Zadania

Ćwiczenie 1

Na rysunku podane są miary kątów $α, β, γ$ . Czy wynika z tego, że punkty $A$ , $B$ , $C$ są współliniowe?

REgSUyuNndHTU1

Rysunek leżących obok siebie czterech kątów o miarach: alfa 32 stopnie, beta 17 stopni, kąta prostego oraz kąta gamma 40 stopni, które mają wspólny wierzchołek B. Punkty A i C leżą na ramionach kąta odpowiednio alfa i gamma.

Nie. Punkty $A$ , $B$ , $C$ nie są współliniowe.

Sumując miary kątów, otrzymujemy $32 ° + 17 ° + 90 ° + 40 ° = 179 °$ . Gdyby punkty były współliniowe suma miar kątów byłaby równa $180 °$ .

Ćwiczenie 2

Podaj miary kątów przy prostych równoległych.

R1RdCLjZFy3ZL1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DtdP8HWAI

Dwie proste przecięte trzecią prostą – zmienia się położenie trzeciej prostej. Dany jest jeden kąt – należy podać miary pozostałych kątów

Ćwiczenie 3

Na rysunku podane są miary kątów $α, β$ . Czy czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem?

R1INlu6ovQpHi1

Rysunek czworokąta A B C D. Kąt alfa o mierze 36 stopni jest kątem zewnętrznym przy wierzchołku B. Kąt beta o mierze 143 stopnie jest kątem wewnętrznym czworokąta przy wierzchołku D.

Nie. Czworokąt $ABCD$ nie jest równoległobokiem.

Kąty $DAB$ i $α = 36 °$ są odpowiadające. Gdyby prosta $AD$ była równoległa do prostej $BC$ , kąty miałyby tę samą miarę. Jednak wówczas suma kątów przy boku równoległoboku byłaby równa.

|∢D AB| + |∢A DC| = 179 ° \neq 180 ° .

Zatem figura nie jest równoległobokiem.

Ćwiczenie 4

Proste $k$ i $l$ są równoległe. Miary kątów $α, β$ podano na rysunku. Czy wynika stąd, że $γ = 125 °$ oraz $δ = 143 °$ ?

RzKUIpM8TnWUk1

Rysunek dwóch prostych równoległych k i l przeciętych dwoma prostymi AC i BD z zadania 3. Prosta AC tworzy z prostą k w punkcie przecięcia kąt alfa o mierze 37 stopni a w punkcie C kat o beta o mierze 55 stopni. Prosta BD tworzy z prostą l w punkcie C kąt rozwarty delta a punkcie D kąt rozwarty gamma.

Tak.
Zaznaczmy kąty przyległe do $α$ i do $β$ .

R1VL062z0bbsV1

Rysunek dwóch prostych równoległych k i l przeciętych dwoma prostymi AC i BD.

Kąty $γ$ i $125 °$ są odpowiadające, ponieważ prosta $k$ jest równoległa do prostej $l$ , więc $γ = 125 °$ . Podobnie kąty $δ$ i $143 °$ , są odpowiadające, więc z równoległości $k$ i $l$ ,

δ = 143 ° .

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R1TslIIUruDku

W trójkącie miara jednego kąta jest dwa razy większa od miary drugiego i trzy razy mniejsza od miary trzeciego kąta. Wtedy największy kąt ma miarę $120 °$ .
Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku $1 : 2 : 3$ . Wtedy najmniejszy kąt ma miarę $20 °$ .
Kąty między jednym z boków trójkąta ostrokątnego i wysokościami opuszczonymi na pozostałe boki mają miary $35 °$ oraz $45 °$ . Kąt leżący naprzeciw tego boku ma miarę $80 °$ .
Jeden z kątów trójkąta ma miarę $50 ° .$ Miara kąta między dwusiecznymi pozostałych kątów wewnętrznych tego trójkąta jest równa $115 °$ .

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

RTy1mCpzxPHgH

W dziesięciokącie wypukłym suma miar kątów jest równa $1800 °$ .
W pewnym wielokącie wypukłym suma miar kątów wynosi $1620 °$ . Liczba boków tego wielokąta jest równa $11$ .
W osiemnastokącie foremnym miara kąta wewnętrznego wynosi $160 °$ .

Ćwiczenie 7

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

RXAOPOww8V6KO

W siedemnastokącie wypukłym liczba przekątnych jest równa $119$ .
Pewien wielokąt wypukły ma $35$ przekątnych. Liczba boków tego wielokąta jest równa $7$ .
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego jest cztery razy większa od liczby jego boków. Wielokątem tym jest jedenastokąt.

Ćwiczenie 8

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R1Podsa5VATbM

Ćwiczenie 9

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawa $AB$ jest dwa razy dłuższa od podstawy $CD$ . Przekątna $AC$ zawiera się w dwusiecznej kąta $DAB$ . Pole trapezu jest równe $27 \sqrt{3}$ . Wtedy

RIRM89FX2e6uh

ramię trapezu jest dwa razy dłuższe od krótszej podstawy
długość ramienia trapezu jest równa $6$
przekątna $AC$ dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden ma pole dwa razy większe od drugiego

Ćwiczenie 10

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R1YkxSnL9Aloa

W dowolnym wielokącie foremnym wszystkie przekątne przecinają się w jednym punkcie.
W sześciokącie foremnym o boku długości $3$ , długość krótszej przekątnej jest równa $6 .$
W pięciokącie foremnym kąt między dwiema przekątnymi poprowadzonymi z tego samego wierzchołka jest równy $36 °$ .

Ćwiczenie 11

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R6QDK9q4Pqb9B

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa $8$ . Wtedy obwód trapezu ma długość $20 + 4 \sqrt{3}$ .
W równoległoboku o obwodzie równym $154$ , wysokości spełniają warunek $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{3}{4}$ . Wtedy krótszy bok ma długość $44$ .
W deltoidzie przekątne mają długości $10$ i $7$ . Wtedy pole tego deltoidu wynosi $70$ .

Ćwiczenie 12

Dziewięciokąt $ABCDEFGHI$ jest foremny. Wynika stąd, że

R1RB1nGNr0hRj

z wierzchołka $D$ można poprowadzić $9$ przekątnych
wielokąt ten ma $27$ przekątnych
suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wielokąta jest równa $1620 °$
miara kąta $ABC$ wynosi $150 °$

Ćwiczenie 13

Jeden z kątów trójkąta ma miarę $72 °$ . Jeden z pozostałych jest 5 razy większy od drugiego. Miary tych kątów to

RbeMrNrOqcgMI

$20 °$ i $100 °$
$18 °$ i $90 °$
$21 °$ i $105 °$
$28 °$ i $80 °$

Ćwiczenie 14

Dwa sąsiednie kąty równoległoboku różnią się o $20 °$ . Kąt ostry tego równoległoboku ma miarę

R11ApPnwH7DuW

$20 °$
$40 °$
$60 °$
$80 °$

Ćwiczenie 15

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów $CAB$ i $ABC$ . Dwusieczne te przecinają się w punkcie $P$ . Kąt $APB$ jest

RQ0Xr3ImwHwwT

rozwarty
prosty
ostry, ale większy od $60 °$
mniejszy lub równy $60 °$

Ćwiczenie 16

Obwód sześciokąta foremnego jest równy $36$ . Pole tego sześciokąta jest równe

RqyPLMZBbvEhr

$9 \sqrt{3}$
$18 \sqrt{3}$
$27 \sqrt{3}$
$54 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 17

Stosunek długości boków równoległoboku jest równy $3 : 5$ , a krótsza z jego wysokości ma długość $6$ . Wówczas druga wysokość jest równa

RO8lt4htCASWn

$3,6$
$6$
$10$
$15$

Ćwiczenie 18

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o dłuższej podstawie $AB$ . Ramię $AD$ jest prostopadłe do podstaw, a długość boku $BC$ jest dwa razy większa od różnicy długości podstaw trapezu. Kąt $ABC$ ma miarę

RUphYR9qc2Wbw

$30 °$
$45 °$
$60 °$
$75 °$

Ćwiczenie 19

Przekątna $BD$ rombu $ABCD$ ma taką samą długość jak bok rombu. Wynika stąd, że

RrlTZjerAXTe1

$"|"AC"|" = 2 "|"BD"|"$
$"|"∢ ABC"|" = 120 °$
pole rombu jest równe ${"|"BD"|"}^{2}$
obwód rombujest równy $2 "|"AC"|"$

Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $ABC$ .

R1eTsGBuQy7ph1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C. Kąt zewnętrzny przy wierzchołku B ma miarę 146 stopni.

Wtedy

R2OVPQsvo9tN0

$"|"∢ CAB"|" = 34 °$
$"|"∢ CAB"|" = 56 °$
$"|"∢ CAB"|" = 68 °$
$"|"∢ CAB"|" = 146 °$

Ćwiczenie 21

Punkty $E$ i $F$ są środkami boków prostokąta $ABCD$ .

RQo4qO4auH3qY1

Rysunek prostokąta A B C D, w który wpisany jest trójkąt A F E. Punkt F leży w połowie boku BD a punkt E w połowie boku CD.

Jaką częścią pola prostokąta jest pole trójkąta $AFE$ ?

R1JyAqPv6yE7b

$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{8}$
$\frac{5}{8}$
$\frac{7}{8}$

Ćwiczenie 22

Ile boków ma wielokąt foremny, którego każdy kąt wewnętrzny ma miarę $160 °$ ?

$18$

Suma wszystkich kątów w danym $n$ -kącie jest równa

(n - 2) ∙ 180 ° .

Ponieważ jest to wielokąt wypukły, miary wszystkich kątów są jednakowe. Stąd miara każdego kąta jest równa

\frac{(n - 2) ∙ 180 °}{n} = 160 ° .

Otrzymujemy

(n - 2) ∙ 180 ° = 160 ° ∙ n

180 ° ∙ n - 360 ° = 160 ° ∙ n

20 ° ∙ n = 360 °

n = 18 .

Zatem szukanym wielokątem foremnym jest osiemnastokąt.

Ćwiczenie 23

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ , w którym $|AD| = |DC| = 3$ .

Czy wysokość tego trapezu może być równa $4$ ? Odpowiedź uzasadnij.
Uzasadnij, że przekątna $AC$ zawiera się w dwusiecznej kąta $DAB$ .

R1QzO0Ud97GlX1

Rysunek trapezu A B C D z zaznaczoną wysokością DE. Długości podstawy górnej CD i oraz ramienia DA wynoszą 3.

Trójkąt $AED$ jest prostokątny. Odcinek $AD$ jest jego przeciwprostokątną, a odcinek $DE$ przyprostokątną. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem w trójkącie, stąd $|DE| < | AD |$ , czyli $|DE| < 3$ . Zatem długość odcinka $DE$ nie może być równa $4$ .
Kąty $ACD$ i $CAB$ są odpowiadające. Ponieważ proste $AB$ i $CD$ są równoległe, $|∢ACD| = |∢CAB|$ . Oznaczmy miarę każdego z tych kątów przez $α$ .
ROM6Ls18ULwMG1
Trójkąt $ACD$ jest równoramienny, więc kąty przy podstawie $AC$ są sobie równe. Stąd $|∢DAC| = α .$ Zatem prosta $AC$ jest dwusieczną kąta $DAB$ .

Ćwiczenie 24

Podstawy trapezu mają długości $6$ i $10$ . Miary kątów przy dłuższej podstawie są równe $30 °$ i $60 °$ .
Oblicz pole trapezu.

REgetLzCrIs9M1

Rysunek trapezu A B C D z zaznaczonymi wysokościami DF i CE. Kąt przy wierzchołku A ma miarę 30 stopni a przy B ma 60 stopni.

$8 \sqrt{3}$

Oznaczmy długość odcinka $EB$ przez $x$ . Trójkąty $AFD$ oraz $CEB$ są prostokątne, a miary ich kątów ostrych są równe $30 °$ i $60 °$ . Ze związków miarowych w trójkącie $CEB$ otrzymujemy

|CE| = | DF | = x \sqrt{3 .}

Ze związków miarowych w trójkącie $AFD$ mamy $|AF| = 3 x$ . Podstawa $AB$ trapezu $ABCD$ ma więc długość

|AB| = 3 x + 6 + x = 10,

skąd $4 x = 4$ , czyli $x = 1$ .
Wysokość $DF$ trapezu jest równa $| DF | = \sqrt{3}$ .
Pole trapezu wynosi

P = \frac{6 + 10}{2} \sqrt{3} = 8 \sqrt{3} .

Ćwiczenie 25

W trapezie $ABCD$ poprowadzono krótszą przekątną, która podzieliła go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Oblicz miary kątów tego trapezu. Rozważ wszystkie przypadki.

$60 °, 150 °, 30 °, 120 °$ lub $90 °, 90 °, 120 °, 60 °$

I przypadek
R1cclqTFTzNSY1
Kąt prosty $BAD$ jest sumą kątów $CAB$ oraz $CAD$ . Trójkąt $ABC$ jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają miarę $60 °$ . Stąd
$|∢ CAD| = 90 ° - |∢ CAB|,$
czyli
$|∢ CAD| = 90 ° - 60 ° = 30 ° .$
Kąt $ACD$ ma więc miarę $60 °$ .
R1Wj11n7xlc8O1
Stąd miary kątów w trapezie $ABCD$ są równe: $90 °, 90 °, 120 °, 60 °$ .

II przypadek
R1AQK4OlQxvLa1
Kąty $ACD$ i $BAC$ są naprzemianległe. Proste $AB$ i $CD$ są równoległe, zatem
$|∢ ACD| = |∢ BAC| .$
Trójkąt $ABC$ jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają miarę $60 °$ . Stąd
$|∢ ACD| = 60 ° .$
Otrzymujemy więc
$|∢ CDA| = 90 ° - 60 ° = 30 ° .$
REzylxRPFaoxS1
Miary kątów w trapezie $ABCD$ są równe: $60 °, 150 °, 30 °, 120 °$ .

Ćwiczenie 26

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę $45 °$ , a jego pole jest równe $72 \sqrt{2}$ . Oblicz długość boku tego rombu.

$12$

R1KejCpiP9LBA1

Rysunek rombu A B C D z zaznaczoną wysokością DE. Kąt przy wierzchołku A ma miarę 45 stopni.

Oznaczmy wysokość $DE$ przez $h$ . Trójkąt $ADE$ jest prostokątny, a miary jego kątów ostrych są równe $45 °$ i $45 °$ , skąd długość boku rombu $AD$ jest równa $h \sqrt{2}$ . Zatem

P = h \sqrt{2} ∙ h = h^{2} \sqrt{2 .}

Otrzymujemy równanie

h^{2} \sqrt{2} = 72 \sqrt{2},

Ponieważ $h > 0,$ to

h = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} .

Długość boku rombu jest równa

6 \sqrt{2} ∙ \sqrt{2} = 12 .

Ćwiczenie 27

Trapez prostokątny $ABCD$ podzielono na trzy figury o równych polach, tak jak na rysunku. Długość boku kwadratu $CDEF$ jest równa $6$ . Oblicz obwód i pole trapezu $ABCD$ .

R1Bs3Fx6ZFnMp1

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D podzielony na trzy figury: kwadrat C D E F, trójkąt B C F oraz trapez A B F E.

$P = 108$ , $L = 48$

R6KWQheTmMg3s1

Pole kwadratu $CDEF$ o boku $6$ jest równe $36$ . Zatem pola trapezu $ABFE$ oraz trójkąta $CFB$ także są równe $36$ .
Ze wzoru na pole trójkąta $CFB$

P_{CFB} = \frac{1}{2} | CF | ∙ | GB |

otrzymujemy $36 = \frac{1}{2} ∙ 6 | GB |$ . Stąd $|GB| = 12$ . Długość podstawy $AB$ jest więc równa $18$ .
Ze wzoru na pole trapezu $ABFE$ otrzymujemy

P_{ABFE} = \frac{1}{2} (|AB| + |EF|) ∙ |AE|,

czyli

36 = \frac{1}{2} (18 + 6) ∙ |AE| .

Stąd

|AE| = 3 .

Wysokość trapezu $ABCD$ jest więc równa $6 + 3 = 9$ .
Z twierdzenia Pitagorasa

|CB| = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = 15 .

Pole trapezu $ABCD$ jest równe

P_{ABCD} = \frac{1}{2} (18 + 6) ∙ 9 = 108,

a jego obwód

L_{ABCD} = 18 + 15 + 6 + 9 = 48 .

Ćwiczenie 28

Jaka jest miara kąta pomiędzy dwiema przekątnymi różnej długości poprowadzonymi z tego samego wierzchołka sześciokąta foremnego ?

$30 °$

Sześciokąt foremny możemy podzielić na sześć trójkątów równobocznych.

Rlpqc6ObGoEgG1

Rysunek sześciokąta A B C D E F z zaznaczonymi przekątnymi. Przekątne AE i AD wychodzą z jednego wierzchołka A, pomiędzy nimi zaznaczono kąt.

Szukamy miary kąta $DAE$ pomiędzy odcinkiem $DA$ , który składa się z dwóch boków trójkątów równobocznych, a odcinkiem $AE$ , który składa się z dwóch wysokości trójkąta równobocznego. Zatem kąt ten ma miarę $30 °$ .

Ćwiczenie 29

Udowodnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku są prostopadłe.

Suma miar dwóch sąsiednich kątów w równoległoboku wynosi $180 °$ , zatem jeżeli jeden kąt ma miarę $α$ , to drugi ma miarę $180 ° - α$ . Prowadzimy dwusieczne kątów.

RHsu7UroCIvba1

Rysunek równoległoboku A B C D wraz z poprowadzonymi dwusiecznymi kątów wychodzących z wierzchołków A i B.

Sumujemy miary kątów w trójkącie $ABS$ $\frac{α}{2} + 90 ° - \frac{α}{2} + x = 180 ° .$
Stąd otrzymujemy, że $x = 90 °,$ co było do udowodnienia.

Kąty w figurach, przekątne

Przykłady