Punkty o współrzędnych $P=\left(x,y\right)$ i $P\text{'}=\left(x\text{'},y\text{'}\right)$ są symetryczne względem początku układu współrzędnych wtedy gdy $x\text{'}=-x$ oraz $y\text{'}=-y$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ punkty o współrzędnych $P=\left(-m^2,4\right)$ oraz $P=\left(m+12,-4\right)$ są symetryczne względem punktu o współrzędnych $\left(0,0\right)$.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkty $P$ i $P\text{'}$ są symetryczne względem początku układu współrzędnych, to do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$-m^2=-\left(m+12\right)$

Wobec tego:

$m^2-m-12=0$

Zatem $m=-3$ oraz $m=4$.

Dany jest trójkąt $ABC$ o wierzchołkach $A=\left(-3,-1\right)$, $B=\left(4,-2\right)$ oraz $C=\left(1,5\right)$.

Wyznaczymy współrzędne wierzchołków tego trójkąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Niech $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ będą punktami symetrycznymi do punktów $A$, $B$, $C$ w symetrii środkowej względem punktu $\left(0,0\right)$. Wówczas:

$A\text{'}=\left(3,1\right)$,

$B\text{'}=\left(-4,2\right)$,

$C\text{'}=\left(-1,-5\right)$.

Wyznaczymy współrzędne wierzchołków prostokąta $ABCD$ z poniższego rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

RbqZPheGRIGjP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami cztery punkty, które połączono ze sobą, tworząc prostokąt. Punkty te to kolejno: $A=\left(-4;-3\right), B=\left(2;-3\right), C=\left(2;4\right), D=\left(-4;4\right)$. Wnętrze czworokąta zamalowano.

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków prostokąta $ABCD$:

$A=\left(-4,-3\right)$,

$B=\left(2,-3\right)$,

$C=\left(2,4\right)$,

$D=\left(-4,4\right)$.

Współrzędne wierzchołków prostokąta $ABCD$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych wynoszą odpowiednio:

$A\text{'}=\left(4,3\right)$,

$B\text{'}=\left(-2,3\right)$,

$C\text{'}=\left(-2,-4\right)$,

$D\text{'}=\left(4,-4\right)$.

Wyznaczymy obraz czworokąta $ABCD$ z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

RqX7OppBxz48g

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami cztery punkty, które połączono ze sobą, tworząc czworokąt. Punkty te to kolejno: $A=\left(-4;-3\right), B=\left(2;-2\right), C=\left(1;3\right), D=\left(-2;4\right)$. Wnętrze czworokąta zamalowano.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków czworokąta:

$A=\left(-4,-3\right)$,

$B=\left(2,-2\right)$,

$C=\left(1,3\right)$,

$D=\left(-2,4\right)$.

Obrazem czworokąta $ABCD$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest czworokąt $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ o wierzchołkach:

$A\text{'}=\left(4,3\right)$,

$B\text{'}=\left(-2,2\right)$,

$C\text{'}=\left(-1,-3\right)$,

$D\text{'}=\left(2,-4\right)$.

Zatem rysunek czworokąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ przedstawia się następująco:

R1YrbkBUJx0lb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami cztery punkty, które połączono ze sobą, tworząc czworokąt oraz kolejne cztery punkty, będące symetrycznymi odbiciami wyjściowych punktów względem początku układu współrzędnych. Punkty symetryczne również połączono w czworokąt. Punkty wyjściowe, będące wierzchołkami czworokąta $ABCD$ mają współrzędne: $A=\left(-4;-3\right), B=\left(2;-2\right), C=\left(1;3\right), D=\left(-2;4\right)$. Punkty do nich symetryczne będące wierzchołkami czworokąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ mają współrzędne: $A\text{'}=\left(4;3\right), B\text{'}=\left(-2;2\right), C\text{'}=\left(-1;-3\right), D\text{'}=\left(2;-4\right)$. Wnętrza obu czworokątów są zamalowane.

Wyznaczymy obraz trójkąta $ABC$ z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, a następnie obliczymy pole części wspólnej tych trójkątów.

R1RbbQYX83uKY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami trzy punkty. Są to kolejno: $A=\left(-5;-4\right), B=\left(5;-4\right), C=\left(0;4\right)$. Punkty połączono ze sobą, tworząc trójkąt.

Rozwiązanie:

Obrazem trójkąta w symetrii jest trójkąt o wierzchołkach $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$.

R1ZJx1OlHnJwd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami trzy punkty wyjściowe oraz trzy punkty symetryczne do nich względem początku układu współrzędnych. Każdą trójkę punktów połączono ze sobą, tworząc dwa trójkąty: trójkąt $ABC$ oraz trójkąt $A’B’C’$. Współrzędne wierzchołków trójkąta $ABC$ są następujące: $A=\left(-5;-4\right), B=\left(5;-4\right), C=\left(0;4\right)$ oraz współrzędne symetrycznych do nich wierzchołków trójkąta $A’B’C’$ to: $A\text{'}=\left(5;4\right), B\text{'}=\left(-5;4\right), C\text{'}=\left(0;-4\right)$. Zamalowano część wspólną trójkątów, czyli czworokąt ograniczony punktami o współrzędnych: $\left(0;-4\right), \left(2\frac{1}{2};0\right), \left(0;4\right), \left(-2\frac{1}{2};0\right)$.

Zauważmy, że częścią wspólną obu trójkątów jest romb o przekątnych długości $8$ i $5$, zatem jego pole wynosi:

$P=\frac{1}{2}·8·5=20$.

Sprawdzimy, czy czworokąty $ABCD$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ przedstawione na poniższym rysunku są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

R1ZF81PgAtcRk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami cztery punkty, które połączono ze sobą, tworząc czworokąt oraz kolejne cztery punkty, będące symetrycznymi odbiciami wyjściowych punktów względem początku układu współrzędnych. Punkty symetryczne również połączono w czworokąt. Punkty wyjściowe, będące wierzchołkami czworokąta $ABCD$ mają współrzędne: $A=\left(-1;-4\right), B=\left(2;-6\right), C=\left(4;2\right), D=\left(0;4\right)$. Punkty do nich symetryczne będące wierzchołkami czworokąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ mają współrzędne: $A\text{'}=\left(1;4\right), B\text{'}=\left(-2;6\right), C\text{'}=\left(-4;-3\right), D\text{'}=\left(0;-4\right)$. Wnętrza obu czworokątów są zamalowane.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków.

Dla czworokąta $ABCD$ mamy:

$A=\left(-1,-4\right)$,

$B=\left(2,-6\right)$,

$C=\left(4,2\right)$,

$D=\left(0,4\right)$.

Dla czworokąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ mamy:

$A\text{'}=\left(1,4\right)$,

$B\text{'}=\left(-2,6\right)$,

$C\text{'}=\left(-4,-3\right)$,

$D\text{'}=\left(0,-4\right)$.

Sprawdzimy, czy punkt o współrzędnych $\left(0,0\right)$ jest środkiem każdego z odcinków $AA\text{'}$, $BB\text{'}$, $CC\text{'}$, $DD\text{'}$.

Oznaczymy środki tych odcinków odpowiednio $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$.

Zatem:

$S_1=\left(\frac{-1+1}{2},\frac{-4+4}{2}\right)=\left(0,0\right)$,

$S_2=\left(\frac{2-2}{2},\frac{-6+6}{2}\right)=\left(0,0\right)$,

$S_3=\left(\frac{4-4}{2},\frac{2-3}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{2}\right)$,

$S_4=\left(\frac{0-0}{2},\frac{4-4}{2}\right)=\left(0,0\right)$.

Ponieważ $S_3\ne \left(0,0\right)$, zatem czworokąty $ABCD$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ przedstawione na rysunku nie są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

przekształcenie geometryczne, w którym obrazem punktu $P=\left(x,y\right)$ jest punkt $P\text{'}=\left(-x,-y\right)$

część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną