o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych
Twierdzenie: o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych
Dany jest wielomian , w którym wszystkie współczynniki , , , i są liczbami całkowitymi, przy czym i . Jeżeli liczba wymierna zapisana w postaci ułamka nieskracalnego, w którym liczby i są całkowite jest pierwiastkiem wielomianu , to jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego , zaś jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej.
Dowód
Dane są liczby całkowite , spełniające założenia.
Wiemy, że , czyli .
Po obustronnym przemnożeniu przez mamy , więc
Zauważmy, że liczba
jest podzielna przez , więc również musi być podzielna przez .
Liczby i są z założenia względnie pierwsze (bo ułamek jest nieskracalny), więc musi być dzielnikiem .
Analogicznie dowodzimy, że musi być dzielnikiem .
Wystarczy zauważyć, że liczba
czyli musi być podzielne przez .
Przykład 1
Wyznaczmy wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu .
Na początek sprawdźmy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite. Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitychtwierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitychtwierdzeniem o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych szukamy ich wśród dzielników wyrazu wolnego (liczby , , , ).
Po wykonaniu obliczeń można zauważyć, że .
Korzystając z twierdzenia Bézoutatwierdzenie Bézoutatwierdzenia Bézouta po wykonaniu odpowiedniego dzielenia wielomianów możemy więc zapisać .
Zajmiemy się teraz wielomianem . Jeżeli sprawdziliśmy wcześniej, że , nie są pierwiastkami to wiemy, że wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.
Sprawdźmy, czy ma jakiś pierwiastek niecałkowity wymierny. Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitychtwierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitychtwierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych wystarczy przeanalizować liczby , .
Po wykonaniu rachunków można zauważyć, że .
Po podzieleniu przez dwumian uzyskujemy równość .
Za pomocą wyróżnika możemy sprawdzić, że wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Jedynymi pierwiastkami rzeczywistymi wielomianu są zatem liczby oraz .
Przykład 2
Wyznaczmy wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu .
Rrl4EaTjftsLA
Zauważmy, że twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych możemy wykorzystać również do wyszukania wszystkich pierwiastków wymiernych wielomianu o współczynnikach wymiernych.
Wystarczy zauważyć, że przemnożenie wielomianu przez stałą niezerową nie zmienia jego pierwiastków.
Każdy wielomian o współczynnikach wymiernych możemy zatem sprowadzić do wielomianu o współczynnikach całkowitych mnożąc go przez wspólną wielokrotność mianowników wszystkich współczynników wielomianu.
Pokażemy to w kolejnych dwóch przykładach.
Przykład 3
Wyznaczmy wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu .
Zauważmy, że po przemnożeniu wielomianu przez otrzymamy wielomian o współczynnikach całkowitych mający te same pierwiastki, co wielomian .
Spróbujmy na początek wyszukać pierwiastki całkowite wielomianu analizując jego wartości dla liczb , , (dzielniki wyrazu wolnego).
Łatwo zauważymy, że , więc wielomian jest podzielny przez .
Wykonajmy dzielenie dowolnym sposobem (możemy np. użyć algorytmu dzielenia pisemnego lub dwukrotnie schematu Hornera). Uzyskamy zapis .
Za pomocą wyróżnika możemy wyznaczyć pierwiastki trójmianu kwadratowego - są to liczby i .
Podsumujmy: wielomian ma cztery pierwiastki rzeczywiste: , , i .
Przykład 4
Wyznaczmy wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu .
R1IqzVCRtEeqI
Słownik
twierdzenie Bézouta
twierdzenie Bézouta
liczba jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez dwumian bez reszty
twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych
twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych
dany jest wielomian , w którym wszystkie współczynniki , , , i są liczbami całkowitymi, przy czym i . Jeżeli liczba całkowita jest pierwiastkiem wielomianu , to jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego
twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych
twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych
dany jest wielomian , w którym wszystkie współczynniki , , , i są liczbami całkowitymi, przy czym i . Jeżeli liczba wymierna zapisana w postaci ułamka nieskracalnego, w którym liczby i są całkowite jest pierwiastkiem wielomianu , to jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego , zaś jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej