Przykłady

W poniższych przykładach pokażemy zastosowanie cech przystawania trójkątów w zadaniach na dowodzenie.

Przykład 1

W równoległoboku $ABCD$ przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $M$ . Wykaż, że trójkąty $ABM$ i $CDM$ są przystające.
Czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem, a zatem boki $AB$ i $CD$ są równe oraz zawierają się w prostych równoległych. Wynika stąd, że kąty $CAB$ i $DCA$ mają równe miary oraz kąty $DBA$ i $BDC$ mają równe miary.

RgAdAZlGLjipF1

Rysunek równoległoboku A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC, BD i punktem przecięcia przekątnych M. Pomiędzy przekątnymi, a dłuższymi bokami równoległoboku zaznaczono kąty A C D, B A C oraz B D C i A B D.

Stąd i z równości

|AB| = |CD|,

wynika, że trójkąty $ABM$ i $CDM$ są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy kąt‑bok‑kąt.
Uwaga. Z przystawania trójkątów $ABM$ i $CDM$ wynika, że $| AM | = | MC |$ i $| BM | = | MD |$ . Prawdziwe jest zatem poniższe twierdzenie.

Przekątne w równoległoboku

Twierdzenie: Przekątne w równoległoboku

W dowolnym równoległoboku przekątne dzielą się na połowy.

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

Czworokąt, który jest równoległobokiem

Twierdzenie: Czworokąt, który jest równoległobokiem

Czworokąt, którego przekątne dzielą się na połowy jest równoległobokiem.

Dowód

Dla dowodu rozpatrzmy czworokąt $ABCD$ , którego przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $P$ będącym środkiem każdej z nich. Wtedy

|AP| = |CP|, |DP| = |BP|

oraz

|∡ APD| = |∡ BPC|,

jako kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty $APD$ i $BPC$ są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok‑kąt‑bok.

RSGMY5PhPqK0V1

Rysunek równoległoboku A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD i punktem przecięcia przekątnych P. Zaznaczono kąty ostre pomiędzy przekątnymi oraz kąty C A D i A C B pomiędzy dłuższą przekątną a krótszymi bokami równoległoboku.

Wobec tego $| AD | = | BC |$ , a także $| ∡ PAD | = | ∡ PCB |$ , skąd wniosek, że proste $AD$ i $BC$ są równoległe.
Skoro dwa boki czworokąta $ABCD$ są równe i równoległe, to jest on równoległobokiem, co kończy dowód.

Przykład 2

W trójkącie $ABC$ środek boku $AB$ jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ . Wykaż, że boki $AC$ i $BC$ tego trójkąta są równe.

Oznaczmy przez $D$ środek boku $AB$ . Trójkąty $ADC$ i $BDC$ są prostokątne. Mają wspólną przyprostokątną $DC$ , a także $| AD | = | DB |$ .

R11NKcSSbsxGy1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczoną wysokością AD.

Są to więc trójkąty przystające (na mocy cechy bok‑kąt‑bok). Stąd wynika, że $| AC | = | BC |$ . To spostrzeżenie kończy dowód.

W trójkącie $ABC$ spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ na bok $AB$ jest taki punkt $P$ , że kąty $ACP$ i $BCP$ mają równe miary. Wykaż, że

| AC | = |BC| .

Trójkąty $APC$ i $BPC$ są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną $PC$ , a także kąty $ACP$ i $BCP$ mają równe miary.

RYoyvoFfhEj1A1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczoną wysokością CP.

Trójkąty te są zatem przystające (na mocy cechy kąt‑bok‑kąt). Stąd $| AC | = |BC| .$
Koniec dowodu.

W trójkącie $ABC$ boki $AC$ i $BC$ są równe. Wykaż, że spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ tego trójkąta jest środek boku $AB$ .

Oznaczmy przez $E$ spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ na bok $AB$ .

RnqB89cAzpzEI1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczoną wysokością CE.

Wtedy z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych $AEC$ i $BEC$ mamy odpowiednio

{|AE|}^{2} + {|EC|}^{2} = {|AC|}^{2}

{|BE|}^{2} + {|EC|}^{2} = {|BC|}^{2},

skąd

{|AE|}^{2} = {|AC|}^{2} - {|EC|}^{2}

{|BE|}^{2} = {|BC|}^{2} - {|EC|}^{2} .

Skoro $| AC | = | BC |$ , to ${|AE|}^{2} = {|BE|}^{2}$ . Uwzględniając, że $|AE| > 0$ oraz $|BE| > 0$ , otrzymujemy $|AE| = |BE|$ , czyli punkt $E$ jest środkiem boku $AB$ , co należało wykazać.

Uwaga!

Ponieważ odpowiednie boki w trójkątach $AEC$ i $BEC$ są równe, to na mocy cechy bok‑bok‑bok stwierdzamy, że trójkąty te są przystające. Wynika z tego, że

|∡CA E| = |∡CBE|,

| ∡ACE | = |∡BCE| .

Prawdziwe jest więc poniższe twierdzenie.

Trójkąt równoramienny

Twierdzenie: Trójkąt równoramienny

W dowolnym trójkącie równoramiennym

kąty wewnętrzne przy podstawie są równe,
środek podstawy jest spodkiem wysokości opuszczonej na tę podstawę,
wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta wspólnego dla ramion zawiera się w dwusiecznej tego kąta.

Przykład 3

W prostokącie $ABCD$ przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się pod kątem prostym. Wykaż, że

| AB | = | BC | .

Oznaczmy przez $P$ punkt przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ prostokąta $ABCD$ . Jest on środkiem każdej z tych przekątnych, bo czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem.

R1YnRKgWiM2Os1

Rysunek prostokąta A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD i punktem przecięcia przekątnych P.

Zauważmy, że punkt $P$ jest spodkiem wysokości poprowadzonej w trójkącie $ABC$ z wierzchołka $B$ na bok $AC$ . Wobec tego trójkąt $ABC$ jest równoramienny i

| AB | = | BC | .

To spostrzeżenie kończy dowód.
Udowodniliśmy więc, że prostokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym jest kwadratem.

Przykład 4

W równoległoboku $ABCD$ przekątna $AC$ zawiera się w dwusiecznej kąta $BAD$ . Wykaż, że przekątne $AC$ i $BD$ tego równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.
Oznaczmy przez $α$ miarę każdego z kątów, na które dwusieczna $AC$ podzieliła kąt $BAD$

| ∡CAB | = α, | ∡CAD | = α .

R1SvHERgkt2a81

Rysunek równoległoboku A B C D z zaznaczoną przekątną AC. Pomiędzy przekątną i bokami równoległoboku zaznaczono kąty B A C i C A D o mierze alfa.

Wtedy

| ∡ACD | = α

| ∡ACB | = α .

R1CCycTuwHyO61

Rysunek równoległoboku A B C D z zaznaczoną przekątną AC. Pomiędzy przekątną i bokami równoległoboku zaznaczono kąty B A C, C A D oraz A C D i A C B o mierze alfa.

Trójkąty $ABC$ i $ADC$ są zatem równoramienne, bo w każdym z nich kąty przy podstawie $AC$ mają miarę równą $α$ . Zatem

|AB| = |BC| = |CD| = |AD|

Wynika z tego, że spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $B$ trójkąta $ABC$ na podstawę $AC$ jest środek $M$ odcinka $AC$ , który jest również spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $D$ trójkąta $ADC$ na podstawę $AC$ .

R8SEWI7rrlYs61

Rysunek równoległoboku A B C D, z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD, przecinającymi się pod kątem prostym w punkcie M. Pomiędzy przekątną i bokami równoległoboku zaznaczono kąty B A C, C A D oraz A C D i A C B o mierze alfa.

Wobec tego miary kątów $BMA$ i $AMD$ sumują się do kąta półpełnego, zatem punkt $M$ leży na przekątnej $BD$ .
To oznacza, że przekątne $AC$ i $BD$ równoległoboku przecinają się pod kątem prostym. Koniec dowodu.
Uwaga. Wykazaliśmy, że jeżeli w równoległoboku $ABCD$ przekątna $AC$ zawiera się w dwusiecznej kąta $BAD$ , to równoległobok $ABCD$ jest rombem.

Przykład 5

W trójkącie prostokątnym $ABC$ punkt $D$ jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego $C$ na przeciwprostokątną $AB$ . Punkt $E$ jest symetryczny do punktu $D$ względem prostej $AC$ , a punkt $F$ jest symetryczny do punktu $D$ względem prostej $BC$ .

R1b8Gxfmrx48i1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C z zaznaczoną wysokością CD.

Wykażemy, że punkty $C$ , $E$ i $F$ leżą na jednej prostej.
Zauważmy, że prosta $AC$ jest symetralną odcinka $DE$ . Wynika stąd, że

|AE| = |AD|,

| CE | = |CD| .

Wobec tego trójkąty $EAC$ i $DAC$ są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok‑bok‑bok.

RGzSySoDaw1w21

Zauważmy też, że prosta $BC$ jest symetralną odcinka $DF$ . Wynika stąd, że

|BF| = |BD|,

| CF | = | CD | .

Zatem trójkąty $FBC$ i $DBC$ są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok‑bok‑bok.

RNfxMl8Kaoynz1

W trójkącie $ABC$ kąt $ACB$ jest prosty. Oznaczmy przez $α$ miarę kąta $CAB$ . Wtedy

| ∡ CBA | = 90 ° - α .

W trójkącie prostokątnym $ADC$ kąt przy wierzchołku $D$ jest prosty i

| ∡ CAD | = α,

więc

| ∡ DCA | = 90 ° - α .

Wobec tego

| ∡ ECA | = 90 ° - α .

(bo $DCA$ i $ECA$ to odpowiednie kąty w trójkątach przystających $EAC$ i $DAC$ ).
W trójkącie prostokątnym $BDC$ kąt przy wierzchołku $D$ jest prosty i

|∡ DBC| = 90 ° - α .

Zatem

| ∡ BCD | = α .

Wobec tego

|∡ BCF| = α,

(bo $∡ BCD$ i $∡ BCF$ to odpowiednie kąty w trójkątach przystających $FBC$ i $DBC$ ).
Obliczmy miarę kąta $ECF$ . Mamy

|∡ ECF| = |∡ ECA| + |∡ ACB| + |∡ BCF| = (90 ° - α) + 90 ° + α = 180 ° .

RThm07P7glmnJ1

Wynika z tego, że punkty $C$ , $E$ i $F$ leżą na jednej prostej, a to właśnie należało udowodnić.

Przykład 6

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano kwadraty $ACDE$ i $BCFG$ .

RaCCiGIRFKDfJ1

Rysunek trójkąta A B C wraz ze zbudowanymi na jego bokach kwadratami A C D E i B C F G.

Wykażemy, że odcinki $BD$ i $AF$ mają równe długości.
Oznaczmy

| AC | = b, | BC | = a, | ∡ ACB | = γ .

Czworokąt $ACDE$ jest kwadratem, więc $| CD | = | AC | = b$ . Czworokąt $BCFG$ jest również kwadratem, więc

| CF | = | BC | = a .

Ponadto

| ∡DCB | = | ∡DCA | + | ∡ACB | = 90 ° + γ

oraz

| ∡ACF | = | ∡ACB | + | ∡BCF | = γ + 90 ° .

R1F6PJQ35nJPh1

Rysunek trójkąta A B C wraz ze zbudowanymi na jego bokach kwadratami A C D E i B C F G oraz zaznaczonych kątem A C B równym gamma.

Wobec tego

| CD | = | AC | = b

| ∡DCB | = | ∡ACF | = 90 ° + γ

| CB | = | CF | = a,

więc trójkąty $DCB$ i $ACF$ są przystające, na mocy cechy bok‑kąt‑bok.
Wynika z tego, że $| BD | = | AF |$ (bo są to odpowiednie boki w trójkątach przystających).

R1f267Fbjakd51

Rysunek trójkąta A B C wraz ze zbudowanymi na jego bokach kwadratami A C D E i B C F G oraz zaznaczonych kątem ACB równym gamma oraz odcinkami BD i AF.

To kończy dowód.

Przykład 7

Na bokach $AB$ , $BC$ i $CA$ trójkąta równobocznego $ABC$ wybrano odpowiednio punkty $K$ , $L$ i $M$ tak, że

| AK | = | BL | = |CM| .

Wykaż, że trójkąt $KLM$ jest równoboczny.
Oznaczmy przez $a$ długość boku trójkąta równobocznego $ABC$ i przez $x$ – długość każdego z odcinków $AK$ , $BL$ i $CM .$ Wtedy każdy z odcinków $AM$ , $CL$ i $BK$ ma długość $a - x .$

RowVbcRECBPrJ1

Rysunek trójkąta A B C wraz ze zbudowanymi na jego bokach kwadratami A C K L i B M N C.

Ponieważ

| AK | = | BL | = | CM | = x

|∡MAK| = |∡KBL| = |∡LCM| = 60 °

|MA| = |KB| = |LC| = a - x

to trójkąty $MAK$ , $KBL$ i $LCM$ są przystające, na mocy cechy bok‑kąt‑bok.
Wobec tego odcinki $MK$ , $KL$ i $LM$ są równe, więc trójkąt $KLM$ jest równoboczny.
Koniec dowodu.

Przykład 8

Trójkąt $ABC$ przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty $B$ , $C$ , $N$ są współliniowe. Na boku $AC$ wybrano punkt $M$ taki, że

| AM | = |CN| .

Wykaż, że

| BM | = |MN| .

R14F2kF28uHDf1

Rysunek trójkąta równobocznego A B C. Przedłużając bok BC za wierzchołek C zaznaczono punkt N. Na boku AC zaznaczono punkt M i połączono go z punktem N i B. Powstał trójkąt równoramienny B N M.

Oznaczamy

|AB| = |BC| = |CA| = a, |AM| = |CN| = x .

sposób $I$

Wybierzmy na boku $BC$ taki punkt $D$ , że odcinki $MD$ i $AB$ są równoległe.

RrAtM7iZFIlUR1

Rysunek trójkąta równobocznego A B C opisanego w I sposobie rozwiązania zadania.

Wtedy

|∡ CMD| = |∡ CAB| = 60 °,

czyli trójkąt $CMD$ jest równoboczny, a jego bok jest równy $a - x$ . Zatem

|MD| = |CM| = a - x,

|BD| = |BC| - |CD| = a - (a - x) = x, | CN | = x,

|∡BDM| = 120 °, | ∡NCM | = 120 °,

więc trójkąty $BDM$ i $MCN$ są przystające, na mocy cechy bok‑kąt‑bok.
Wobec tego odcinki $BM$ i $MN$ są równe.
Koniec dowodu.

sposób $II$

Przedłużamy bok $AC$ o odcinek $CN ’$ tak, że

|MN'| = a .

RsnSHPeDB0ahy1

Rysunek trójkąta równobocznego A B C opisanego w II sposobie rozwiązania zadania.

Wtedy w trójkącie $NC N’$ mamy

| CN | = | CN’ | = x

oraz

|∡ NCN’| = 60 °,

więc trójkąt $NCN’$ jest równoboczny.
Wynika z tego, że

|NN’| = x .

Zatem

|MN’| = |AB| = a,

|NN’| = |MA| = x,

|∡MN’N| = 60 °, |∡BAM| = 60 °,

więc trójkąty $MN’N$ i $BAM$ są przystające, na mocy cechy bok‑kąt‑bok.
Wobec tego odcinki $BM$ i $MN$ są równe. Koniec dowodu.

sposób $III$

Na boku $AB$ odkładamy taki punkt $M'$ , że

|AM'| = |AM| = x .

RXZwydG5HIpsC1

Rysunek trójkąta równobocznego A B C opisanego w III sposobie rozwiązania zadania.

Wówczas trójkąt $AMM ’$ jest równoboczny, a jego bok jest równy $x$ .
Wynika z tego, że

|MM’| = x, |∡ BM’M| = 120 ° .

Wobec tego

| MM’ | = | NC | = x

| M’B | = | CM | = a - x

|∡MM’B| = 120 °, |∡NCM| = 120 °,

więc trójkąty $MM’B$ i $NCM$ są przystające, na mocy cechy bok‑kąt‑bok.
Zatem odcinki $BM$ i $MN$ są równe.
Koniec dowodu.

Zadania

Zadania