunek elektryczne. Przy prawej, dłuższej i cieńszej zaznaczono znakiem plus dodatni ładunek elektryczny. Na poziomej linii widać dwa groty strzałek po prawej i lewej stronie źródła, które są skierowane w prawo. Pod schematem widać poziomą, czerwoną strzałkę skierowaną także w prawo co obrazuje kierunek przepływu prądu.

Idealne i rzeczywiste źródła napięcia w obwodzie

Przepływ prądu przez rzeczywiste źródła wiąże się zawsze z pewnymi stratami energii. Do celów obliczeniowych przyjmujemy, że posiada ono opór wewnętrzny, na którym występuje spadek napięcia. Faktyczne napięcie panujące między zaciskami źródła jest więc równe SEM pomniejszonej o ten spadek napięcia. Czasami zakłada się, że źródło jest idealne, czyli że jego opór wewnętrzny równy jest zeru.

W zadaniach najwygodniej jest potraktować opór wewnętrzny źródła jak każdy inny opornik (patrz Rys. 4.) i w równaniu uwzględnić go po stronie spadków napięć na odbiornikach.

R1RqqfcnU3Pav

Rys. 4. Na rysunku widoczne jest połączenie szeregowe źródła napięcia i rezystora, na fragmencie obwodu elektrycznego narysowanego czarną pozioma linią. Rezystor narysowany jest w postaci szarego poziomego prostokąta podpisanego mała literą r, a źródło napięcia którego dodatni biegun znajduje się bliżej rezystora opisane jest mała grecką literą epsilon. Źródło napięcia i rezystor otoczone są prostokątnym kształtem narysowanym cienka czerwoną linią.

Dodawanie i odejmowanie spadków napięć na oporach

Gdy przez opornik płynie prąd, ładunki wykonują pracę kosztem posiadanej energii elektrycznej. Ze spadkiem energii wiąże się spadek napięcia. Korzystając z prawa Ohma możemy obliczyć, że jest on równy:

Wobec powyższego, jeśli wędrując wzdłuż oczkaoczkooczka napotkamy opornik, przez który płynie prąd w kierunku zgodnym z naszym ruchem, do równania wpisujemy po stronie spadków napięć wyrażenie $+I\cdot R$. Gdy kierunek prądu jest przeciwny, wpisujemy $-I\cdot R$. Ilustruje to Rys. 5.

R1LHAitbNFGCy

Rys. 5. Na rysunku widoczny jest schemat fragmentu układu elektrycznego złożonego z dwóch oporników. Rezystory narysowane są w postaci czarnych i poziomych prostokątów na poziomej, czarnej linii. Jeden z nich znajduje się z prawej a drugi z lewej strony. Połączone są one czarną poziomą linią. Z lewej strony lewego rezystora widoczny jest na linii grot strzałki symbolizujący kierunek prądu elektrycznego płynącego w stronę tego opornika. Z prawej strony prawego rezystora również widoczny jest grot strzałki symbolizujący kierunek prądu elektrycznego płynącego do tego opornika. Z punktu znajdującego się w połowie poziomego odcinka łączącego rezystory wychodzi czarna linia skierowana w górę, na której także widoczny jest grot strzałki opisujący kierunek prądy płynącego w przewodzie w górę. Pod rezystorami widoczne są wzory opisujące napięcie prądu elektrycznego płynącego przez rezystory. Pod lewym widoczny jest wzór plus wielka litera I razy wielka litera R, a pod prawym minus wielka litera I pomnożona przez wielką literę R. wielka litera R oznacza rezystancję oporników a wielka litera I symbolizuje natężenia prądu elektrycznego. Nad rysunkiem widoczna jest czerwona wygięta strzałka skierowana w prawo. Strzałka wybrzuszona jest w dół.

Tę samą zasadę stosujemy dla każdego odbiornika, w którym wykonywana jest praca, bez względu na formę energii, jaką on wytwarza. Każde urządzenie, takie jak silnik, grzejnik, żarówka itp., posiada bowiem swój opór elektryczny i w równaniu II prawa Kirchhoffa powinno być uwzględnione w ten sam sposób, co zwykły opornik.

Dodawanie i odejmowanie napięć na kondensatorach

Kondensator jest elementem, w którym nie wykonuje się pracy, tylko magazynuje energię elektryczną. W obwodzie prądu stałego, po naładowaniu go, stanowi on przerwę w obwodzie (nie płynie przezeń prąd), a między jego okładkami panuje napięcie

gdzie $Q$ to wartość ładunku zgromadzonego na każdej okładce, a $C$ to pojemność kondensatora. Często, korzystając z analizy kierunków prądów w obwodzie, możemy oznaczyć znaki ładunków zgromadzonych na okładkach, co ułatwi nam uwzględnienie tego elementu z właściwym znakiem po stronie spadków napięć na odbiornikach w równaniu II prawa Kirchhoffa. Ilustruje to Rys. 6.

R1JWj9rk4y2O7

Rys. 6. Na rysunku widoczne jest oczko układu elektrycznego w postaci prostokąta narysowanego czarną linią. Na górnym boku widoczne jest źródło napięcia którego biegun dodatni znajduje się po prawej stronie. Po prawej stronie źródła napięcia narysowany jest grot strzałki skierowany w prawo symbolizujący kierunek przepływu prądu elektrycznego. Na dolnym boku oczka widoczny jest kondensator narysowany w postaci dwóch równoległych pionowych czarnych i krótkich kresek symbolizujących okładki kondensatora. Przy prawej okładce widnieje symbol dodatniego ładunku opisany znakiem plus. Przy lewej okładce widoczny jest symbol ujemnego ładunku elektrycznego opisany symbolem minus. W środku oczka widoczny jest fragment okręgu narysowany czerwona linia z grotem skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Symbolizuje on także kierunek przepływu prądu elektrycznego. Pod kondensatorem widoczny jest wzór opisujący siłę elektromotoryczna mała grecka litera epsilon równą ilorazowi ładunku wielka litera Q zgromadzonemu pomiędzy okładkami kondensatora i jego pojemności opisanej wielka literą C. Przed ilorazem widoczny jest znak plus.

Łączenie punktów obwodu o takim samym potencjale

Jeżeli dwa punkty obwodu mają taki sam potencjał, połączenie ich przewodem lub jakimkolwiek innym elementem nie spowoduje przepływu prądu przez ten element i nie zmieni elektrycznie obwodu. Taka modyfikacja może czasem uprościć analizę. Punkty o jednakowym potencjale występują między innymi wtedy, gdy obwód jest symetryczny. Przykład pokazano na Rys. 7.

RNIerDe22Y3Xa

Rys. 7. Na rysunku widoczny jest schemat symetrycznego układu elektrycznego narysowany w postaci czarnego, poziomego prostokąta. Na dolnej krawędzi widoczne są dwa źródła napięcia których dodatni ładunek znajduje się po prawej stronie. źródła napięcia są takie same i oznaczone małą grecką literą epsilon przecinek mała litera r. Mała litera r oznacza opór wewnętrzny źródeł. Na górnej krawędzi prostokąta narysowana dwa, połączone szeregowo oporniki, w postaci szarych, poziomych prostokątów. Oznaczono je symbolami Wielka litera R oznaczającymi ich rezystancję. Oporniki narysowane są dokładnie nad źródłami napięcia. W połowie odcinków symbolizujących połączenia pomiędzy oboma opornikami i oboma źródłami napięcia zaznaczono punkty wielka litera A i wielka litera B w taki sposób, że punkt wielka litera A znajduje się pomiędzy opornikami a wielka litera B pomiędzy źródłami napięcia. Punkty te połączono niebieską, przerywaną i pionową linia. Są to punkty o takim samym potencjale, które można połączyć na przykład przewodem, nie zmieniając właściwości elektrycznych obwodu.

Słowniczek