Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów polega na wyznaczaniu niewiadomej w zależności od innych zmiennych występujących w tych wzorach. Ma to zastosowanie przy wyznaczaniu potrzebnych niewiadomych ze wzorów matematycznych, fizycznych, chemicznych.

R1WpXiHbGY1mB1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Gdy niewiadoma, którą chcemy wyznaczyć występuje w kilku miejscach i nie możemy dokonać redukcji wyrazów podobnych, należy szukaną zmienną wyłączyć przed nawias.

Przypomnijmy, jak poprawnie wykonać potrzebne działania.

Aby zrozumieć poruszane w tym materiale zagadnienia, przypomnij sobie:

RIIgowuxIpZQt1

RUYCY0DFhWIHz1

Ćwiczenie 1

Wyznacz z podanych wzorów niewiadomą

x

, a następnie przeciągnij i upuść odpowiednie wyrażenie w wyznaczone pole. Wyznaczając zmienną

x

z równania

3 x - 5 = 2 x + 2 a \dots

otrzymamy

x =

4 y - z

, 2.

6 y - z

, 3.

3 a + 5

, 4.

3 + 5 a

, 5.

2 + 6 a

, 6.

2 a + 5

, 7.

a + 4 a b - 8 b

, 8.

2 + 5 a

, 9.

a + 2 a b - 8 b

, 10.

4 y + z

, 11.

a + 2 a b + 8 b

, 12.

2 a + 6

. Wyznaczając zmienną

x

z równania

\sqrt{9} - x = 1 - 5 a \dots

otrzymamy

x =

4 y - z

, 2.

6 y - z

, 3.

3 a + 5

, 4.

3 + 5 a

, 5.

2 + 6 a

, 6.

2 a + 5

, 7.

a + 4 a b - 8 b

, 8.

2 + 5 a

, 9.

a + 2 a b - 8 b

, 10.

4 y + z

, 11.

a + 2 a b + 8 b

, 12.

2 a + 6

. Wyznaczając zmienną

x

z równania

x - 5 y + z = - 4^{0} y \dots

otrzymamy

x =

4 y - z

, 2.

6 y - z

, 3.

3 a + 5

, 4.

3 + 5 a

, 5.

2 + 6 a

, 6.

2 a + 5

, 7.

a + 4 a b - 8 b

, 8.

2 + 5 a

, 9.

a + 2 a b - 8 b

, 10.

4 y + z

, 11.

a + 2 a b + 8 b

, 12.

2 a + 6

. Wyznaczając zmienną

x

z równania

a + 2 a b + 2 x = 2^{3} b + 3 x \dots

otrzymamy

x =

4 y - z

, 2.

6 y - z

, 3.

3 a + 5

, 4.

3 + 5 a

, 5.

2 + 6 a

, 6.

2 a + 5

, 7.

a + 4 a b - 8 b

, 8.

2 + 5 a

, 9.

a + 2 a b - 8 b

, 10.

4 y + z

, 11.

a + 2 a b + 8 b

, 12.

2 a + 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdfDKqNJpaLJU1

Ćwiczenie 2

Poniżej przedstawiono wzory wraz z wyznaczonymi zmiennymi

a

. Połącz wyznaczone zmienne z odpowiadającymi im wzorami.

a = \frac{2 \sqrt{3} \cdot h}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, 2.

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

, 3.

P = \frac{a \cdot h}{2}

, 4.

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 5.

P = a^{2}

a = \sqrt{\frac{4 \sqrt{3} \cdot P}{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, 2.

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

, 3.

P = \frac{a \cdot h}{2}

, 4.

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 5.

P = a^{2}

a = \frac{2 \cdot P}{h}

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, 2.

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

, 3.

P = \frac{a \cdot h}{2}

, 4.

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 5.

P = a^{2}

a = \frac{2 P}{h} - b

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, 2.

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

, 3.

P = \frac{a \cdot h}{2}

, 4.

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 5.

P = a^{2}

a = \sqrt{P}

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, 2.

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

, 3.

P = \frac{a \cdot h}{2}

, 4.

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 5.

P = a^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RABqaEhc5AUUo1

Ćwiczenie 3

Z podanego wzoru wyznaczono zmienną

x

. Uzupełnij puste miejsca, wpisując odpowiednią liczbę tak, aby wzór był poprawny. Przyjmij, że wszystkie zmienne są różne od zera.

2 c x + 2 a = c - c x

x = \frac{c - 2 a}{□}

dla

□ =

Tu uzupełnij.

4 v x - 5 v + 1 = v (2 x - v)

x = \frac{- v^{2} + 5 v + △}{2 v}

dla

△ =

Tu uzupełnij.

2 a b - a x + \sqrt[3]{8} b = 3 a (2 x + 3 a b)

x = \frac{- 9 a^{2} b + 2 a b + ○}{7}

dla

○ =

Tu uzupełnij.

3 (p x - p) + 2 p q = 2 p (3 q + 2 x - p) + 1

x = \frac{2 p^{2} - 3 p - 4 p q - 1}{▭}

dla

▭ =

Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRcTxs0rNvKMK1

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1HNoP1VdVG6B2

Ćwiczenie 5

Przyjmijmy, że wszystkie zmienne są liczbami dodatnimi. Z poniższych wzorów wyznacz zmienną

x

. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

p (x + 2 a) = 3 x + 1

x =

\frac{1 - 2 a p}{p - 3}

, 2.

\frac{z}{a - z - z^{2}}

, 3.

\frac{z v}{2 + 2 v}

, 4.

\frac{1 - 2 a}{2 + a p}

, 5.

\frac{z^{2} - a}{2 z - a}

, 6.

\frac{z v - 2}{2 v}

, 7.

\frac{v^{2} - 1}{1 - v}

, 8.

\frac{3 a p + 2}{1 - p}

, 9.

\frac{z}{a - z}

, 10.

\frac{1 - v}{v - 2}

z = \frac{2 x}{v} + 2 x

x =

\frac{1 - 2 a p}{p - 3}

, 2.

\frac{z}{a - z - z^{2}}

, 3.

\frac{z v}{2 + 2 v}

, 4.

\frac{1 - 2 a}{2 + a p}

, 5.

\frac{z^{2} - a}{2 z - a}

, 6.

\frac{z v - 2}{2 v}

, 7.

\frac{v^{2} - 1}{1 - v}

, 8.

\frac{3 a p + 2}{1 - p}

, 9.

\frac{z}{a - z}

, 10.

\frac{1 - v}{v - 2}

v = \frac{x}{x + 1} + 1

x =

\frac{1 - 2 a p}{p - 3}

, 2.

\frac{z}{a - z - z^{2}}

, 3.

\frac{z v}{2 + 2 v}

, 4.

\frac{1 - 2 a}{2 + a p}

, 5.

\frac{z^{2} - a}{2 z - a}

, 6.

\frac{z v - 2}{2 v}

, 7.

\frac{v^{2} - 1}{1 - v}

, 8.

\frac{3 a p + 2}{1 - p}

, 9.

\frac{z}{a - z}

, 10.

\frac{1 - v}{v - 2}

\frac{a}{z} - 1 = z + \frac{1}{x}

x =

\frac{1 - 2 a p}{p - 3}

, 2.

\frac{z}{a - z - z^{2}}

, 3.

\frac{z v}{2 + 2 v}

, 4.

\frac{1 - 2 a}{2 + a p}

, 5.

\frac{z^{2} - a}{2 z - a}

, 6.

\frac{z v - 2}{2 v}

, 7.

\frac{v^{2} - 1}{1 - v}

, 8.

\frac{3 a p + 2}{1 - p}

, 9.

\frac{z}{a - z}

, 10.

\frac{1 - v}{v - 2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DH3HYWlsVpt2

Ćwiczenie 6

$s = v ∙ t$
$s = \frac{t}{v}$
$s = \frac{v}{t}$
$s = v - t$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1E1VDCZh5yof2

Ćwiczenie 7

$t = \frac{\sqrt{2 s}}{a}$
$t = \sqrt{\frac{s}{2 a}}$
$t = \sqrt{\frac{2 s}{a}}$
$t = \frac{\sqrt{s}}{2 a}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8pZtlrBrAnhT2

Ćwiczenie 8

$a = \frac{4 p + 3}{2 h}$
$a = \frac{4 p + 3}{h}$
$a = \frac{4 p}{h} + 3$
$a = \frac{p}{4 h} + 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1HGgiBgYURlf2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Przyjmijmy, że wszystkie zmienne są liczbami dodatnimi. Z podanych wzorów wyznacz wskazane zmienne.

$P = a b + a h + b h$ , $a$ , $h$
$P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 2 a \cdot h$ , $h$
$V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot H$ , $a$ , $H$
$V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H$ , $a$ , $H$

R1dQR1Fb3xzzT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a = \frac{P - b h}{b + h}$ , $h = \frac{P - a b}{a + b}$
$h = \frac{P - \frac{a^{2 \sqrt{3}}}{4}}{2 a}$
$a = \sqrt{\frac{3 V}{H}}$ , $H = \frac{3 V}{a^{2}}$
$a = \sqrt{\frac{4 V}{\sqrt{3} H}}$ , $H = \frac{4 V}{a^{2} \sqrt{3}}$

R19bARs4F2ocZ3

Ćwiczenie 11

Wyznaczając ze wzoru $R$ , otrzymamy $R = \frac{R_{1} ∙ R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{1}$ , otrzymamy $R_{1} = \frac{R ∙ R_{2}}{R + R_{2}}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{1}$ , otrzymamy $R_{1} = \frac{R ∙ R_{2}}{R_{2} - R}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{2}$ , otrzymamy $R_{2} = \frac{R ∙ R_{1}}{R - R_{1}}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1X1VuUQ6KZy53

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Sprawdź, czy wyznaczając $b$ ze wzoru $d = \frac{1 - \frac{a b}{c}}{a + b}$ , otrzymasz wzór $b = \frac{1 - a d}{\frac{1}{c} (a + c d)}$ .

Podaj konieczne założenia.

R1CSNbUv70q0g

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zwróć uwagę na zmienne w mianownikach i zapisz wymagane założenia. Wyznacz ze wzoru zmienną $b$ i sprawdź jak wygląda postać tej zmiennej.

Tak

$c \neq 0$ ,

$a \neq - b$ ,

$c d \neq - a$ .