Przeczytaj

W materiale omówimy, w jaki sposób wyznaczać współrzędne wierzchołków dowolnego wielokątawielokątwielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, czyli punktu o współrzędnych $(0, 0)$ .

Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych

Definicja: Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych

Punkty o współrzędnych $P = (x, y)$ i $P' = (x', y')$ są symetryczne względem początku układu współrzędnych wtedy gdy $x' = - x$ oraz $y' = - y$ .

RlC12tzNZy3ZF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu zaznaczono zamalowanym kółkiem punkt P o współrzędnych x;y oraz symetryczny do niego względem początku układu współrzędnych punkt P' o współrzędnych -x;-y znajdujący się w pierwszej ćwiartce. Punkty te połączono linią ciągłą, tworząc odcinek PP'.

Z powyższej definicji wynika, że:

punktem symetrycznym względem początku układu współrzędnychpunktem symetrycznym względem początku układu współrzędnych do danego punktu jest punkt o przeciwnych współrzędnych,
początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka łączącego dwa punkty, które są względem niego symetryczne.

Ważne!

Obrazem wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest wielokąt do niego przystający o tym samym obwodzie i polu.

Do sprawdzenia, czy dane dwa wielokąty są symetryczne względem początku układu współrzędnych użyjemy wzoru na środek $S$ odcinka o końcach $A = (x_{1}, y_{1})$ i $B = (x_{2}, y_{2})$ :

S = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

Do wyznaczenia obrazu wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych wystarczy znaleźć obraz wierzchołków tego wielokąta.

Przykład 1

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ punkty o współrzędnych $P = (- m^{2}, 4)$ oraz $P = (m + 12, - 4)$ są symetryczne względem punktu o współrzędnych $(0, 0)$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli punkty $P$ i $P'$ są symetryczne względem początku układu współrzędnych, to do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$- m^{2} = - (m + 12)$

Wobec tego:

$m^{2} - m - 12 = 0$

Zatem $m = - 3$ oraz $m = 4$ .

Przykład 2

Dany jest trójkąt $A B C$ o wierzchołkach $A = (- 3, - 1)$ , $B = (4, - 2)$ oraz $C = (1, 5)$ .

Wyznaczymy współrzędne wierzchołków tego trójkąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Niech $A'$ , $B'$ , $C'$ będą punktami symetrycznymi do punktów $A$ , $B$ , $C$ w symetrii środkowej względem punktu $(0, 0)$ . Wówczas:

$A' = (3, 1)$ ,

$B' = (- 4, 2)$ ,

$C' = (- 1, - 5)$ .

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne wierzchołków prostokąta $A B C D$ z poniższego rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

RbqZPheGRIGjP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami cztery punkty, które połączono ze sobą, tworząc prostokąt. Punkty te to kolejno: A=-4;-3, B=2;-3, C=2;4, D=-4;4. Wnętrze czworokąta zamalowano.

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków prostokąta $A B C D$ :

$A = (- 4, - 3)$ ,

$B = (2, - 3)$ ,

$C = (2, 4)$ ,

$D = (- 4, 4)$ .

Współrzędne wierzchołków prostokąta $A B C D$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych wynoszą odpowiednio:

$A' = (4, 3)$ ,

$B' = (- 2, 3)$ ,

$C' = (- 2, - 4)$ ,

$D' = (4, - 4)$ .

W niektórych przypadkach obrazem wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest ten sam wielokąt.

Przykład 4

Wyznaczymy obraz czworokąta $A B C D$ z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

RqX7OppBxz48g

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków czworokąta:

$A = (- 4, - 3)$ ,

$B = (2, - 2)$ ,

$C = (1, 3)$ ,

$D = (- 2, 4)$ .

Obrazem czworokąta $A B C D$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest czworokąt $A' B' C' D'$ o wierzchołkach:

$A' = (4, 3)$ ,

$B' = (- 2, 2)$ ,

$C' = (- 1, - 3)$ ,

$D' = (2, - 4)$ .

Zatem rysunek czworokąta $A' B' C' D'$ przedstawia się następująco:

R1YrbkBUJx0lb

Przykład 5

Wyznaczymy obraz trójkąta $A B C$ z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, a następnie obliczymy pole części wspólnej tych trójkątów.

R1RbbQYX83uKY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami trzy punkty. Są to kolejno: A=-5;-4, B=5;-4, C=0;4. Punkty połączono ze sobą, tworząc trójkąt.

Rozwiązanie:

Obrazem trójkąta w symetrii jest trójkąt o wierzchołkach $A' B' C'$ .

R1ZJx1OlHnJwd

Zauważmy, że częścią wspólną obu trójkątów jest romb o przekątnych długości $8$ i $5$ , zatem jego pole wynosi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ .

Przykład 6

Sprawdzimy, czy czworokąty $A B C D$ i $A' B' C' D'$ przedstawione na poniższym rysunku są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

R1ZF81PgAtcRk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami cztery punkty, które połączono ze sobą, tworząc czworokąt oraz kolejne cztery punkty, będące symetrycznymi odbiciami wyjściowych punktów względem początku układu współrzędnych. Punkty symetryczne również połączono w czworokąt. Punkty wyjściowe, będące wierzchołkami czworokąta ABCD mają współrzędne: A=-1;-4, B=2;-6, C=4;2, D=0;4. Punkty do nich symetryczne będące wierzchołkami czworokąta A'B'C'D' mają współrzędne: A'=1;4, B'=-2;6, C'=-4;-3, D'=0;-4. Wnętrza obu czworokątów są zamalowane.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków.

Dla czworokąta $A B C D$ mamy:

$A = (- 1, - 4)$ ,

$B = (2, - 6)$ ,

$C = (4, 2)$ ,

$D = (0, 4)$ .

Dla czworokąta $A' B' C' D'$ mamy:

$A' = (1, 4)$ ,

$B' = (- 2, 6)$ ,

$C' = (- 4, - 3)$ ,

$D' = (0, - 4)$ .

Sprawdzimy, czy punkt o współrzędnych $(0, 0)$ jest środkiem każdego z odcinków $A A'$ , $B B'$ , $C C'$ , $D D'$ .

Oznaczymy środki tych odcinków odpowiednio $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ .

Zatem:

$S_{1} = (\frac{- 1 + 1}{2}, \frac{- 4 + 4}{2}) = (0, 0)$ ,

$S_{2} = (\frac{2 - 2}{2}, \frac{- 6 + 6}{2}) = (0, 0)$ ,

$S_{3} = (\frac{4 - 4}{2}, \frac{2 - 3}{2}) = (0, - \frac{1}{2})$ ,

$S_{4} = (\frac{0 - 0}{2}, \frac{4 - 4}{2}) = (0, 0)$ .

Ponieważ $S_{3} \neq (0, 0)$ , zatem czworokąty $A B C D$ i $A' B' C' D'$ przedstawione na rysunku nie są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Słownik

symetria środkowa względem początku układu współrzędnych

przekształcenie geometryczne, w którym obrazem punktu $P = (x, y)$ jest punkt $P' = (- x, - y)$

wielokąt

część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną

Wprowadzenie

Aplet

Słownik