Przykłady symetrii funkcji

W tym materiale zaprezentowane są przykłady przekształceń symetrycznych funkcji zarówno względem osi $X$ , jak i osi $Y$ . Zapoznaj się z nim przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań z materiałów:

Symetria osiowa względem osi $X$ i osi $Y$ . Zadania - część IDNA8fgabrSymetria osiowa względem osi $X$ i osi $Y$ . Zadania - część I,
Symetria wykresu funkcji względem osi $O X$ i $O Y$ - zadaniaD1479kvPUSymetria wykresu funkcji względem osi $O X$ i $O Y$ - zadania,
Symetria punktu względem osi układu współrzędnychD17TGu8tUSymetria punktu względem osi układu współrzędnych.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

Rzui4PkDfLlfw1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu i pionową osią Y od minus trzech do trzech. W układzie narysowano wykres funkcji f(x), który jest łamaną, składającą się z trzech odcinków. Wykres zaczyna się w punkcie (-4,-2) i jest stały aż do punktu (0,-2). Następnie wykres funkcji rośnie liniowo do punktu (2, 2). Na ostatnim odcinku wykres ponownie jest stały aż do punktu (4, 2) gdzie się kończy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a. Wykres funkcji $g$ określonej wzorem

g (x) = - f (x)

otrzymamy, przekształcając symetrycznie wykres funkcji $f$ względem osi $X$ .

RBtWTesYYbH6s1

b. Wykres funkcji $h$ określonej wzorem

h (x) = f (- x)

otrzymamy, przekształcając symetrycznie wykres funkcji $f$ względem osi $Y$ .

RWcKWT6HByf2l1

Przykład 2

Rysunek przedstawia wykres funkcji $k$ .

RiSL7PN9BPHJv1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu i pionową osią Y od minus dwóch do czterech. W układzie narysowano wykres funkcji k(x), który jest parabolą. Wykres tej funkcji przecina oś X w punktach o współrzędnych (-2, 0), (2, 0). Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (0, -2). Na przedziale od minus nieskończoności do zera funkcja jest malejąca, a na przedziale od zera do nieskończoności funkcja jest rosnąca. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a. Przekształcając wykres funkcji $k$ w symetrii względem osi $X$ , otrzymamy krzywą

y = - k (x)

która jest wykresem funkcji $g$ określonej wzorem

g (x) = - k (x)

R11KZWi7nTPc71

b. Przekształcając wykres funkcji $k$ w symetrii względem osi $Y$ , otrzymamy krzywą

y = k (- x)

która jest wykresem funkcji $h$ określonej wzorem

h (x) = k (- x)

ReYN1eExrTs9V1

Zauważmy, że wykresy funkcji $k$ i $h$ pokrywają się. A zatem funkcje $k$ i $h$ są równe, ponieważ ich dziedziną jest taki sam zbiór i dla każdego argumentu wartości obu tych funkcji są równe.

RP9gIqx7Sxd4e1