Wskazówki na tarczy zegara pokazują godzinę $12^{00}$. Obliczmy, za ile minut obie wskazówki zegara utworzą kąt $90°$.

1. po raz pierwszy

2. po raz drugi

Ruch po okręgu opisujemy za pomocą prędkości kątowej. Dla zegara prawidłowo odmierzającego czas prędkość wskazówki godzinowej to $30$ stopni na godzinę ($30°/h$), a wskazówki minutowej to $360$ stopni na godzinę ($360°/h$).
Oznaczmy przez $x$czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz pierwszy od godziny $12^{00}$ utworzyły kąt $90°$. Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o $90°$ większy niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego

A zatem po raz pierwszy wskazówki utworzą kąt $90°$ po upływie $16\frac{4}{11}$ minut.

RRrSPIOREMB2T1

Rysunek zegara, którego wskazówki wskazują godzinę dwunastą szesnaście i dwadzieścia jeden sekund.

Oznaczmy przez $y$ czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz drugi od godziny $12^{00}$ utworzyły kąt $90°$. Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o $270°$ większy, niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego

Stąd wniosek, że wskazówki po raz drugi utworzą kąt $90°$ po upływie $49\frac{1}{11}$ minuty.

R9HuD7K0rxzct1

Rysunek zegara, którego wskazówki wskazują godzinę dwunastą czterdzieści dziewięć minut i pięć sekund.

Na szkolną akademię z okazji Święta Niepodległości przyszło $520$ uczniów. Można było usiąść na krześle lub w czteroosobowej ławce. Uczniowie zajęli w sumie $164$ krzesła i ławki. Uczniów, którzy zajęli miejsca siedzące było $7$ razy więcej niż pozostałych. Ustalimy, ile krzeseł było zajętych.
Obliczymy najpierw, ilu uczniów zajęło miejsca siedzące. Z treści zadania wynika, że było to $\frac{7}{8}\cdot 520$, czyli $455$ osób.
Oznaczmy przez $x$ liczbę zajętych krzeseł, a przez $\mathrm{y }$– liczbę zajętych ławek.
Wówczas

skąd

Wobec tego $x=67$, czyli podczas akademii było zajętych $67$ krzeseł. .

Dwie maszyny tłoczą detale tego samego typu. W poniedziałek pierwsza maszyna pracowała $10$ godzin, a druga $8$ godzin i razem maszyny wyprodukowały $1940$ detali. We wtorek pierwsza maszyna pracowała $3$ godziny, a druga $5$ godzin i razem wyprodukowały $894$ takie detale. Ustalimy, ile godzin potrzebuje oddzielnie każda z maszyn, aby wyprodukować $5880$ detali.
Oznaczmy:
$x$ – liczba detali produkowanych przez pierwszą maszynę w ciągu godziny,
$y$ – liczba detali produkowanych przez drugą maszynę w ciągu godziny.
Otrzymujemy układ równań

Zatem

skąd

Czyli

Stąd wniosek, że pierwsza maszyna wykona $5880$ detali w ciągu $60$ godzin, a druga – w ciągu $49$ godzin.

RNZhrA1OX5iPV1

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

W pierwszym naczyniu znajduje się dwudziestoprocentowy roztwór wodny soli, w drugim – roztwór wodny soli o stężeniu $15\%.$ Do trzeciego, początkowo pustego naczynia, przelano pewną ilość litrów pierwszego roztworu, po czym dolano tyle litrów roztworu z drugiego naczynia, że w trzecim naczyniu otrzymano roztwór o stężeniu $18\%$. W ten sposób do trzeciego naczynia przelano z pierwszego o $\mathrm{k\%}$ więcej roztworu niż z drugiego naczynia.
Obliczymy $k$.
Opis wszystkich wielkości ujętych w zadaniu prezentujemy w poniższej tabeli.

Rozwiązujemy równanie

Stąd$x=\frac{3}{2}y$, a zatem $x=150\%y=y+50\%y$, co znaczy, że $k=50$.

R1Dzx1DapbMpM1

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Ala spytała starszą koleżankę Olę: „Ile masz lat, Olu?”. Ola odpowiedziała: „Gdy ty będziesz w moim wieku, mój ojciec będzie od ciebie $3$ razy starszy. Gdy ja byłam w twoim wieku, mieliśmy razem z moim ojcem $52$ lata, a twój wiek stanowił dwie trzecie mojego.” Obliczymy, ile lat ma Ola.
Oznaczmy:

• $y$ – aktualny wiek Ali,

• $\mathrm{x }$– aktualny wiek Oli.

W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.

Zauważmy, że $y-\frac{2}{3}y=x-y$, czyli $x=\frac{4}{3}y$.
Ponownie wypełniamy tabelkę.

Mamy w tabelce komórkę z równaniem $52-y=\frac{10}{3}y$, skąd $y=12$. To znaczy, że$\mathrm{ x}=16$, czyli Ola ma $16$ lat.

Znajdziemy wszystkie liczby czterocyfrowe, które po skreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się o $1269$.
Oznaczmy:

• $x$ cyfra jedności szukanej liczby czterocyfrowej,

• $y$ liczba trzycyfrowa, która powstaje po skreśleniu ostatniej cyfry szukanej liczby czterocyfrowej.

Wtedy liczba czterocyfrowa to $10y+x$.
Zapisujemy równanie

skąd

Zauważmy, że:

• liczba $x$ może przyjmować jedną z wartości: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$

• liczba $1269$ – $x$ jest podzielna przez $9$.

Ponieważ $1269=9\bullet 141$, $x$ to możliwe
$x=0$$x=9$

• $x=0$, $y=141$ szukaną liczbą czterocyfrow $1410$.

• $x=9$, $y=140$, szukaną liczbą czterocyfrowa $1409$.

Ustalimy, ile jest liczb trzycyfrowych, które mają następującą własność: jeżeli pomiędzy cyfrę jedności a cyfrę dziesiątek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy liczbę o$35$ mniejszą od danej liczby trzycyfrowej.
Dla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy następujące oznaczenia:

• $x$ cyfra jedności,

• $y$ liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.

Wtedy dana liczba trzycyfrowa to $10y+x$, a iloczyn, o którym mowa w treści zadania to $y\cdot x$.
Otrzymujemy równanie

skąd

Jeżeli teraz od obu stron równania odejmiemy $10$, to lewą stronę będziemy mogli zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych.

Ponieważ liczba $y$ jest dwucyfrowa, to liczba $y-1$ jest dodatnia, a skoro iloczyn $\left(y-1\right)\left(10-x\right)$ jest równy $25$, to liczba $10-x$ jest również dodatnia. Obie liczby $y-1$ i $10-x$ są zatem całkowitymi i dodatnimi dzielnikami liczby $25$.
Zauważmy, że liczba $\mathrm{x }$może przyjmować jedną z wartości: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.$
Liczba $10-x$ jest dzielnikiem liczby $25$ w dwóch przypadkach:

1. $x=5$, wtedy $10-x=5$ oraz $y-1=\frac{25}{5}=5$,

2. $x=9$, wtedy $10-x=1$ oraz $y-1=25$.

W pierwszym przypadku liczba $y$ nie jest dwucyfrowa ($y=6$), czyli warunki zadania nie są spełnione.
W drugim przypadku $y=26$, skąd wniosek, że jedyną liczbą trzycyfrową o zadanych własnościach jest $269$.