Przykłady. Część II
Sinus kąta można rozważać także dla kąta prostego oraz rozwartego. Wówczas
i jeżeli jest kątem ostrym, to
Z powyższych równości i z wcześniejszych przykładów wynika, że pole dowolnego trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między nimi.
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami.
Przy oznaczeniach takich jak na rysunku
W trójkącie dane są długości boków: , . Kąt ma miarę . Na boku leży taki punkt , że . Obliczymy długość odcinka .
Zauważmy, że pole trójkąta jest równe sumie pól trójkątów i .
Ponadto
Oznaczmy . Wtedy pola trójkątów i możemy zapisać za pomocą .
Otrzymujemy równanie
skąd
Zatem
W trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku jest prosty, a punkt jest spodkiem wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną z wierzchołka . Wykażemy, że
Oznaczmy przez miarę kąta .
Wówczas w trójkącie
a w trójkącie
Stąd
czyli
W ten sposób dowód został zakończony.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości i . Kwadrat jest wpisany w trójkąt tak, że bok leży na przeciwprostokątnej , a wierzchołki i leżą na przyprostokątnych odpowiednio i . Obliczymy długość boku tego kwadratu.
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie obliczamy długość boku .
Ponieważ , to
Oznaczmy przez długość boku kwadratu , a przez miarę kąta .
Stąd
Każdy z trójkątów prostokątnych , oraz jest zatem podobny do trójkąta . Wobec tego stosunki długości boków w tych trójkątach możemy wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta .
W trójkącie
W trójkącie
a w trójkącie
Wynika z tego, że
skąd
Ale , więc , a zatem , czyli .
Zatem długość boku kwadratu jest równa .