Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I
W zadaniach tekstowych opisywane są zależności między wielkościami niewiadomymi. Analiza tych zależności powinna doprowadzić do zapisania związków między tymi wielkościami w postaci równania, nierówności, układu równań bądź układu nierówności.
Zadanie uważa się za rozwiązane, kiedy wyznaczymy wszystkie wartości niewiadomych, spełniające warunki zadania.
W poniższych przykładach będziemy rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą równań, nierówności oraz układów równań liniowych.
Znajdziemy trzy takie liczby, których suma jest równa . Pierwsza z tych liczb jest o większa od drugiej i jest jednocześnie dwa razy mniejsza od trzeciej.
Jeżeli pierwszą z tych liczb oznaczymy przez , to z treści zadania wynika, że druga jest równa , a trzecia jest równa Ponieważ suma tych trzech liczb jest równa , zatem otrzymujemy równanie
Rozwiązujemy równanie, przekształcając je równoważnie
Pierwsza z tych liczb to , druga to , a trzecia to .
Uczniowie rozwiązywali zadanie, za które można było otrzymać lub punkty. Po ukończeniu pracy okazało się, że uczniów otrzymało punkty, pozostałych otrzymało za rozwiązanie zadania punkt, a uczniów otrzymało punktów. Obliczmy, ilu uczniów rozwiązywało zadanie.
Oznaczmy przez liczbę uczniów rozwiązujących zadanie. Wtedy to liczba uczniów, którzy uzyskali za zadanie punkty, a to liczba uczniów, którzy uzyskali punkt.
Otrzymujemy równanie
Obliczmy niewiadomą
Zatem zadanie rozwiązywało uczniów.
.
Droga z Piotrkowa do Łodzi ma długości. O godz. wyjechały tą drogą naprzeciw siebie dwa samochody: z Piotrkowa – samochód osobowy, a z Łodzi – samochód ciężarowy. Samochody te minęły się o godzinie . W jakiej odległości od Piotrkowa nastąpiło spotkanie tych pojazdów, jeżeli średnia prędkość samochodu osobowego była w tym czasie o większa niż średnia prędkość samochodu ciężarowego?
Oznaczmy przez średnią prędkość samochodu ciężarowego. Wtedy średnia prędkość samochodu osobowego była równa . Do momentu spotkania każdy z pojazdów jechał przez pół godziny, czyli samochód ciężarowy przejechał , a samochód osobowy pokonał drogę długości . Suma długości tych dróg jest równa , a zatem
Stąd
Samochód ciężarowy przejechał , czyli spotkanie nastąpiło w odległości od Piotrkowa.
Wyznaczymy wszystkie pary różnych liczb całkowitych, których suma jest równa , a większa z nich jest mniejsza od .
Oznaczmy mniejszą z liczb przez . Wtedy większa z nich, która jest równa , spełnia dwa warunki
i
Wynika z tego, że
i
czyli
i
Stąd lub . Zatem są dwie pary liczb całkowitych spełniających warunki zadania i oraz i .