Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Ten materiał nie może być udostępniony Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tej części podręcznika usystematyzujemy zdobyte wcześniej wiadomości na temat własności figur płaskich i rozszerzymy je w oparciu o nowe narzędzia algebraiczne.

R3uYAh5rctBQx1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona łukami para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Roz0hUV88rumc1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie prostej zauważamy, że zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.
Kąty przyległe i wierzchołkowe
Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe
  • Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

  • Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

    R17EFmv3QSulO1

    Na przykład αγ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to αβ oraz γδ.

R1WGDlblrZsOf1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zauważamy, że suma miar zaznaczonych kątów jest zawsze taka sama.
Suma miar kątów przyległych
Twierdzenie: Suma miar kątów przyległych

Suma miar kątów przyległych jest równa 180°.

Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że

α+γ=180°

oraz

β+γ=180°.

Stąd α=β . Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.

REatVqTUWir8c1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P, zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty zawsze mają taką samą miarę.
o kątach wierzchołkowych
Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych

Kąty wierzchołkowe są równe.

Przykład 1

Obliczmy miary kątów α, βγ zaznaczonych na rysunku.

R1bbfpjuzD3BJ1

Kąty 47°β są wierzchołkowe, więc β=47°. Każdy z kątów αγ jest przyległy do kąta 47°. Zatem

α= γ=180°-47°=133°.
Przykład 2
RfOn1vJXjMjJl1
Animacja pokazuje dwie proste AP i BS, które zostały przecięte trzecią prostą AB. Pomiędzy tymi prostymi utworzyły się kąty odpowiadające. Poruszając punktami P i S zmienia się położenie prostych oraz miary kątów odpowiadających.
Przykład 3
RSMvDSVjhwGBP1
Animacja pokazuje dwie proste AP i BS, które zostały przecięte trzecią prostą AB. Pomiędzy tymi prostymi utworzyły się kąty naprzemianległe. Poruszając punktami P i S zmienia się położenie prostych oraz miary kątów naprzemianległych.
Kąty naprzemianległe i odpowiadające
Definicja: Kąty naprzemianległe i odpowiadające
  • Kąty: αα1,  ββ1, γγ1 oraz δδ1 nazywamy kątami odpowiadającymi.

  • Kąty α1δ oraz β1γ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

  • Kąty βγ1 oraz αδ1 nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

    RXoOkGDSnZ9A31

Przykład 4

W przypadku, gdy proste kl są równoległe

  • Kąty: αα1,  ββ1, γγ1 oraz δδ1 są kątami odpowiadającymi.

  • Kąty α1δ oraz β1γ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

  • Kąty βγ1 oraz αδ1 są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

    Rgeu2bwtCJ8GF1

Przykład 5
RGJpUlcxmNLCv1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery różne pary kątów naprzemianległych.
R21iLRF4VrTgI1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe, które zostały przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery pary kątów naprzemianległych. Zmieniając położenie punktu P, leżącego na jednej z prostych równoległych, zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone parami kąty naprzemianległe mają równe miary.
Przykład 6
R3EYTifHVl8Xn1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone cztery różne pary kątów odpowiadających.
Przykład 7
R1aCSjSEsySJ41
Animacja pokazuje dwie proste równoległe a, b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów odpowiadających alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmieniamy położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty odpowiadające mają równe miary.
 Proste równoległe
Twierdzenie:  Proste równoległe

Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemianległe są równe i kąty odpowiadające są równe.

 Kąty naprzemianległe
Twierdzenie:  Kąty naprzemianległe
  • Jeżeli proste kl przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty naprzemianległe są równe, to proste kl są równoległe.

    RqgCABM3dzTIy1
    Animacja pokazuje w trzech krokach powyższe twierdzenie . Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów naprzemianległych, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty naprzemianległe są równe to proste k i l są równoległe.

 Kąty odpowiadające
Twierdzenie:  Kąty odpowiadające
  • Jeżeli proste kl przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty odpowiadające są równe, to proste kl są równoległe.

    RqPFGRrpFtI9j1
    Animacja pokazuje w trzech krokach ilustrację powyższego twierdzenia. Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów odpowiadających, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty odpowiadające są równe to proste k i l są równoległe.

Przykład 8

Proste kl zostały przecięte trzecią prostą. Miary kątów zaznaczono na rysunku. Uzasadnimy, że proste kl są równoległe.

R11cyTGm4ZFOs1

Zaznaczmy kąt przyległy do kąta 128°. Jego miara jest równa

180°-128°=52°.
R92b7LjnDNBZx1

Dwa kąty odpowiadające mają taką samą miarę 52°, skąd wynika, że proste kl są równoległe.

Przykład 9

Konstrukcja kątów naprzemianległych.

R1W2I8ibWLovH1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe a i b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów naprzemianległych alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty naprzemianległe mają równe miary.
Przykład 10

Konstrukcja kątów odpowiadających.

ReCgurkHoT7a21
Animacja pokazuje w dziesięciu krokach konstrukcję kątów odpowiadających. Kreślimy prostą a. Na prostej a zaznaczamy punkt A. Wybieramy dowolny punkt B nie leżący na prostej a. Przez punkt B prowadzimy prostą b równoległą do prostej a. Kreślimy prostą c przechodzącą przez punkty A i B. Zaznaczamy kąt K A L, równy alfa, między prostymi a i c. Punkt K leży na prostej a, punkt L leży na prostej c. Zaznaczamy kąt M B N, równy beta, między prostymi b i c. Punkt N leży na prostej c, punkt M leży na prostej b. Kąty K A L i M B N nazywamy kątami odpowiadającymi. Porównując miary kątów K A L i M B N zauważamy, że kąty mają takie same miary.
A
Ćwiczenie 1

Podaj miary kątów przy prostych równoległych.

R1RdCLjZFy3ZL1
Animacja pokazuje dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone osiem kątów. Należy, znając miarę kąta beta, podać miary pozostałych siedmiu kątów.

Dwie proste przecięte trzecią prostą – zmienia się położenie trzeciej prostej. Dany jest jeden kąt – należy podać miary pozostałych kątów

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida