Przed egzaminem - planimetria

Odcinek łączący środek okręgu ze środkiem cięciwy ma długość $5 \mathrm{cm}$.

Promień okręgu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długości $5 \mathrm{cm}$ (odległość środka okręgu od cięciwy) i $12 \mathrm{cm}$ (połowa długości cięciwy).

R1RvmEXOUICJX

Ilustracja przedstawia okręg z zaznaczoną cięciwą i środkiem okręgu S. Odcinek między środkiem okręgu, a środkiem cięciwy ma długość pięć centymetrów. Ten odcinek razem z połową cięciwy i promieniem koła tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 centymetrów, 5 centymetrów i przeciwprostokątnej długości r.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

$r^2=5^2+{12}^2$

$r^2=25+144$

$r^2=169$

$r=\sqrt{169}$

$r=13$

Promień okręgu jest równy $13 \mathrm{cm}$.

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego dzieli sześciokąt na przystające trójkąty równoboczne.

Dłuższa przekątna dzieli sześciokąt foremny na trójkąty równoboczne o boku długości $6$. Połowa krótszej przekątnej jest wysokością jednego z takich trójkątów.

RZPoO5bAgrWyy

Sześciokąt foremny z zaznaczonymi dłuższymi przekątnymi i krótszą przekątną. Dłuższe przekątne dzielą sześciokąt foremny na sześć trójkątów równobocznych o boku długości sześć.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $6$ jest równa
$\frac{\sqrt{3}}{2}·6=3\sqrt{3}$.

Zatem długość krótszej przekątnej jest równa
$2·3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym $45°$ przyprostokątne są równe.

RiPUfl9UNsSpl

Rysunek przedstawia równoległobok ABDC. Po lewej stronie zaznaczona jest wysokość h i kąt ostry 45 stopni. Długość dłuższego boku opisana jest jako a, długość krótszego boku opisana jest jako a minus 1.

Oznaczmy:
$a$ – długość dłuższego boku równoległoboku,
$a-1$ – długość krótszego boku równoległoboku,
$h$ – wysokość równoległoboku.

$2·\left(a+a-1\right)=22 \overline{):2}$

$2a-1=11$

$2a=12$

$a=6$

Boki równoległoboku mają długości $6$ i $5$.

RYYKKnVZRtMkH

Rysunek przedstawia równoległobok ABDC. Dodano w nim długości boków, górny bok ma długość 6 cm, a boczne boki mają po 5 cm. Po lewej stronie zaznaczona jest wysokość h i kąt ostry 45 stopni. Przy wysokości dodano punkt E, punkty ADE tworzą trójkąt prostokątny.

Trójkąt $ADE$ jest prostokątny.

$\left|AE\right|=\left|DE\right|=h$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

$h^2+h^2=5^2$

$2h^2=25$

$h^2=\frac{25}{2}$

$h=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Obliczamy pole równoległoboku $ABDC$.

$P=6·h$

$P=6·\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{30\sqrt{2}}{2}=15\sqrt{2}$

Pole równoległoboku jest równe $15\sqrt{2}$.

Przekształć odpowiednio wzór na pole trapezu.

Korzystamy ze wzoru na pole trapezu.

$\frac{1}{2}\left(10+22\right)·h=128 \overline{)·2}$

$32·h=256$

$h=256:32$

$h=8$

Wysokość trapezu jest równa $8 \mathrm{cm}$.