1. $x=6$

2. $x=-4$

1. $2x^3-432=0$
   Przekształcając równanie równoważnie, otrzymujemy
   $2x^3=432$$x^3=216$ Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest liczba $x=\sqrt[3]{216}=6$.

2. $\frac{5x^3}{2}+160=0$ 
   $5x^3+320=0$$x^3=-64$ Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest $x=\sqrt[3]{-64}=-4$.

1. $x=2$ oraz $x=-2$

2. $x_1=\sqrt{3}$ lub $x_2=-\sqrt{3}$

3. brak rozwiązań

1. Równanie możemy zapisać w postaci
   $3x^4=48$$x^4=16$ To równanie ma dwa rozwiązania $x_1=\sqrt[4]{16}=2$ oraz $x_2=-\sqrt[4]{16}=-2$.

2. $x^6-27=0$
   $x^6=27$
   Istnieją dwie liczby spełniające to równanie $x_2=\sqrt[6]{27}=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt{3}$ oraz $x_2=-\sqrt{3}$.

3. Przekształcamy równanie $5x^8+20=0$ kolejno do postaci
   $5x^8=-20$$x^8=-4$ Równanie to jest sprzeczne.

1. $x_1=0$, $x_2=-3$, $x_3=\frac{1}{3}$

2. $x=-\frac{1}{2}$

3. $x_1=\frac{3}{4}$, $x_2=-\frac{3}{4}$, $x_3=\frac{\sqrt{5}}{5}$, $x_4=-\frac{\sqrt{5}}{5}$

1. Ponieważ lewa strona tego równania jest iloczynem trzech czynników, a prawa jest równa zero, to przynajmniej jeden z czynników tego wielomianu jest równy zero. Mamy więc $x^2=0$ lub ${\left(x+3\right)}^2=0$ lub $3x-1=0$. Zatem kolejno otrzymujemy $x=0$, $x=-3$ lub $x=\frac{1}{3}$.

2. Ponownie lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Ponieważ przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero, więc $4x^2+4x+1=0$ lub $x^2+10=0$. Pierwsze z tych równań możemy zapisać za pomocą wzoru na kwadrat sumy w postaci ${\left(2x+1\right)}^2=0$, stąd otrzymujemy $2x+1=0$ i ostatecznie $x=-\frac{1}{2}$. Drugie równanie przekształcamy do równania $x^2=-10$ i zauważamy, że jest to równanie sprzeczne. Ostatecznie jedynym rozwiązaniem jest liczba $x=-\frac{1}{2}$.

3. $\left(16x^2-9\right)\left(25x^4-1\right)=0$, czyli $16x^2-9=0$ lub $25x^4-1=0$. Pierwsze równanie przekształcamy do równania $x^2=\frac{9}{16}$, które ma dwa rozwiązania $x=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ lub $x=-\frac{3}{4}$. Drugie równanie przekształcamy do równania $x^4=\frac{1}{25}$, które ma dwa rozwiązania $x=\sqrt[4]{\frac{1}{25}}=\sqrt[4]{\frac{1}{5^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ lub $x=-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

$m=-9$

Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników stopnia pierwszego, a prawa jest równa zero. Żeby iloczyn równał się zero, to $x-3=0$ lub $3x+m=0.$ Zatem $x=3$ lub $x=-\frac{m}{3}$. Ponieważ równanie ma mieć tylko jedno rozwiązanie, więc $-\frac{m}{3}=3$, stąd $m=-9$.

$3$

Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero, więc $x^4-16=0$ lub $x^2+3x-10=0$. Pierwsze równanie zapisujemy w postaci $x^4=16$. To równanie ma dwa rozwiązania $x=\sqrt[4]{16}=2$ oraz $x=-2$. Drugie równanie jest równaniem kwadratowym, którego $∆=9+4\cdot 10=49>0.$ Zatem równanie to ma dwa rozwiązania $x=\frac{-3-7}{2}=-5$ lub $x=\frac{-3+7}{2}=2$. Ostatecznie równanie zapisane w zadaniu ma trzy rozwiązania $x=2$, $x=-2$ lub $x=-5$.

1. $x=0$ lub $x=4$

2. $x=0$, $x=1$ lub $x=-\frac{1}{2}$

3. $x=0$

1. Wyłączamy przed nawias wyrażenie $x^2$ i otrzymujemy $x^2\left(x^2-8x+16\right)=0$. Ponieważ lewa strona równania jest zapisana w postaci iloczynu, a prawa jest równa zero, równanie możemy zapisać w postaci dwóch warunków $x^2=0$ lub $x^2-8x+16=0$. Pierwszy warunek jest spełniony dla $x=0$, drugi możemy zapisać w postaci równoważnej, korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy ${\left(x-4\right)}^2=0$, co z kolei jest równoważne postaci $x-4=0$, stąd $x=4$. Równanie ma więc dwa rozwiązania $x_1=0$ oraz $x_2=4$.

2. W równaniu $2x^3-x^2-x=0$ wyłączamy przed nawias $x$ i otrzymujemy $x\left(2x^2-x-1\right)=0$, co możemy zapisać w postaci dwóch warunków $x=0$ lub $2x^2-x-1=0$. Dla drugiego równania obliczamy $∆=1-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=9$. Ponieważ delta jest większa od zera, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania $x=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$ oraz $x=\frac{1+3}{4}=1$. Równanie ma więc trzy rozwiązania $x=0$, $x=-\frac{1}{2}$ lub $x=1$.

3. W równaniu $x^4-5x^3+7x^2=0$ wyłączamy przed nawias $x^2$ i otrzymujemy $x^2\left(x^2-5x+7\right)=0$. Ponieważ lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero, to równanie jest równoważne dwóm równaniom $x^2=0$ lub $x^2-5x+7=0$. Z pierwszego mamy $x=0$, zaś drugie jest równaniem kwadratowym, które rozwiązujemy, obliczając

Ponieważ $∆<0$ równanie nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

1. $x=-2$, $x=1$ lub $x=-1$

2. $x=-6$ lub $x=0$

3. $x=-\frac{4}{3}$, $x=\sqrt{2}$ lub $x=-\sqrt{2}$

4. $x=3$, $x=2$ lub $x=-2$

1. Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias $x^2$, a z dwóch ostatnich $-1$ i otrzymujemy równanie $x^2\left(x+2\right)-\left(x+2\right)=0$. W obu składnikach występuje wyrażenie $x+2$, możemy więc wyłączyć je przed nawias $\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)=0$. Wyrażenie $x^2-1$ zapisujemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów $\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$. Ponieważ równanie to jest zapisane w postaci iloczynu, który jest równy zero, więc możemy je zapisać równoważnie jako trzy równania $x+2=0$ lub $x-1=0$ lub $x+1=0$. Ostatecznie otrzymaliśmy trzy rozwiązania $x=-2$, $x=1$ lub $x=-1$.

2. Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias $x^3$, a z dwóch następnych $x$ i otrzymujemy równanie $x^3\left(x+6\right)+x\left(x+6\right)=0$. W obu składnikach występuje czynnik $x+6$, wyłączamy go przed nawias i otrzymujemy iloczyn równy zero $\left(x+6\right)\left(x^3+x\right)=0$. Po wyłączeniu z drugiego czynnika $x$ mamy $\left(x+6\right)x\left(x^2+1\right)=0$, stąd $x+6=0$ lub $x=0$ lub $x^2+1=0$. Pierwsze równanie ma rozwiązanie $x=-6$, trzecie jest równaniem sprzecznym. Ostatecznie wyjściowe równanie ma dwa rozwiązania $x=-6$ lub $x=0$.

3. Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias $x^2$, a z dwóch kolejnych $-2$ i otrzymujemy równanie $x^2\left(3x+4\right)-2(3x+4)=0$. Wspólnym czynnikiem jest $3x+4$, zatem $\left(3x+4\right)\left(x^2-2\right)=0$. Wyrażenie w drugim nawiasie zapisujemy, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów $\left(3x+4\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$, stąd $3x+4=0$lub $x-\sqrt{2}=0$ lub $x+\sqrt{2}=0$. Otrzymaliśmy trzy rozwiązania $x=-\frac{4}{3}$ , $x=\sqrt{2}$ lub $x=-\sqrt{2}$.

4. Z dwóch pierwszych składników wyłączamy $x^2$, a z dwóch następnych $-4$ i otrzymujemy równanie $x^2(x-3)-4(x-3)=0$. Po wyłączeniu wspólnego czynnika $x-3$ mamy $\left(x-3\right)\left(x^2-4\right)=0$. Drugi czynnik zapisujemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów $\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$ i otrzymujemy trzy rozwiązania równania $x=3$, $x=2$ lub $x=-2$.

Wyłączamy przed nawias z dwóch pierwszych składników sumy wyrażenie $x^2$, natomiast z dwóch ostatnich $-9$. Otrzymujemy równanie $x^2\left(x+2\right)-9\left(x+2\right)=0$. W obu iloczynach występuje czynnik $x+2$, wyłączamy go przed nawias i równanie zapisujemy w postaci $\left(x+2\right)\left(x^2-9\right)=0$. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, przekształcamy je do postaci $\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$. Skoro iloczyn jest równy zero, więc przynajmniej jeden z czynników jest zerem, zatem $x+2=0$ lub $x-3=0$ lub $x+3=0$. Rozwiązaniem równania są więc liczby $x=-2$ , $x=3$ oraz $x=-3$. Dwa obliczone pierwiastki są ujemne i jeden dodatni, czyli ich iloczyn jest liczbą dodatnią.

Równanie jest równoważne równaniu $x^{50}+x^2-50x^{48}-50=0$. Z pierwszych dwóch składników wyłączamy przed nawias $x^2$, a z dwóch kolejnych $-50$ i otrzymujemy $x^2\left(x^{48}+1\right)-50\left(x^{48}+1\right)=0$. Po wyłączeniu wyrażenia $x^{48}+1$ otrzymujemy równanie, którego lewa strona jest iloczynem dwóch składników, a prawa strona jest równa zero $\left(x^{48}+1\right)\left(x^2-50\right)=0$, stąd $x^{48}+1=0$ lub $x^2-50=0$. Pierwsze równanie jest sprzeczne, ponieważ $x^{48}\ge 0$, czyli $x^{48}\ne -1$. Drugie równanie ma dwa rozwiązania $x=\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 25}=5\sqrt{2}$ lub $x=-5\sqrt{2}$. Zatem suma rozwiązań równania wynosi $5\sqrt{2}+\left(-5\sqrt{2}\right)=0$, jest więc liczbą całkowitą.

$P\left(x\right)=x^3-2$

Zapiszmy wielomian $V\left(x\right)$ w postaci iloczynu. W tym celu z pierwszych dwóch składników wyłączamy przed nawias $x^3$, a z dwóch kolejnych $-2$. Otrzymujemy wówczas

Wspólnym czynnikiem jest $x^2-4$, który wyłączamy przed nawias i wówczas mamy

Zatem wielomian $W\left(x\right)$ trzeba pomnożyć przez wielomian $P\left(x\right)=x^3-2$.

Skoro liczba $2$ jest rozwiązaniem tego równania, więc

Pierwszy składnik sumy jest równy $0$, więc równanie sprowadza się do postaci $4-a=0$, stąd $a=4$.
Równanie ma więc postać ${\left(x-2\right)}^2\left(x+7\right)-x\left(x^2-4x+4\right)=0$. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, przekształcamy je do postaci ${\left(x-2\right)}^2\left(x+7\right)-x{\left(x-2\right)}^2=0$, a następnie wyłączamy wspólny czynnik ${\left(x-2\right)}^2$ przed nawias i otrzymujemy ${\left(x-2\right)}^2\left(x+7-x\right)=0$, a ostatecznie $7{\left(x-2\right)}^2=0$. Jest to równanie, którego jedynym rozwiązaniem jest liczba $2$.