Zadania

Ćwiczenie 1

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AC| = |BC| = 4$ i $|∡ ACB| = 30 °$ . Wówczas

RfGOfBW974rod

wysokość $AD$ opuszczona z wierzchołka $A$ na bok $BC$ ma długość $2$
podstawa $AB$ ma długość $2$
pole trójkąta $ABC$ jest równe $4$

Ćwiczenie 2

W trójkącie $ABC$ dane są $|AB| = 6$ , $|BC| = 2 \sqrt{2}$ i $|∡ ABC| = 45 °$ . Wynika z tego, że

R4mMbdekosFIH

pole trójkąta $ABC$ jest równe $6$
wysokość $CD$ opuszczona z wierzchołka $C$ na bok $AB$ ma długość $2$
kąt $BAC$ ma miarę $30 °$

Ćwiczenie 3

W równoległoboku $ABCD$ dane są długości boków $|AB| = 10$ , $|AD| = 6$ . Miara kąta $BAD$ jest równa $60 °$ . Wtedy

R1ezo1GXDcZiV

pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $15 \sqrt{3}$
wysokość $DE$ opuszczona z wierzchołka $D$ na bok $BC$ ma długość $5 \sqrt{3}$
kąt $ABD$ ma miarę większą niż $30 °$

Ćwiczenie 4

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawy mają długości $|AB| = 7$ i $|CD| = 5$ . Przekątne $AC$ i $BD$ tego trapezu przecinają się w punkcie $S$ , przy $|∡ BSA| = 60 °$ . Wówczas

R1bBjbEavwZ5l

pole trapezu $ABCD$ jest równe $36 \sqrt{3}$
trójkąt $ASD$ ma pole równe $\frac{35 \sqrt{3}}{4}$
$"|"BD"|" = 12$

Ćwiczenie 5

W rombie $ABCD$ o boku równym $2 \sqrt{3}$ przekątna $AC$ ma długość $6$ . Wynika z tego, że

RDsraVku1kxL8

kąt $ABC$ ma miarę $4$ razy większą od miary kąta $ACD$
pole tego rombu jest równe $10$
przekątna $BD$ jest równa $\sqrt{3}$

Ćwiczenie 6

W trójkącie $ABC$ boki $AB$ i $BC$ mają długości równe odpowiednio $7$ oraz $4 \sqrt{2}$ . Kąt $ABC$ ma miarę $135 °$ . Wtedy

ReJ0XqEJwm2OQ

odległość punktu $C$ od prostej $AB$ jest równa $4$
pole trójkąta $ABC$ jest równe $14$
kąt $BAC$ ma miarę $30 °$

Ćwiczenie 7

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości $5$ i $9$ . Cosinus kąta ostrego tego trapezu jest równy $0,8$ . Wówczas

RjLXQsfTKYhES

pole trapezu $ABCD$ jest równe $21$
dłuższe ramię trapezu $ABCD$ jest równe $5$
kąt nachylenia krótszej przekątnej tego trapezu do podstawy jest większy niż $30 °$

Ćwiczenie 8

W trójkącie $ABC$ dane są długości boków: $| AB | = 8, | BC | = 6, | AC | = 5$ . Punkt D jest środkiem boku $AB$ . Punkty $E$ i $F$ leżą na bokach odpowiednio $BC$ i $AC$ , przy czym $| BE | = | CF | = 2$ . Wynika z tego, że

R13MZiHUBqZ8W

pole trójkąta $ADF$ stanowi $\frac{3}{10}$ pola trójkąta $ABC$
pole trójkąta $BDE$ stanowi $\frac{1}{6}$ pola trójkąta $ABC$
pola trójkątów $DEF$ i $CEF$ są równe

Ćwiczenie 9

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt ostry przy wierzchołku $B$ jest dwa razy większy od kąta ostrego przy wierzchołku $A$ . Stosunek długości przyprostokątnej $BC$ do przeciwprostokątnej $AB$ jest równy

R1aN5X5WzLxr1

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ćwiczenie 10

W trójkącie prostokątnym $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ , dane są $| BC | = 12$ i $\sin (∡ CAB) = \frac{3}{5}$ . Wynika z tego, że długość boku $AC$ jest równa

RPvTmIwRChXGi

$9$
$16$
$20$

Ćwiczenie 11

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są długości boków $| AC | = | BC | = 6$ i $| AB | = 6 \sqrt{3}$ . Wówczas kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę

ReewbfhIJUPmU

$60 º$
$90 º$
$120 º$
$150 º$

Ćwiczenie 12

Pole trójkąta $ABC$ , w którym $| AB | = 8, | AC | = 2 \sqrt{3}$ i $|∡ CAB| = 60 °$ jest równe

R7SpKIW7kOpbv

$12$
$12 \sqrt{2}$
$12 \sqrt{3}$
$24$

Ćwiczenie 13

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawy mają długości $| AB | = 11$ i $| CD | = 5$ . Wysokość tego trapezu jest równa $3$ . Wówczas kąt ostry przy podstawie tego trapezu ma miarę

RnIN1OkF1aZk2

$15 °$
$30 °$
$45 °$
$60 °$

Ćwiczenie 14

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię ma długość $6$ , a miara kąta przy podstawie jest równa $75 °$ . Pole tego trójkąta jest równe

RGjoeJxjEECOh

$18$
$9 \sqrt{3}$
$9 \sqrt{2}$
$9$

Ćwiczenie 15

W równoległoboku $ABCD$ dane są $| AB | = 7, | AD | = 12$ i $|∡ BCD| = 150 °$ . Pole tego równoległoboku jest równe

RQIMs4Gl5Gyyi

$42$
$42 \sqrt{2}$
$42 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 16

W czworokącie wypukłym $ABCD$ punkty $K$ , $L$ i $M$ są środkami boków odpowiednio $BC$ , $CD$ i $DA$ , $| KL | = 6, | LM | = 2 \sqrt{2}$ , a kąt $KLM$ ma miarę $135 °$ . Wówczas pole czworokąta $ABCD$ jest równe

R1UBigBI4zjFW

$6$
$12$
$18$
$24$

Ćwiczenie 17

Na bokach $AB$ i $AC$ trójkąta $ABC$ odpowiednio leżą punkty $K$ i $L$ takie, że $| AK | = 2 | KB |$ i $| AL | = 3 | LC |$ . Wynika z tego, że stosunek pola trójkąta $AKL$ do pola trójkąta $ABC$ jest równy

RoX5B8NZR3KHF

$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{4}{5}$

Ćwiczenie 18

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątne mają długości $| AC | = 5, | BC | = 20$ . Punkt $D$ leży na przeciwprostokątnej $AB$ i $|∡ DCA| = 45 °$ . Odcinek $CD$ ma długość

R1481XG5Wolvu

$\frac{5 \sqrt{17}}{2}$
$\frac{25}{4}$
$4 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 19

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przeciwprostokątna $AB$ ma długość $6$ . Kąt $ABC$ ma miarę $30 °$ . Oblicz długości przyprostokątnych i pole tego trójkąta.

$|AC| = 3$
$|BC| = 3 \sqrt{3}$
$P_{ABC} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

\frac{|AC|}{|AB|} = \sin 30 °

\frac{|AC|}{6} = \frac{1}{2}

|AC| = 3, \frac{|BC|}{|AB|} = \cos 30 °

\frac{|BC|}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}

|BC| = 3 \sqrt{3}

P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{3} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}

Ćwiczenie 20

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są długości boków $| AC | = | BC | = 2$ . Miara kąta $ABC$ jest równa $75 °$ . Oblicz pole tego trójkąta.

$1$

|∡ ACB| = 180 ° - (|∡ ABC| + |∡ BAC|) = 180 ° - (75 ° + 75 °) = 30 °

P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

Ćwiczenie 21

W równoległoboku $ABCD$ dane są długości boków $| AD | = 5, | CD | = 8$ , a miara kąta $ABC$ jest $3$ razy większa od miary kąta $BAD$ . Oblicz pole równoległoboku $ABCD$ .

$20 \sqrt{2}$

Oznaczmy $|∡ DAB| = α$ , wtedy $|∡ ABC| = 4 α$ . Z własności równoległoboku
$α + 3 α = 180 °$ , więc $α = 45 °$ .

P_{ABCD} = |AB| \cdot |AD| \cdot \sin 45 ° = 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \sqrt{2 .}

Ćwiczenie 22

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawami są boki $AB$ i $CD$ . Każda z przekątnych $AC$ i $BD$ ma długość $10$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $M$ , przy czym $| ∡AMB | = 150 °$ . Oblicz pole trapezu $ABCD$ .

$25$

Pole trapezu $ABCD$ jest równe

P_{ABCD} = \frac{1}{2} |AC| \cdot |BD| \cdot \sin (∡ AMD),

czyli

P_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 25 .

Ćwiczenie 23

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przedstawionym na rysunku kąt ostry $BAC$ ma miarę $45 °$ . Bok kwadratu $DEFG$ , wpisanego w ten trójkąt, jest równy $2 \sqrt{2}$ . Oblicz pole trójkąta $ABC$ .

R17clgzAVngQC1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C i kwadratu D E F G wpisanego w trójkąt. Kąt B A C =45 stopni.

$18$

W trójkącie prostokątnym $ADE$

\sin (∡ DAE) = \frac{|DE|}{|AD|},

skąd $\frac{2 \sqrt{2}}{|AD|} = \sin 45 °$ , czyli $|AD| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$ , zatem $|AD| = 4$ . Trójkąt $BFG$ jest przystający do trójkąta $AED$ , więc

|GB| = 4 .

W trójkącie prostokątnym $DGC$

\sin (∡CDG) = \frac{|CG|}{|DG|} .

Skąd

\frac{|CG|}{2 \sqrt{2}} = \sin 45 °,

czyli

|CG| = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2},

zatem $|CG| = 2$ . Trójkąt ten jest równoramienny, więc $|CD| = 2$ .
Wobec tego

|AC| = |AD| + |DC| = 4 + 2 = 6

oraz $|BC| = 6$ , zatem pole trójkąta $ABC$ jest równe

P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 .

Ćwiczenie 24

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawy mają długości $| AB | = 18, | CD | = 6$ . Proste $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $E$ , przy czym $| ∡AEB | = 120 °$ . Oblicz pole trapezu $ABCD$ .

$24 \sqrt{3}$

W trójkącie równoramiennym $CDE$ mamy $| CD | = 6$ i $|∡CED| = 120 ° .$ Oznaczmy przez $h_{1}$ wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka $E$ na bok $CD$ . Wówczas $\frac{h_{1}}{3} = tg 30 °$ , więc

h_{1} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} .

W trójkącie równoramiennym $ABE$ mamy $| AB | = 18$ i $| ∡AEB | = 120 °$ . Oznaczmy przez $h_{2}$ wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka $E$ na bok $AB$ . Wówczas $\frac{h_{2}}{9} = tg 30 °$ , skąd

h_{2} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3} .

Wynika z tego, że wysokość trapezu $ABCD$ jest równa

h_{2} - h_{1} = 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{3},

zatem jego pole jest równe

P_{ABCD} = \frac{1}{2} (18 + 6) \cdot 2 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3} .

Ćwiczenie 25

Bok rombu $ABCD$ ma długość $20 \frac{1}{2}$ . Tangens kąta ostrego przy wierzchołku $A$ jest równy $\frac{40}{9}$ . Oblicz długość przekątnej $AC$ .

$|AC| = 5 \sqrt{41}$

Oznaczmy literą $E$ – spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka $D$ rombu $ABCD$ na bok $AB$ , literą $F$ – spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ rombu $ABCD$ na prostą $AB$ . Wtedy trójkąty $AED$ oraz $BFC$ są przystające (na mocy cechy $bkb$ ), zatem

| DE | = | CF | i | AE | = |BF| .

W trójkącie prostokątnym $AED$ mamy

tg (∡ DAE) = \frac{|DE|}{|AE|} = \frac{40}{9} .

Oznaczmy $|DE| = 40 x$ , wtedy $|AE| = 9 x$ . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

{(\frac{41}{2})}^{2} = {(40 x)}^{2} + {(9 x)}^{2},

skąd $1681 x^{2} = \frac{1681}{4}$ . Ponieważ $x > 0$ , to $x = \frac{1}{2}$ . Stąd
$|AE| = \frac{9}{2}, |DE| = 20$ .
Wobec tego w trójkącie prostokątnym $AFC$

|AF| = |AB| + |BF| = 25, | CF | = 20 .

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

{|AC|}^{2} = {|AF|}^{2} + {|CF|}^{2}

{|AC|}^{2} = 25^{2} + 20^{2} .

Ponieważ $|AC| > 0$ , to

|AC| = \sqrt{1025} = 5 \sqrt{41} .

Ćwiczenie 26

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $| AB | = 17$ i $tg (∡ABC) = 1,875$ . Oblicz długości boków $AC$ i $BC$ oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt.

$|AC| = 15$ , $|BC| = 8$ , pole koła wpisanego jest równe $9 π$ .

Ponieważ

tg (∡ABC) = 1,875,

to $\frac{|AC|}{|BC|} = 1,875 = \frac{15}{8}$ .
Oznaczmy $|AC| = 15 x$ , wtedy $|BC| = 8 x$ . W trójkącie $ABC$ , z twierdzenia Pitagorasa mamy

1 7^{2} = {(15 x)}^{2} + {(8 x)}^{2},

skąd $289 x^{2} = 289$ . Ponieważ $x > 0$ , to $x = 1$ .
Zatem

|AC| = 15, |BC| = 8 .

Ponieważ trójkąt $ABC$ jest prostokątny, to promień $r$ koła wpisanego w ten trójkąt, jest równy

r = \frac{|AC| + |BC| - |AB|}{2},

skąd

r = \frac{15 + 8 - 17}{2} = 3 .

Wobec tego pole koła wpisanego w trójkąt $ABC$ jest równe $π \cdot 3^{2}$ , czyli $9 π$ .

Ćwiczenie 27

W trójkącie $ABC$ na bokach $AB$ i $AC$ wybrano takie punkty $D$ i $E$ , że $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{5}{4}$ i $\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{3}{2}$ . Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest $3$ razy większe od pola trójkąta $ADE$ .

Oznaczmy $|∡ BAC| = α$ , $|AD| = 5 a$ i $|AE| = 3 b$ . Wtedy $|DB| = 4 a$ , skąd $|AB| = 9 a$ oraz $|EC| = 2 b$ , zatem $|AC| = 5 b$ . Pola trójkątów $ABC$ i $ADE$ są wówczas równe
$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot sinα,$ czyli

P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 a \cdot 5 b \cdot sinα,

$P_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |AE| \cdot sinα,$ czyli

P_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot 5 a \cdot 3 b \cdot sinα .

Zatem

\frac{P_{ABC}}{P_{ADE}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 9 a \cdot 5 b \cdot sinα}{\frac{1}{2} \cdot 5 a \cdot 3 b \cdot sinα} = 3 .

To spostrzeżenie kończy dowód.

Przykłady. Część II

Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych