Zadania

Ćwiczenie 1

Dany jest prostokąt $ABCD$ , w którym przekątna $BD$ ma długość $17$ , a bok $AB$ ma długość $10$ . Oblicz długość boku $BC$ .

$|BC| = 3 \sqrt{21}$

RsV0MnXy1xH0p1

Rysunek prostokąta A B C D o boku AB =10 i przekątnej BD =17.

Trójkąt $ABD$ jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa, po uwzględnieniu, że $|AD| > 0,$ otrzymujemy

{|AD|}^{2} + 10^{2} = 17^{2},

stąd

|AD| = 3 \sqrt{21} .

Ponieważ $ABCD$ jest prostokątem, więc

|BC| = |AD| = 3 \sqrt{21 .}

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R1Keh1ETod7D3

W prostokącie dłuższy bok ma długość $4$ , a kąt między przekątną i krótszym bokiem ma miarę $60 °$ . Wtedy długość krótszego boku tego prostokąta wynosi $2$ .
W prostokącie przekątna ma długość $7 \sqrt{2}$ , a kąt między tą przekątną i jednym z boków ma miarę $45 °$ . Wtedy boki tego prostokąta mają długości $7$ i $7 \sqrt{2}$ .
W prostokącie przekątna ma długość $8$ , a kąt między przekątną i dłuższym bokiem ma miarę $30 °$ . Wtedy długość krótszego boku tego prostokąta jest równa $4$ .
Boki prostokąta mają długości $3$ i $6$ . Wtedy kąt między przekątną i dłuższym bokiem ma miarę $30 °$ .

Ćwiczenie 3

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są długości ramion $|BC| = |AC| = 7$ oraz wysokość $|CD| = 3$ . Wówczas

R12vqnj4j3qtm

długość podstawy $AB$ tego trójkąta wynosi $2 \sqrt{10}$
pole tego trójkąta wynosi $4 \sqrt{10}$
długość drugiej wysokości tego trójkąta wynosi $\frac{12}{7} \sqrt{10}$

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawione są kwadraty. Długość boku pierwszego kwadratu jest równa $16$ . Wierzchołki drugiego to środki boków pierwszego. Wierzchołki trzeciego to środki boków drugiego kwadratu.

R13FnzKsdQKdu1

Rysunek kwadratów. Pierwszy kwadrat A B C D. Drugi kwadrat A z indeksem dolnym jeden B z indeksem dolnym jeden, C z indeksem dolnym jeden , D z indeksem dolnym jeden. Trzeci kwadrat A z indeksem dolnym dwa, B z indeksem dolnym dwa, C z indeksem dolnym dwa, D z indeksem dolnym dwa.

Wówczas

RvrkFnrKlLjpN

długość boku drugiego kwadratu jest równa $4 \sqrt{2}$
długość boku trzeciego kwadratu jest równa $8$
długość odcinka $A_{1} B_{2}$ jest równa $4 \sqrt{5}$

Ćwiczenie 5

Przekątna $AC$ czworokąta $ABCD$ dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Długości trzech jego boków zostały podane na rysunku. Ile wynosi obwód tego czworokąta?

RMLZ8vLvKw0M91

Rysunek czworokąta A B C D z zaznaczoną przekątną AC. Bok AB =7, bok BC =4 i bok CD =4. Przekątna AC jest przeciwprostokątną w trójkącie A B C i jednocześnie dłuższą przyprostokątną w trójkącie A C D.

$24$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ACB$ , a następnie dla trójkąta $ACD,$ otrzymujemy

|AC| = \sqrt{7^{2}} + 4^{2} = \sqrt{65} .

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ACD$ otrzymujemy

|AD| = \sqrt{{|AC|}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{65 + 16} = \sqrt{81} = 9 .

Obwód czworokąta $ABCD$ jest więc równy

L_{ABCD} = 7 + 4 + 4 + 9 = 24 .

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R1F8sZ1VWRZ9l

Obwód prostokąta wynosi $70$ . Stosunek długości jego boków jest równy $2 : 3$ . Wówczas długość krótszego boku tego prostokąta wynosi $21$ .
Stosunek długości przekątnych rombu wynosi $6 : 8$ . Wówczas stosunek boku rombu do dłuższej przekątnej wynosi $5 : 8$ .
Stosunek długości przekątnych rombu wynosi $5 : 8$ . Obwód rombu jest równy $4 \sqrt{89} .$ Wynika z tego, że długość dłuższej przekątnej jest równa $10$ .

Ćwiczenie 7

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

RiKcrqcKdNxuo

Pole trójkąta równobocznego wynosi $9 \sqrt{3}$ . Wówczas bok tego trójkąta ma długość $6$ .
Dane są dwa trójkąty równoboczne $T_{1}$ i $T_{2}$ . Długość boku trójkąta $T_{2}$ jest o $10 %$ większa od długości boku trójkąta $T_{1}$ . Wynika stąd, że pole trójkąta $T_{2}$ jest o $21 %$ większe od pola trójkąta $T_{1}$ .
Wysokość trójkąta równobocznego jest o $2$ krótsza od długości boku. Wtedy pole tego trójkąta wynosi $P = 28 + 48 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 8

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

RFTj9QpIavG54

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $15$ . Wówczas promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $5$ , a promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy $10$ .
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa $7 \sqrt{3}$ . Wówczas promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $7$ .
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa $2 \sqrt{3 .}$ Wówczas promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $2$ .

Ćwiczenie 9

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R1NaYpds045p6

Możliwe odpowiedzi: 1. Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości

8

4 \sqrt{5 .}

Wtedy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi

6

., 2. Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym wynosi

3 : 5

, to stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości dłuższej przyprostokątnej trójkąta wynosi

17 : 10 .

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości $8$ i $4 \sqrt{5 .}$ Wtedy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi $6$ .
Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym wynosi $3 : 5$ , to stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości dłuższej przyprostokątnej trójkąta wynosi $17 : 10 .$

Ćwiczenie 10

Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego jest prosty. Wysokość opuszczona na podstawę tego trójkąta jest równa $5$ . Oblicz długość środkowej tego trójkąta, której jednym z końców jest wierzchołek kąta ostrego.
W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami jest równy $120 °$ . Wysokość opuszczona na podstawę tego trójkąta jest równa $2$ . Oblicz długość środkowej tego trójkąta, której jednym z końców jest wierzchołek kąta ostrego.

Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku.
Rw5hRkWwkNLIb1
Trójkąt $ADC$ jest połową kwadratu o boku długości $h = 5$ . Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu otrzymujemy
$2 a = 5 \sqrt{2} .$
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $BCE$ obliczamy długość środkowej $BE$
${|BE|}^{2} = {(2 a)}^{2} + a^{2} = {(5 \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{5}{2} \sqrt{2})}^{2} = \frac{125}{2} .$
Po uwzględnieniu, że $|BE| > 0,$ otrzymujemy
$|BE| = \sqrt{\frac{125}{2}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \frac{5}{2} \sqrt{10} .$
Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku i poprowadźmy odcinek $DF$ prostopadły do prostej $BC$ , którego koniec $F$ leży na tej prostej.
R1GfnE68jne6m1
Trójkąt $ACE$ to połowa trójkąta równobocznego, więc
$|AC| = 2 |CE| = 2 \cdot 2 = 4,$
czyli $2 a = 4$ . Stąd $a = 2$ .Trójkąt $CDF$ jest także połową trójkąta równobocznego o boku długości $a$ , więc
$b = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1, h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} .$
Wobec tego przyprostokątna $BF$ trójkąta prostokątnego $BDF$ ma długość
$|BF| = 4 + 1 = 5 .$
Środkowa $BD$ trójkąta $ABC$ jest przeciwprostokątną trójkąta $BDF$ . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
${|BD|}^{2} = 5^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 25 + 3 = 28 .$
Po uwzględnieniu, że $|BD| > 0,$ otzrymujemy
$|BD| = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7} .$

Ćwiczenie 11

Podstawą $AB$ trójkąta równoramiennego $ABM$ jest dłuższy bok prostokąta $ABCD$ . Wierzchołek $M$ leży na boku $CD$ , jak pokazano na rysunku.

R1HB7YP0WOddi

Rysunek prostokąta A B C D o bokach długości 15 i 16. W prostokąt wpisany jest trójkąt A B M, którego podstawą jest bok AB o długości 16. Punkt M znajduje się w połowie długości boku CD. — G1_Planimetria_ZadZamniete1

Obwód tego trójkąta wynosi

RhDJQpxidzX0Y

$50$
$48$
$2 \sqrt{481} + 16$
$10 \sqrt{7} + 12$

Ćwiczenie 12

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych są równe $2$ i $2 \sqrt{3}$ . Większy z kątów ostrych w tym trójkącie ma miarę

Rh5wjQ8pcxza4

$45 °$
$60 °$
$30 °$
$15 °$

Ćwiczenie 13

Liczby $6,14$ , $x$ są długościami boków trójkąta równoramiennego. Wtedy $x$ wynosi

R1GPE1gGQfnhq

$x = 14$
$x = 12$
$x = \sqrt{113}$
$x = 8$

Ćwiczenie 14

Na rysunku przedstawiony jest prostokąt.

RBL6mjIE2k66S

Rysunek prostokąta o bokach długości 5 i a oraz przekątnej długości d, która z bokiem a tworzy kąt 30 stopni. — P1_Przyklad1_ZZ4_pop

Długość $a$ dłuższego boku oraz długość $d$ przekątnej tego prostokąta wynoszą

R1NtIt57D1cLg

$a = \frac{5}{\sqrt{3}}$ , $d = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$
$a = 5 \sqrt{3}$ , $d = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$
$a = 5 \sqrt{3}$ , $d = 10$
$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3},$ $d = 10$

Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty – „połowy” trójkąta równobocznego. Stąd

a = 5 \sqrt{3}

oraz

d = 2 \cdot 5 = 10 .

Ćwiczenie 15

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości $15$ i $17$ . Obwód tego trójkąta jest równy

R1OzATkFSm4AD

$40,5$
$40$
$39,5$
$\sqrt{514} + 32$

R16gfs9qEzSC1

Grafika statyczna — G1_Planimetria_ZadZamkniete5_nowy

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy

x^{2} + 15^{2} = 17^{2},

zatem

x^{2} + 17^{2} = 15^{2}

x^{2} = 64

x = 8 .

Szukany obwód wynosi więc

17 + 15 + 8 = 40 .

Ćwiczenie 16

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są długości boków $|AB| = |BC| = 10$ oraz $|AC| = 14$ .

RdaPQwO7ilyDE

Rysunek trójkąta równoramiennego A B C z oznaczoną wysokością BD poprowadzoną z wierzchołka B. — G1_Planimetria_ZadZamkniete6_nowy

Pole tego trójkąta jest równe

Ry2HSVhzmWYDC

$7 \sqrt{51}$
$49$
$20 \sqrt{6}$
$28 \sqrt{6}$

Ćwiczenie 17

Długość boku trójkąta równobocznego jest równa $\frac{\sqrt{21}}{2}$ . Promień $r$ okręgu wpisanego w ten trójkąt i promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie są równe odpowiednio

Rm0SFJ1i8ZhuS

$r = \frac{\sqrt{14}}{4}$ , $R = \frac{\sqrt{14}}{2}$
$r = \frac{\sqrt{21}}{8}$ , $R = \frac{\sqrt{21}}{4}$
$r = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , $R = \frac{\sqrt{7}}{2}$
$r = \frac{\sqrt{21}}{4}$ , $R = \frac{\sqrt{21}}{8}$

Ćwiczenie 18

W prostokącie długość jednego z boków jest równa $3 \sqrt{2}$ , a przekątna ma długość $3 \sqrt{6}$ . Oblicz długość drugiego boku prostokąta.

$|MN| = 6$

Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku.

R13bbi7qZYkW31

Rysunek prostokąta K L M N z oznaczoną przekątną NL. Rozwiązanie zadania.

Trójkąt $LMN$ jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

{(3 \sqrt{2)}}^{2} + {|MN|}^{2} = {(3 \sqrt{6)}}^{2} .

Stąd

{|MN|}^{2} = 36 .

Ponieważ,

|MN| > 0,

|MN| = 6 .

Ćwiczenie 19

Dane są trzy czworokąty. Pierwszy jest prostokątem o bokach długości $2$ i $4$ . Wierzchołki drugiego czworokąta to środki boków pierwszego, a wierzchołki trzeciego to środki boków drugiego czworokąta. Oblicz sumę obwodów tych wielokątów.

Suma obwodów wynosi $18 + 4 \sqrt{5}$ .

Poprowadźmy odcinki łączące środki przeciwległych boków pierwszego prostokąta. Podzielą one ten prostokąt na cztery przystające prostokąty o bokach długości $1$ i $2$ .

RBofjlCE7X35U1

Rysunek prostokąta o bokach długości 4 i 2 wraz z pozostałymi czworokątami. Rozwiązanie zadania.

Przekątna każdego z tych prostokątów ma długość $\sqrt{5}$ i jest jednocześnie bokiem drugiego czworokąta. Zatem drugi czworokąt jest rombem o boku długości $\sqrt{5}$ .

RjbRQq5xYrde41

Rysunek prostokąta o bokach długości 4 i 2 wraz z pozostałymi czworokątami i zaznaczonym odcinkiem długości pierwiastek z pięciu. Rozwiązanie zadania.

Zauważmy, że odcinki łączące środki przeciwległych boków każdego z tych czterech prostokątów dzielą go na cztery przystające prostokąty o bokach długości $\frac{1}{2}$ i $1$ .

RwJPmMUZSU4BQ1

Rysunek prostokąta o bokach długości 4 i 2 wraz z pozostałymi czworokątami. Prostokąt podzielony na małe przystające prostokąty o bokach długości jedna druga i 1. Rozwiązanie zadania.

R1A48BdVLrlTK1

Trzeci z czworokątów jest prostokątem zbudowanym z czterech uzyskanych wcześniej prostokątów, zatem długości jego boków to $2 ∙ \frac{1}{2}$ oraz $2 ∙ 1$ , czyli $1$ i $2$ .
Szukana suma obwodów wynosi więc

2 ∙ (4 + 2) + 4 ∙ \sqrt{5} + 2 ∙ (2 + 1) = 18 + 4 \sqrt{5 .}

Ćwiczenie 20

W kwadrat wpisano okrąg i na tym samym kwadracie opisano okrąg, jak pokazano na rysunku. Pole zaznaczonego pierścienia jest równe $5 π$ . Oblicz obwód kwadratu.

R6TlLHMueo9TB1

Rysunek kwadratu, na którym opisano i w który wpisano okrąg. Pole pierścienia jest równe różnicy pola koła opisanego i pola koła wpisanego w kwadrat. Promienie tych kół są równe odpowiednio połowie długości przekątnej i połowie długości boku kwadratu.

$8 \sqrt{5}$

Pole pierścienia jest równe różnicy pola koła opisanego i pola koła wpisanego w kwadrat. Promienie tych kół są równe odpowiednio połowie długości przekątnej i połowie długości boku kwadratu. Zatem

5 π = π ({(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}),

gdzie $a$ jest długością boku kwadratu. Stąd

5 = \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}

5 = \frac{a^{2}}{4}

a^{2} = 20 .

Ponieważ $a > 0$ , to

a = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}

Obwód kwadratu jest równy

L_{kwadratu} = 4 a = 8 \sqrt{5} .

Ćwiczenie 21

Dany jest równoległobok, w którym jeden z boków ma długość $b = 6$ . Kąt ostry równoległoboku ma miarę $30 °$ , kąt między krótszą przekątną a bokiem a ma miarę $45 °$ , jak na rysunku. Oblicz pole tego równoległoboku.

R1WwjGP6yxLmN1

Rysunek równoległoboku A B C D o boku AD =BC =6 i AB =DC =a. Kąt ostry A =30 stopni. Kąt między krótszą przekątną DB =H a bokiem AB równy jest 45 stopni. Z wierzchołka D poprowadzono wysokość DE. Odcinek EB =3.

$9 \sqrt{3} + 9$

Trójkąt $AED$ jest połową trójkąta równobocznego. Z zależności między długościami boków w trójkącie równobocznym mamy

|DE| = h = \frac{1}{2} b = 3

|AE| = 3 \sqrt{3} .

Trójkąt $BDE$ jest połową kwadratu, zatem długość odcinka $EB$ jest równa długości wysokości $h$ .

RAayC5YwTRdwr1

Długość odcinka $AE$ jest więc równa $a - 3$ , zatem

a - 3 = 3 \sqrt{3},

więc

a = 3 \sqrt{3} + 3 .

Pole równoległoboku wynosi

P = a ∙ h = 3 (3 \sqrt{3} + 3) = 9 \sqrt{3} + 9 .

Ćwiczenie 22

W trójkąt równoramienny $ABC$ o podstawie długości $|AB| = 6$ i ramionach długości $|AC| = |BC| = 5$ wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

$r = \frac{3}{2}$

RYf4ptulZxJT31

Rysunek trójkąta A B C opisanego w zadaniu. Z wierzchołka C poprowadzono wysokość CD, która przechodzi przez środek okręgu.

W trójkącie równoramiennym spodek wysokości dzieli podstawę na równe części.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ADC$ mamy więc

|DC| = \sqrt{{|AC|}^{2} - {|AD|}^{2}},

czyli

|DC| = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 .

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

P_{ABC} = \frac{1}{2} ∙ 6 ∙ 4 = 12 .

Połowa obwodu jest równa

p = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8 .

Pole trójkąta możemy też obliczyć ze wzoru $P_{ABC} = pr$ , czyli $12 = 8 r$ . Skąd $r = 1,5 .$

Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta

Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające