Wyrażenia wymierne. Równania wymierne
Wyrażenia wymierne
Rozważając zależności między różnymi wielkościami, mamy do czynienia również z takimi, w których występują wyrażenia wymierne. Na przykład wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta.
Miejscowości i są odległe o . W połowie drogi między nimi znajduje się miejscowość . Rowerzysta przejechał drogę z do , przy czym wartość jego średniej prędkości na trasie z do była o większa niż wartość średniej prędkości na trasie z do .
Przyjmując, że wartość średniej prędkości tego rowerzysty na trasie z do była równa , wyrazimy za pomocą wartość jego średniej prędkości na całej trasie z do .
Z warunków zadania wnioskujemy, że czas (w godzinach) przejazdu rowerzysty z do to
Natomiast czas (w godzinach) jego przejazdu z do to
Zatem średnia prędkość tego rowerzysty na trasie z do jest równa
Wyrażenie to przekształcamy następująco
Wobec tego
W powyższym przykładzie przy zapisie czasów i oraz prędkości średniej wystąpiły wyrażenia wymierne , , . Każde z nich jest zapisane w postaci ilorazu, a w mianowniku każdego z tych wyrażeń występuje zmienna .
Zauważmy, że dla każdej wartości (która jako wartość prędkości jest dodatnia), wyrażenia te są określone. Gdyby na przykład ten rowerzysta jechał z do ze średnią prędkością , to jego średnia prędkość na trasie z do byłaby równa, a średnia prędkość na całej trasie z do . Nie jest to, jak widać, średnia arytmetyczna wartości prędkości na trasach z do i z do .
Rowerzysta przejechał drogę z do . W połowie drogi między miejscowościami i znajduje się miejscowość . Przyjmując, że na trasie z do rowerzysta jechał ze średnią prędkością , a na trasie z do – ze średnią prędkością , zapiszemy wartość jego średniej prędkości na całej trasie z do .
Oznaczmy przez drogę z do .
Z warunków zadania wnioskujemy, że czas (w godzinach) przejazdu rowerzysty z do to
Natomiast czas (w godzinach) jego przejazdu z do to
Zatem średnia prędkość tego rowerzysty na trasie z do jest równa
czyli wyraża się wzorem
Liczba to tzw. średnia harmoniczna liczb dodatnich , .
Wielkość dodatnia jest wyrażona w zależności od wielkości dodatnich i następującym wzorem
Przyjmując, że to jest możliwe, wyrazimy
w zależności od i
w zależności od i
Przekształcamy dany wzór do postaci , stąd . Zatem
, a więc , co oznacza, że , gdy .
, a więc , co oznacza, że , gdy .
Równanie wymierne
Równaniem wymiernym z niewiadomą nazywamy równanie, które można sprowadzić do postaci
gdzie , są wielomianami, przy czym jest wielomianem co najwyżej pierwszego stopnia
Rozwiążemy kilka takich równań.
Rozwiążemy równanie
Wyrażenie , zapisane po lewej stronie równania, jest określone, gdy .
Mnożymy obie strony danego równania przez bo , stąd
Oznacza to, że , czyli . Dla tej wartości obie strony równania są określone, więc liczba jest szukanym rozwiązaniem danego równania.
Uwaga. Po zapisaniu warunku można skorzystać z własności proporcji i w ten sposób przekształcić równoważnie dane równanie do postaci
Rozwiążemy równanie
Wyrażenia zapisane w równaniu: i są określone, gdy i .
Ponieważ , to mnożymy obie strony danego równania przez , stąd
Otrzymujemy , czyli . Dla tej wartości obie strony równania są określone, więc liczba jest szukanym rozwiązaniem danego równania.
Rozwiążemy równanie
Wyrażenia zapisane w równaniu: i są określone, gdy i .
Mnożymy obie strony danego równania przez , stąd
Wobec tego
Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: , więc równanie ma dwa rozwiązania:
oraz .
Dla tych wartości obie strony równania są określone, więc równanie ma dwa rozwiązania: oraz .
Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania .
Wyrażenie jest określone, gdy .
Mnożymy obie strony danego równania przez liczbę różną od zera, stąd
Wobec tego
Wyróżnik tego równania jest dodatni: , więc równanie ma dwa rozwiązania.
Ponieważ jest liczbą niewymierną, to każde z tych rozwiązań
oraz
jest liczbą niewymierną. Zatem równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.
Rozwiążemy równanie .
Wyrażenia i zapisane w równaniu są określone, gdy i
Mnożymy obie strony danego równania przez wyrażenie różne od zera, stąd
Wobec tego
Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: , więc równanie ma dwa rozwiązania
oraz
Tylko dla wartości obie strony równania są określone, więc to równanie ma jedno rozwiązanie: .
Rozwiążemy równanie
Na początku odnotujmy, że wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy , , , .
Przedstawimy dwa sposoby rozwiązania tego równania.
sposób
Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia w parach: najpierw pierwsze do drugiego, a następnie otrzymaną sumę z trzecim:
Pierwszy ułamek możemy skrócić, bo
Stąd
czyli
Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: oraz . Dla tych wartości obie strony danego równania są określone, zatem są to jedyne rozwiązania danego równania.
sposób
Zauważmy, że różnice wyrażeń zapisanych w mianownikach każdego z trzech ułamków stojących po lewej stronie równania są stałe i równe . Wykorzystamy ten fakt do przekształcenia równania. Pomnożymy najpierw obie strony równania przez :
Następnie zapiszemy w liczniku różnice wyrażeń z mianownika
Każde z trzech wyrażeń zapiszemy jako różnicę dwóch ułamków
a po skróceniu otrzymanych ułamków uporządkujemy lewą stronę równania
Po pomnożeniu obu stron otrzymanego równania przez otrzymujemy:
Jak wiemy z rozwiązania poprzednim sposobem, to równanie ma dwa rozwiązania: oraz Są to jedyne rozwiązania równania
Rozwiążemy równanie
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy
Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia parami: pierwsze do ostatniego, a drugie do trzeciego:
Stąd
a więc lub
Rozwiązując równanie , otrzymujemy
stąd Zatem równanie ma dwa rozwiązania: oraz
Wyrażenie jest równe
Rozwiązaniem równania jest liczba
Równanie
- nie ma rozwiązań
- ma dokładnie jedno rozwiązanie
- ma dokładnie dwa rozwiązania
- ma dokładnie trzy rozwiązania
Wspólnym pierwiastkiem równań oraz jest liczba
Jeśli , to
Rozwiązaniem równania jest liczba
Wspólnym pierwiastkiem równań oraz jest liczba
Równanie
- nie ma rozwiązań
- ma dokładnie jedno rozwiązanie
- ma dokładnie dwa rozwiązania
- ma dokładnie trzy rozwiązania
Rozwiąż równanie.
Rozwiąż równanie.
Wielkości łączy zależność . Wyraź
w zależności od i ustal, dla jakich otrzymane wyrażenie jest określone
w zależności od i ustal, dla jakich otrzymane wyrażenie jest określone
Wielkości dodatnie łączy zależność . Wyraź
w zależności od i
w zależności od i
Rozwiąż równanie.
Rozwiąż równanie.
Rozwiąż równanie.
Rozwiąż równanie.
Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania
Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania .
Rozwiąż równanie.
Rozwiąż równanie.
Rozwiąż równanie
Rozwiąż równanie.