Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
Zadania
Kąty w figurach, przekątne
RonBQtrKgowf21
Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód na to, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Dany jest trójkąt A B C. Oznaczamy kąty wewnętrzne trójkąta odpowiednio alfa, beta, gamma. Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez wierzchołek C. W wierzchołku C zaznaczamy dwa kąty zewnętrzne do kąta gamma. Są one równe miarom kątów alfa i beta trójkąta, jako kąty naprzemianległe. Suma kątów alfa, beta i gamma jest równa sumie kątów zewnętrznych i gamma, które tworzą kąt półpełny o wierzchołku C. Ich suma jest równa 180 stopni. Otrzymujemy wzór alfa + beta + gamma = 180 stopni.
Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód na to, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Dany jest trójkąt A B C. Oznaczamy kąty wewnętrzne trójkąta odpowiednio alfa, beta, gamma. Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez wierzchołek C. W wierzchołku C zaznaczamy dwa kąty zewnętrzne do kąta gamma. Są one równe miarom kątów alfa i beta trójkąta, jako kąty naprzemianległe. Suma kątów alfa, beta i gamma jest równa sumie kątów zewnętrznych i gamma, które tworzą kąt półpełny o wierzchołku C. Ich suma jest równa 180 stopni. Otrzymujemy wzór alfa + beta + gamma = 180 stopni.
Rozważmy dowolny trójkąt . Rysujemy prostą równoległą do boku , która przechodzi przez wierzchołek .
RcfYVYxw72MBs1
Rysunek trójkąta A B C z zaznaczonymi kątami wewnętrznymi alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B i gamma przy wierzchołku C. Narysowana prosta równoległa do boku AB przechodzi przez wierzchołek C. Pomiędzy bokiem AC trójkąta a prostą jest kąt zewnętrzny delta a pomiędzy bokiem BC a prostą kąt zewnętrzny epsilon.
Kąty i są równe jako kąty naprzemianległe wewnętrznie. Podobnie .
R1AmPJkmi5vOV1
Rysunek trójkąta A B C z zaznaczonymi kątami wewnętrznymi alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B i gamma przy wierzchołku C. Narysowana prosta równoległa do boku AB przechodzi przez wierzchołek C. Pomiędzy bokiem AC trójkąta a prostą jest kąt zewnętrzny delta a pomiędzy bokiem BC a prostą kąt zewnętrzny epsilon.
Suma miar kątów jest równa .
Wiemy już, że suma miar kątów w trójkącie jest równa . Zastanówmy się teraz, czy można znaleźć wzór na określenie sumy miar kątów dowolnego wielokąta wypukłego. W tym celu narysujmy kilka wielokątów i podzielmy każdy z nich na trójkąty. Poprowadzimy wszystkie przekątne z jednego wierzchołka każdego z wielokątów.
RFZ4a2sAhwhN91
Rysunki trzech wielokątów: czworokąt z jedną przekątną, pięciokąt z dwoma przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka, sześciokąt z trzema przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka. Wszystkie wielokąty zostały podzielone na trójkąty.
Zauważmy, że liczba utworzonych trójkątów jest o mniejsza od liczby wierzchołków wielokąta. Zatem – kąt wypukły można podzielić na trójkąty. Suma miar kątów kąta jest więc równa sumie miar kątów tych trójkątów. W każdym z tych trójkątów suma miar kątów jest równa .
Ciekawostka
Twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wielokąta pozostaje również prawdziwe w przypadku, gdy wielokąt nie jest wypukły (jest wklęsły). Aby udowodnić to twierdzenie, można postąpić podobnie jak poprzednio, dzieląc wielokąt na trójkąty. Trudniej jednak opisać ten podział, gdyż nie zawsze da się podzielić wielokąt na trójkąty, wykorzystując przekątne wychodzące z jednego wierzchołka.
R1PKcHPdWWUsA1
Rysunek jedenastokąta, który jest wklęsły, podzielonego na 9 różnych trójkątów.
Ten wielokąt został podzielony na trójkątów, suma miar jego kątów jest równa .
Wyprowadzimy wzór na liczbę przekątnych dowolnego wielokąta wypukłego. Rozpatrzmy jeden z wierzchołków takiego wielokąta. Ile przekątnych możemy z niego poprowadzić?
R1XUtyUSMJrBH1
Rysunek dziewięciokąta z sześcioma przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka.
Ten wielokąt ma wierzchołków. Z jednego wierzchołka można poprowadzić przekątnych. Z wybranego wierzchołka nie można poprowadzić przekątnych do wierzchołków sąsiednich, ani do tego wybranego wierzchołka. Niech będzie liczbą naturalną większą od . Rozpatrzmy dowolny -kąt wypukły. Ponieważ mamy wierzchołków, a z każdego wierzchołka możemy poprowadzić przekątne, więc ze wszystkich wierzchołków możemy poprowadzić przekątne. Jednak w ten sposób każdą z przekątnych policzyliśmy dwukrotnie. Zatem liczba wszystkich przekątnych -kąta wypukłego jest równa
RX0UCdga2CSDw1
Rysunek dziewięciokąta z zaznaczonymi wszystkimi przekątnymi.
Przekątna wychodzi zarówno z wierzchołka , jak i z wierzchołka .
O przekątnych wielokąta
Twierdzenie: O przekątnych wielokąta
Dowolny -kąt wypukły ma przekątnych, gdzie jest liczbą naturalną większą od .
RswRP4ZHlCjym1
Animacja pokazuje dziewięciokąt wypukły, dla którego trzeba podać ilość przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka, sumę miar kątów wewnętrznych oraz liczbę wszystkich przekątnych.
Animacja pokazuje dziewięciokąt wypukły, dla którego trzeba podać ilość przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka, sumę miar kątów wewnętrznych oraz liczbę wszystkich przekątnych.
Przypomnimy teraz podstawowe własności związane z kątami w czworokątach. Rozważmy dowolny równoległobok i narysujmy proste, na których leżą boki tego równoległoboku.
RvLE02rWwnnxM1
Rysunek równoległoboku A B C D, którego wszystkie boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołku A zaznaczono wewnętrzny kąt ostry alfa.
Zaznaczmy kąty odpowiadające kątowi Ponieważ boki równoległoboku są parami równoległe, zaznaczone na rysunku kąty odpowiadające są równe.
R18J2BHz7ymQ31
Rysunek równoległoboku A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołku A zaznaczono kąt ostry alfa. Przy pozostałych wierzchołkach B, C, D zaznaczono kąty zewnętrzne odpowiadające kątowi alfa.
Kąty i są wierzchołkowe, więc . Oznaczmy miarę kąta przez . Miara kąta także jest równa .
RInWbS4JNmq8j1
Rysunek równoległoboku A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołkach A i C zaznaczono kąt ostry alfa. Przy wierzchołkach B i D zaznaczono kąt rozwarty beta oraz kąt zewnętrzny odpowiadający kątowi alfa.
Kąty i są przyległe, zatem .
Suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych w równoległoboku
Twierdzenie: Suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych w równoległoboku
W równoległoboku suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa .
Rozważmy trapez . Niech będą kątami ostrymi w tym trapezie. Poprowadźmy proste zawierające boki tego trapezu i zaznaczmy kąty naprzemianległe do kątów i . Ponieważ proste i są równoległe, to miary odpowiednich kątów naprzemianległych są równe.
RByAyRjy7ykhE1
Rysunek trapezu A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Kąty wewnętrzne przy dolnej podstawie zaznaczono jako alfa i beta. Przy górnej podstawie kąt alfa i kąt beta są kątami zewnętrznymi trapezu.
Kąt jest przyległy do kąta , zatem
Kąt jest przyległy do kąta , zatem
R1DCHoMxkbm771
Rysunek trapezu A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Kąty wewnętrzne przy dolnej podstawie zaznaczono jako alfa i beta. Przy górnej podstawie kąt alfa i kąt beta są kątami zewnętrznymi trapezu. Kąty wewnętrzne przy górnej podstawie są kątami przyległymi do alfa i beta, więc ich miary są równe 180 stopni minus alfa i 180 stopni minus beta.
Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu
Twierdzenie: Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu
W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu jest równa .
R1B4nnrTwT1Wv1
Rysunek trapezu A B C D. Kąty wewnętrzne przy dolnej podstawie zaznaczono jako alfa i beta. Przy górnej podstawie miara kątów wynosi 180 stopni minus alfa i 180 stopni minus beta.
Rozpatrzmy romb . Wykreślmy przekątną rombu jak na rysunku i zaznaczmy powstałe kąty naprzemianległe. Ponieważ proste i są równoległe, to kąty naprzemianległe są równe.
RlIOj7vyW5xvn1
Rysunek rombu A B C D, którego przekątna AC dzieli kąt ostry rombu na dwa kąty alfa i beta.
W rombie wszystkie boki są równe, więc trójkąt jest równoramienny, a jako równoramienny ma kąty przy podstawie równe, czyli . Przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta i . Podobnie, przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta i . Niech będzie punktem przecięcia przekątnych rombu. Romb jest równoległobokiem, więc
R16YBLB7UzQlB1
Rysunek rombu A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD oraz katami wewnętrznymi 2 alfa i 180 minus 2 alfa. Przekątne przecinają się w punkcie S.
W trójkącie kąt ma miarę , a kąt ma miarę . Zatem miara kąta jest równa
Możemy więc sformułować twierdzenie
Kąt przecięcia przekątnych rombu
Twierdzenie: Kąt przecięcia przekątnych rombu
Przekątne rombu zawierają się w dwusiecznych jego kątów wewnętrznych i przecinają się pod kątem prostym.
Pola wielokątów
Przypomnijmy znane wzory na pola czworokątów.
Pole równoległoboku
gdzie jest długością jednego z boków oraz jest wysokością opuszczoną na ten bok.
RJmTmFTwBn3b51
Rysunek równoległoboku A B C D umieszczonego w prostokącie A E C F.
Umieśćmy równoległobok w prostokącie , jak pokazano na rysunku. Trójkąty i są przystające, czyli
Oznaczmy Pole równoległoboku liczymy odejmując od pola prostokąta sumę pól trójkątów i . Z tych trójkątów można utworzyć prostokąt o bokach , . Pole równoległoboku jest równe
RlsGBKdGAcjkU1
Animacja pokazuje przekształcenie równoległoboku A B C D o podstawie długości a i wysokości h w prostokąt A B E F o bokach a i h. Zauważamy, że pole równoległoboku jest równe polu tego prostokąta.
Animacja pokazuje przekształcenie równoległoboku A B C D o podstawie długości a i wysokości h w prostokąt A B E F o bokach a i h. Zauważamy, że pole równoległoboku jest równe polu tego prostokąta.
gdzie jest jednym z boków trójkąta, a jest wysokością opuszczoną na ten bok.
RpU2WlsmuRenu1
Rysunek trójkątów A B D i B C D, które mają wspólny bok BD. Trójkąt A B C ma podstawę długości a i wysokość opuszczoną na ten bok h.
Podzielmy równoległobok przekątną na dwa trójkąty. Zauważmy, że trójkąty i są przystające, ponieważ mają te same długości boków. Zatem pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku.
R8HJBVkSgslZ11
Animacja pokazuje przekształcenie trójkąta A B C o podstawie a i wysokości h, w prostokąt A B D E o bokach a i h. Zauważamy, że pole trójkąta to połowa pola prostokąta o bokach a i h.
Animacja pokazuje przekształcenie trójkąta A B C o podstawie a i wysokości h, w prostokąt A B D E o bokach a i h. Zauważamy, że pole trójkąta to połowa pola prostokąta o bokach a i h.
gdzie , są długościami podstaw trapezu, a jest jego wysokością.
R1bZnGVWZnbSp1
Rysunek trapezu A B C D podzielonego przekątną BD na dwa trójkąty o polach P z indeksem dolnym jeden i P z indeksem dolnym dwa.
Dzielimy trapez przekątną na dwa trójkąty. Jeden z nich ma podstawę , drugi podstawę oraz oba mają tę samą wysokość .
RuJlmFl8i3zfa1
Animacja pokazuje przekształcenie trapezu A B C D o podstawach długości a i b oraz wysokości h w równoległobok A D prim A prim D o bokach długości a +b i wysokości h. Pole trapezu to połowa pola równoległoboku o boku długości a +b i wysokości h.
Animacja pokazuje przekształcenie trapezu A B C D o podstawach długości a i b oraz wysokości h w równoległobok A D prim A prim D o bokach długości a +b i wysokości h. Pole trapezu to połowa pola równoległoboku o boku długości a +b i wysokości h.
Pole czworokąta wypukłego, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym
gdzie są przekątnymi tego czworokąta.
R1XJxcCq1lW1z1
Rysunek czworokąta A B C D umieszczonego w prostokącie E F G H. W czworokącie zaznaczono przekątne AC i BD, które przecinają się w punkcie S.
Czworokąt umieścimy w prostokącie , którego boki są równoległe do przekątnych. Prostokąt jest podzielony na cztery prostokąty. Otrzymujemy cztery pary trójkątów przystających:
trójkąt jest przystający do trójkąta ,
trójkąt jest przystający do trójkąta ,
trójkąt jest przystający do trójkąta ,
trójkąt jest przystający do trójkąta .
Pole czworokąta jest więc dwa razy mniejsze od pola prostokąta , skąd otrzymujemy