W materiale omówimy, w jaki sposób wyznaczać współrzędne wierzchołków dowolnego wielokątawielokątwielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, czyli punktu o współrzędnych .
Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych
Definicja: Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych
Punkty o współrzędnych i są symetryczne względem początku układu współrzędnych wtedy gdy oraz .
początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka łączącego dwa punkty, które są względem niego symetryczne.
Ważne!
Obrazem wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest wielokąt do niego przystający o tym samym obwodzie i polu.
Do sprawdzenia, czy dane dwa wielokąty są symetryczne względem początku układu współrzędnych użyjemy wzoru na środek odcinka o końcach i :
Do wyznaczenia obrazu wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych wystarczy znaleźć obraz wierzchołków tego wielokąta.
Przykład 1
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru punkty o współrzędnych oraz są symetryczne względem punktu o współrzędnych .
Rozwiązanie:
Jeżeli punkty i są symetryczne względem początku układu współrzędnych, to do wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:
Wobec tego:
Zatem oraz .
Przykład 2
Dany jest trójkąt o wierzchołkach , oraz .
Wyznaczymy współrzędne wierzchołków tego trójkąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Niech , , będą punktami symetrycznymi do punktów , , w symetrii środkowej względem punktu . Wówczas:
,
,
.
Przykład 3
Wyznaczymy współrzędne wierzchołków prostokąta z poniższego rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
RbqZPheGRIGjP
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków prostokąta :
,
,
,
.
Współrzędne wierzchołków prostokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych wynoszą odpowiednio:
,
,
,
.
W niektórych przypadkach obrazem wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest ten sam wielokąt.
Przykład 4
Wyznaczymy obraz czworokąta z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
RqX7OppBxz48g
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków czworokąta:
,
,
,
.
Obrazem czworokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest czworokąt o wierzchołkach:
,
,
,
.
Zatem rysunek czworokąta przedstawia się następująco:
R1YrbkBUJx0lb
Przykład 5
Wyznaczymy obraz trójkąta z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, a następnie obliczymy pole części wspólnej tych trójkątów.
R1RbbQYX83uKY
Rozwiązanie:
Obrazem trójkąta w symetrii jest trójkąt o wierzchołkach .
R1ZJx1OlHnJwd
Zauważmy, że częścią wspólną obu trójkątów jest romb o przekątnych długości i , zatem jego pole wynosi:
.
Przykład 6
Sprawdzimy, czy czworokąty i przedstawione na poniższym rysunku są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
R1ZF81PgAtcRk
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków.
Dla czworokąta mamy:
,
,
,
.
Dla czworokąta mamy:
,
,
,
.
Sprawdzimy, czy punkt o współrzędnych jest środkiem każdego z odcinków , , , .
Oznaczymy środki tych odcinków odpowiednio , , , .
Zatem:
,
,
,
.
Ponieważ , zatem czworokąty i przedstawione na rysunku nie są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
Słownik
symetria środkowa względem początku układu współrzędnych
symetria środkowa względem początku układu współrzędnych
przekształcenie geometryczne, w którym obrazem punktu jest punkt
wielokąt
wielokąt
część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną