Przykłady. Część I

W poniższych przykładach pokażemy zastosowania trygonometrii do opisu związków miarowych w figurach płaskich.

Przykład 1

W trójkącie równoramiennym $ABC$ każde z ramion $AC$ i $BC$ ma długość równą $10 .$ Miara kąta $ACB$ jest równa $45 °$ . Obliczymy pole tego trójkąta.

RTcwI8Whu7H9Q1

Rysunek trójkąta równoramiennego A B C o ramieniu AC i BC długości 10. Kąt między ramionami równy jest 45 stopni.

Zauważmy, że wysokość $AD$ , opuszczona na bok $CB$ , odcina trójkąt prostokątny $ADC$ . Ponieważ kąt $ACD$ ma miarę $45 °$ , to

\frac{|AD|}{|AC|} = \sin 45 ° .

Wobec tego

|AD| = |AC| \cdot \sin 45 ° = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}

i pole $P$ trójkąta $ABC$ jest równe

P = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |AD| = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \sqrt{2} = 25 \sqrt{2 .}

Przykład 2

Rozpatrzmy trójkąt ostrokątny $ABC$ , w którym dane są długości boków $| AC | = b, | BC | = a$ oraz miara $γ$ kąta $ACB$ .
Zauważmy, że wysokość $AD$ opuszczona na bok $BC$ , odcina trójkąt prostokątny, w którym

\frac{|AD|}{|AC|} = sinγ,

Przyjmując $h = |AD|$ , otrzymujemy

\frac{h}{b} = sinγ,

skąd

h = b sinγ .

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,

zatem

P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ∙ sinγ .

RdvwbJ2sSdU041

Rysunek trójkąta A B C o długości boków AC =b, BC =a i wysokości AD =h. Kąt A C B = gamma.

Wobec tego pole trójkąta ostrokątnego możemy wyrazić za pomocą danych długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

Przykład 3

W równoległoboku $ABCD$ dane są długości boków $| AB | = 5$ i $| BC | = 2$ . Kąt $DAB$ ma miarę $30 °$ . Obliczymy pole tego równoległoboku.
Zauważmy, że przekątna $DB$ dzieli dany równoległobok na dwa trójkąty przystające $ADB$ i $CBD$ .

ReeGsaeqF27781

Rysunek równoległoboku A B C D o bokach AD =2, AB =5 i kącie D A B = 30 stopni.

Ponieważ pole trójkąta $ABD$ jest równe

P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2},

to pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $5$ .

Przykład 4

Rozpatrzmy równoległobok $ABCD$ , w którym długości boków $AB$ i $AD$ są równe odpowiednio $a$ oraz $b$ . Kąt ostry między tymi bokami ma miarę $α$ .
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zauważmy, że przekątna $DB$ dzieli dany równoległobok na dwa trójkąty przystające $ADB$ i $B CD$ .

RQOZPurJAdypU1

Rysunek równoległoboku A B C D o bokach AD =BC =b, AB =DC =a i kącie ostrym równym alfa.

Ponieważ pole trójkąta $ABD$ jest równe

P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot sinα = \frac{1}{2} ab \cdot sinα,

to pole równoległoboku $ABCD$ jest równe

P_{ABCD} = 2 \cdot P_{ABD} = 2 \cdot \frac{1}{2} ab sinα = ab sinα .

Przykład 5

W czworokącie $ABCD$ przekątne długości | $AC | = 11$ oraz $| BD | = 16$ przecinają się w punkcie $P$ pod kątem $60 °$ . Obliczymy pole tego czworokąta.

R1Wq4E1ZzL3yw1

Rysunek czworokąta A B C D o przekątnych AC =11 i BD =16, które przecinają się w punkcie P pod kątem 60 stopni.

Poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta $ABCD$ cztery proste $k$ , $l$ , $m$ , $n$ równoległe odpowiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia tych prostych oznaczmy $K$ , $L$ , $M$ , $N$ .

R1UUCxkM7RAdd1

Rysunek czworokąta A B C D i pomocniczego równoległoboku K L M N, utworzonego przez punkty przecięcia prostych k, l, m, n.

Czworokąt $KLMN$ jest równoległobokiem. Wobec tego $| NK | = 11$ i $| KL | = 16$ oraz kąt $NKL$ ma miarę $60 °$ . A zatem pole czworokąta $KLMN$ jest równe

P_{KLMN} = |NK| \cdot |KL| \cdot \sin 60 ° = 16 \cdot 11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 88 \sqrt{3} .

Każdy z czworokątów $APDM$ , $BPAN$ , $CPBK$ i $DPCL$ jest równoległobokiem, w którym jedna z przekątnych jest bokiem czworokąta $ABCD$ .
Każda przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są równe

P_{APD} = P_{AMD}, P_{BPA} = P_{BNA} {, P}_{CPB} = P_{CKB} {, P}_{DPC} = P_{DLC} .

Ponadto pole czworokąta $ABCD$ jest sumą pól trójkątów $APD$ , $BPA$ , $CPB$ i $DPC$ . To znaczy, że pole równoległoboku $KLMN$ jest dwa razy większe od pola czworokąta $ABCD$ . Zatem

P_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot P_{KLMN} = \frac{1}{2} \cdot 88 \sqrt{3} = 44 \sqrt{3} .

Przykład 6

Rozpatrzmy czworokąt $ABCD$ , w którym długości przekątnych $AC$ i $BD$ są równe odpowiednio $d_{1}$ oraz $d_{2}$ , a kąt ostry między nimi ma miarę $α$ .
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta cztery proste $k$ , $l$ , $m$ , $n$ równoległe odpowiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia tych prostych oznaczmy $K$ , $L$ , $M$ , $N$ .

R1MbubOZwGmAp1

Czworokąt $KLMN$ jest równoległobokiem. Wobec tego $| NK | = d_{1}$ i $| KL | = d_{2}$ oraz kąt $NKL$ ma miarę $α$ . Pole $KLMN$ jest równe

P_{KLMN} = |NK| \cdot |KL| \cdot sinα = d_{1} \cdot d_{2} \cdot sinα .

Każdy z czworokątów $APDM$ , $BPAN$ , $CPBK$ i $DPCL$ jest równoległobokiem, w którym jedna z przekątnych jest bokiem czworokąta $ABCD$ .
Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są równe

P_{APD} = P_{AMD}, P_{BPA} = P_{BNA}, P_{CPB} = P_{CKB,} P_{DPC} = P_{DLC .}

ROA9EwunKm4hk1

Ponadto pole czworokąta $ABCD$ jest sumą pól trójkątów $APD$ , $BPA$ , $CPB$ i $DPC$ . To znaczy, że pole równoległoboku $KLMN$ jest dwa razy większe od pola czworokąta $ABCD$ , skąd

P_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot P_{KLM N} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sinα .

Przykład 7

W trójkącie $ABC$ boki $AC$ i $BC$ mają długości $| AC | = 6$ i $| BC | = 4$ , a kąt między tymi bokami ma miarę $120 °$ . Obliczymy pole tego trójkąta.
Zauważmy, że wysokość $AD$ jest opuszczona na przedłużenie boku $BC$ .

R1b9v5FA6G5p21

Rysunek trójkąta A B C. Punkt D leży na przedłużeniu boku BC =4, bok AC =6 a kąt A C B =120 stopni.

W trójkącie prostokątnym $ADC$ kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę $60 °$ . Wówczas

\frac{|AD|}{|AC|} = \sin 60 °,

skąd

|AD| = |AC| \cdot \sin 60 ° = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} .

Pole $P$ trójkąta $ABC$ jest więc równe

P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |AD| = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} .

Wybierzmy dodatkowo na półprostej $BC$ taki punkt $E$ , że $|EC| = |BC|$ . Wówczas trójkąty $BAC$ oraz $EAC$ mają równe boki $BC$ i $EC$ oraz wspólną wysokość $AD$ , opuszczoną z wierzchołka $A$ .

RXd8giTG9EkTt1

Rysunek trójkąta A B C. Punkty D i E leżą na przedłużeniu boku BC.

Pola tych trójkątów są więc równe, co znaczy, że pole trójkąta $ABC$ można wyrazić za pomocą danych długości boków i sinusa kąta przyległego do kąta rozwartego zawartego między tymi bokami

P_{ABC} = P_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot |EC| \cdot |CA| \cdot \sin 60 ° = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |CA| \cdot \sin 60 ° = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} .

Przykład 8

Rozpatrzmy trójkąt rozwartokątny $ABC$ , w którym dane są długości boków $|CB| = a$ i $|AC| = b$ . Kąt $ACB$ jest rozwarty i ma miarę $γ$ .

Rnl3b8INQDYtn1

Rysunek trójkąta A B C. Punkt D leży na przedłużeniu boku BC =a, bok AC =b a kąt A C B =gamma.

Niech $AD$ będzie wysokością trójkąta $ABC$ , przy czym punkt $D$ niech leży na przedłużeniu boku $BC$ . Postępując podobnie jak w poprzednim przykładzie, wybierzmy na półprostej $BC$ taki punkt $E$ , że

|CE| = a .

R1QlV5Asia9fZ1

Rysunek trójkąta A B C. Punkty D i E leżą na przedłużeniu boku BC =a, bok AC =b a kąt A C B =gamma.

Wówczas trójkąty $ABC$ i $AEC$ mają równe pola, czyli

P_{ABC} = P_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot |EC| \cdot |CA| \cdot \sin (180 ° - γ) = \frac{1}{2} ab \sin (180 ° - γ) .

Zadania generatorowe

Przykłady. Część II