Przeczytaj
Czym jest prędkość? Intuicyjnie czujemy, że prędkość ma związek z długością pokonanego dystansu w określonym czasie. Na przykład samolot poruszający się z dużą prędkością w krótkim czasie pokona dużą odległość, a żółw, który porusza się z małą prędkością, pokona niewielką odległość w długim czasie. W przypadku żółwia moglibyśmy powiedzieć, że to nie mała prędkość lecz „duża wolność”... Ale w fizyce nie używamy słowa „wolność”. Jest tylko prędkość lub szybkość.
W niniejszym materiale będziemy się zajmować średnią prędkościąśrednią prędkością w ruchu jednostajnym prostoliniowym, a więc będziemy zakładać, że prędkość to stosunek długości przebytej drogi do czasu, w którym dany obiekt przebył tę drogę.
Przy oznaczeniach:
– długość drogi (w ),
– czas (w ),
– prędkość (w ),
zachodzą zależności:
Według Międzynarodowego Układu Jednostek Miar (SI), jednostką prędkości jest metr na sekundę, czyli , ale częściej będziemy używać kilometrów na godzinę, a więc .
Warto przypomnieć, że , a .
Poniżej rozwiążemy klasyczne zadania związane z problematyką ruchu ciał, których rozwiązanie prowadzi do układu równań liniowych.
Biuro Pani Moniki znajduje się w odległości od jej domu. Aby dostać się do biura, Pani Monika najpierw idzie z prędkością na przystanek metra, a potem jedzie metrem z prędkością . Cała droga zajmuje jej minuty. Obliczymy, ile minut Pani Monika jedzie metrem.
Rozwiązanie
Oznaczymy przez czas (w ) jazdy metrem. Wówczas czas potrzebny do przebycia drogi na przystanek zajmuje Pani Monice godzin.
Przez oznaczymy długość (w ) drogi, którą Pani Monka pokonuje metrem. Wtedy to długość drogi (w ), którą Pani Monika pokonuje pieszo.
Zapiszemy układ równań, korzystając ze wzoru .
Pani Monika jedzie metrem minut.
Maciek i Kuba mieszkają w domach oddalonych od siebie o . Postanowili razem pójść na boisko. Wyszli jednocześnie ze swoich domów i poruszali się naprzeciw siebie. Obliczymy po ilu minutach się spotkali, jeśli Maciek szedł z prędkością , a Kuba z prędkością . Obliczymy, ile metrów przeszedł każdy z chłopców.
Rozwiązanie
Domy były oddalone od siebie o , czyli o .
Niech oznacza czas (w ), po jakim chłopcy się spotkają, a niech oznacza długość drogi (w ), jaką przejdzie Maciek do momentu spotkania z Kubą. Droga Kuby wówczas będzie miała długość .
Zapiszemy układ równań:
Koledzy spotkali się po minutach. Maciek przeszedł czyli metrów, a Kuba przeszedł metrów.
Z miast i oddalonych od siebie o wyruszają jednocześnie naprzeciw siebie dwa pociągi i spotykają się po minutach. Gdyby pociąg, który wyjechał z miasta , jechał z prędkością o większą, a pociąg, który wyruszył z miasta , jechał z prędkością o mniejszą, to pociągi również spotkałyby się po minutach. Obliczymy, z jakimi prędkościami średnimiprędkościami średnimi poruszały się pociągi.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez i prędkości pociągów (w ), które wyruszyły odpowiednio z miasta i z miasta . Niech oznacza długość drogi (w kilometrach), którą pokonał pociąg wyruszający z miasta do momentu spotkania z pociągiem wyruszającym z miasta . Długość drogi pociągu jadącego z wynosi zatem . Czas, po którym spotkały się pociągi, to minut, czyli godziny. Zapiszmy dane w tabeli:
Pociąg | Droga w | Czas w | Prędkość w |
---|---|---|---|
Pociąg jadący z | |||
Pociąg jadący z |
Wykorzystamy zależność między drogą, prędkością i czasem:
i
Jeśli dodamy do siebie powyższe równania, to otrzymamy:
Zapiszmy tabelę dla drugiej sytuacji opisanej w treści zadania, oznaczając przez drogę, którą pokonałby pociąg jadący z miasta do momentu spotkania z pociągiem jadącym z miasta . Czas pozostaje taki sam, natomiast zmieniają się prędkości z na i z na .
Pociąg | Droga w | Czas w | Prędkość w |
---|---|---|---|
Pociąg jadący z | |||
Pociąg jadący z |
Zapisując zależności podane w tabeli w formie równań, otrzymujemy:
i
,
a stąd
i
.
Jeśli dodamy do siebie powyższe równania, to otrzymamy:
Teraz zapiszmy równania opisujące zależności pomiędzy i w formie układu równań:
Gdy dodamy do siebie równania stronami, otrzymamy:
, a .
Odpowiedź:
Pociąg, który wyruszył z miasta jechał z prędkością , a pociąg, który wyruszył z miasta – z prędkością .
Zdarza się, że samolot latający ze stałą prędkością pokonuje tę samą trasę w różnym czasie. Przyczyną tego może być wiatr. Otóż – jeśli samolot leci pod wiatr, to jego prędkość względem ziemi zmniejsza się, pomimo, że jego prędkość względemprędkość względem powietrza się nie zmienia. Analogicznie – samolot lecący z wiatrem zwiększa swoją prędkość względem ziemi. Wówczas, jeśli przez oznaczymy prędkość samolotu względem powietrza, a przez – prędkość wiatru, to prędkość samolotu względem ziemi wynosi
gdy samolot leci z wiatrem i
gdy samolot leci pod wiatr. Dalej, przez prędkość samolotu będziemy rozumieć jego prędkość względem powietrza (inaczej prędkość własną).
Samolot, lecąc ze stałą prędkością pod wiatr, pokonał trasę długości w czasie godzin. Drogę powrotną, podczas której wiatr wiał z tą samą prędkością, ale w kierunku lotu, samolot (lecąc z tą samą prędkością własną) pokonał w czasie o godzinę krótszym. Obliczymy, jaka była prędkość samolotu, a jaka prędkość wiatru.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez prędkość własną samolotu (w ), a przez prędkość wiatru (w ) i zapiszmy podane w zadaniu informacje w formie układu równań:
Gdy dodamy do siebie równania, to otrzymamy , więc , a .
Samolot leciał z prędkością własną , a wiatr wiał z prędkością .
W analogiczny sposób możemy rozwiązywać zadania o statkach pływających po rzece. Prędkość statku względem ziemi jest sumą prędkości statku i prądu rzeki, gdy statek płynie z prądem oraz ich różnicą, gdy statek płynie pod prąd.
Pewien turysta przepłynął kajakiem trasę długości w czasie minut, gdy płynął z prądem rzeki. W drodze powrotnej płynął pod prąd z tą samą prędkością własną, przy tej samej prędkości nurtu rzeki. Droga powrotna trwała o minut dłużej. Obliczymy prędkość własną kajaka i prędkość nurtu rzeki.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez prędkość własną kajaka, a przez prędkość nurtu rzeki. Zauważmy, że minut, to godziny, a minut, to godziny i zapiszmy podane w zadaniu informacje w formie układu równań:
Gdy dodamy do siebie równania, to otrzymamy , więc , a .
Prędkość własna kajaka wynosiła , a prędkość nurtu rzeki .
Trasa samolotu ma długość . Samolot lecąc pod wiatr, pokonał pierwszą część trasy. Drugą część trasy pokonał przy bezwietrznej pogodzie z prędkością o większą w czasie o minut dłuższym. Gdyby podczas całej podróży pogoda była bezwietrzna, to podróż trwałaby o minuty krócej. Obliczymy, z jaką prędkością (w ) i w jakim czasie (w minutach) samolot pokonał pierwszą część trasy, z jaką prędkością (w ) i w jakim czasie (w minutach) pokonał drugą część i ile minut trwała cała podróż.
Rozwiązanie:
Niech oznacza prędkość (w ), z jaką samolot pokonał pierwszą część trasy, niech oznacza czas (w ), w ciągu którego przebył pierwszą część, a niech oznacza długość pierwszego etapu podróży (w ). Oczywiście .
Podczas drugiego etapu podróży samolot leciał z prędkością o większą, czyli z prędkością równą . Ponieważ cała trasa ma długość , więc drugi etap ma długość , stąd . Druga część podróży trwała o minut dłużej, a to oznacza, że samolot pokonał drugą część trasy w czasie .
Wiadomo również, że gdyby całą drogę pokonał z prędkością , to zajęłoby mu to , czyli godziny.
Wielkość | część lotu | część lotu | Cała trasa |
---|---|---|---|
Droga | |||
Prędkość | |||
Czas |
Wykorzystując zależność:
,
dla drugiej części lotu oraz dla całej trasy pokonanej z prędkością , otrzymujemy układ równań:
Po dodaniu do siebie równań stronami otrzymujemy, że , więc .
Teraz wstawiając do równania
,
otrzymamy
,
,
.
godziny, to minut. Prędkość o większa od , to .
Samolot pokonał pierwszą część trasy z prędkością w czasie minut, a drugą część trasy z prędkością w czasie minut. Cała podróż trwała minut.
W zadaniach na prędkość wykorzystujemy również umiejętność rozwiązywania układów równań drugiego stopnia:
Biegacz na treningu przebiegł metrów. Gdyby biegł z prędkością o większą przez sekundy dłużej, to przebiegłby metrów. Obliczymy prędkość, z jaką poruszał się biegacz (w ) i czas pokonania trasy treningu (w sekundach).
Rozwiązanie
Niech oznacza prędkość poruszania się biegacza w , a – czas w sekundach pokonania trasy treningu. Zapiszmy układ równań:
Obliczamy wyróżnik:
Równanie ma dwa rozwiązania:
,
.
Przyjmując, że , prędkość wynosi . Natomiast, jeśli , to .
Odpowiedź:
Biegacz albo biegł przez sekund z prędkością , albo biegł przez sekund z prędkością .
Słownik
to stosunek długości przebytej drogi do czasu, w którym dany obiekt przebył tę drogę; przy oznaczeniach:
– prędkość,
– droga,
– czas,
zachodzą zależności:
to prędkość ciała względem określonego układu odniesienia, który tworzy inne ciało