• Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

• Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

  R17EFmv3QSulO1

  Rysunek dwóch prostych przecinających się. Między prostymi zaznaczone dwie pary kątów wierzchołkowych: alfa i beta oraz delta i gamma.

  

  Na przykład $\alpha$ i $\gamma$ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to $\alpha$ i $\beta$ oraz $\gamma$ i $\delta .$

Suma miar kątów przyległych jest równa $180°$.

Kąty wierzchołkowe są równe.

Obliczmy miary kątów $\alpha ,\mathrm{ \beta }$ i $\gamma$ zaznaczonych na rysunku.

R1bbfpjuzD3BJ1

Rysunek dwóch prostych przecinających się. Między prostymi zaznaczone pary kątów wierzchołkowych: beta i 47 stopni oraz alfa i gamma.

Kąty $47°$ i $\beta$ są wierzchołkowe, więc $\beta =47°$. Każdy z kątów $\alpha$ i $\gamma$jest przyległy do kąta $47°$. Zatem

• Kąty: $\alpha$ i ${\alpha }_1$, $\mathrm{ \beta }$ i ${\beta }_1,\mathrm{ \gamma }$ i ${\gamma }_1$ oraz $\delta$ i ${\delta }_1$nazywamy kątami odpowiadającymi.

• Kąty ${\alpha }_1$ i $\delta$ oraz ${\beta }_1$i $\gamma$ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

• Kąty $\beta$ i ${\gamma }_1$ oraz $\alpha$ i ${\delta }_1$ nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

  RXoOkGDSnZ9A31

  Rysunek dwóch prostych k i l, które zostały przecięte trzecią prostą c. Pomiędzy tymi prostymi powstały kąty odpowiadające oraz kąty naprzemianległe.

  

W przypadku, gdy proste $k$ i $l$ są równoległe

• Kąty: $\alpha$ i ${\alpha }_1$, $\mathrm{ \beta }$ i ${\beta }_1,\mathrm{ \gamma }$ i ${\gamma }_1$ oraz $\delta$ i ${\delta }_1$są kątami odpowiadającymi.

• Kąty ${\alpha }_1$ i $\delta$ oraz ${\beta }_1$i $\gamma$ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

• Kąty $\beta$ i ${\gamma }_1$ oraz $\alpha$ i ${\delta }_1$ są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

  Rgeu2bwtCJ8GF1

  Rysunek dwóch prostych równoległych k, l przeciętych trzecią prostą c. Między prostymi, zaznaczono: kąty alfa i alfa z indeksem dolnym jeden, kąty beta i beta z indeksem dolnym jeden, gamma i gamma z indeksem dolnym jeden, delta i delta z indeksem dolnym jeden.

  

Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemianległe są równe i kąty odpowiadające są równe.

• Jeżeli proste $k$ i $l$ przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty naprzemianległe są równe, to proste $k$ i $l$ są równoległe.

  RqgCABM3dzTIy1

  Animacja pokazuje w trzech krokach powyższe twierdzenie . Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów naprzemianległych, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty naprzemianległe są równe to proste k i l są równoległe.

  Animacja pokazuje w trzech krokach powyższe twierdzenie . Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów naprzemianległych, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty naprzemianległe są równe to proste k i l są równoległe.

  

  Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DJjfYtCMW

• Jeżeli proste $k$ i $l$ przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty odpowiadające są równe, to proste $k$ i $l$ są równoległe.

  RqPFGRrpFtI9j1

  Animacja pokazuje w trzech krokach ilustrację powyższego twierdzenia. Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów odpowiadających, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty odpowiadające są równe to proste k i l są równoległe.

  Animacja pokazuje w trzech krokach ilustrację powyższego twierdzenia. Dana są proste k i l oraz prosta przecinająca je. Na prostej l leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P zmienia się miary kątów odpowiadających, tak aby ich miary były równe. Jeśli kąty odpowiadające są równe to proste k i l są równoległe.

  

  Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DJjfYtCMW

Proste $k$ i $l$ zostały przecięte trzecią prostą. Miary kątów zaznaczono na rysunku. Uzasadnimy, że proste $k$ i $l$ są równoległe.

R11cyTGm4ZFOs1

Rysunek dwóch prostych k i l przeciętych trzecią prostą. Pomiędzy prostą przecinającą a prostą l zaznaczono kąt o mierze 128 stopni. Pomiędzy prostą przecinającą a prostą k zaznaczono kąt o mierze 52 stopnie.

Zaznaczmy kąt przyległy do kąta $128°$. Jego miara jest równa

R92b7LjnDNBZx1

Rysunek dwóch prostych k i l przeciętych trzecią prostą. Pomiędzy prostą przecinającą a prostą l zaznaczono kąt o mierze 128 stopni. Pomiędzy prostą przecinającą a prostą k zaznaczono kąt o mierze 52 stopnie. Zaznaczono drugi z kątów odpowiadających o mierze 52 stopnie.

Dwa kąty odpowiadające mają taką samą miarę $52°$, skąd wynika, że proste $k$ i $l$ są równoległe.

Konstrukcja kątów naprzemianległych.

R1W2I8ibWLovH1

Animacja pokazuje dwie proste równoległe a i b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów naprzemianległych alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty naprzemianległe mają równe miary.

Animacja pokazuje dwie proste równoległe a i b, które zostały przecięte trzecią prostą c. Między prostymi zaznaczona para kątów naprzemianległych alfa i beta. Na prostej a leży punkt. Zmieniając położenie punktu zmienia się położenie prostych równoległych i miary zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty naprzemianległe mają równe miary.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DJjfYtCMW

Konstrukcja kątów odpowiadających.

ReCgurkHoT7a21

Animacja pokazuje w dziesięciu krokach konstrukcję kątów odpowiadających. Kreślimy prostą a. Na prostej a zaznaczamy punkt A. Wybieramy dowolny punkt B nie leżący na prostej a. Przez punkt B prowadzimy prostą b równoległą do prostej a. Kreślimy prostą c przechodzącą przez punkty A i B. Zaznaczamy kąt K A L, równy alfa, między prostymi a i c. Punkt K leży na prostej a, punkt L leży na prostej c. Zaznaczamy kąt M B N, równy beta, między prostymi b i c. Punkt N leży na prostej c, punkt M leży na prostej b. Kąty K A L i M B N nazywamy kątami odpowiadającymi. Porównując miary kątów K A L i M B N zauważamy, że kąty mają takie same miary.

Animacja pokazuje w dziesięciu krokach konstrukcję kątów odpowiadających. Kreślimy prostą a. Na prostej a zaznaczamy punkt A. Wybieramy dowolny punkt B nie leżący na prostej a. Przez punkt B prowadzimy prostą b równoległą do prostej a. Kreślimy prostą c przechodzącą przez punkty A i B. Zaznaczamy kąt K A L, równy alfa, między prostymi a i c. Punkt K leży na prostej a, punkt L leży na prostej c. Zaznaczamy kąt M B N, równy beta, między prostymi b i c. Punkt N leży na prostej c, punkt M leży na prostej b. Kąty K A L i M B N nazywamy kątami odpowiadającymi. Porównując miary kątów K A L i M B N zauważamy, że kąty mają takie same miary.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DJjfYtCMW