Praca i czas potrzebny na jej wykonanie

W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego na jej wykonanie.
Przypomnijmy, że praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego dobra, a efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna; w poniższych zadaniach jest to zazwyczaj wykonany towar lub usługa.
Przez wydajność pracy będziemy rozumieli wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).
W rozpatrywanych poniżej przykładach i zadaniach zakładamy, że średnia wydajność wykonywanej pracy przez opisanych w zadaniu robotników, firmy, automaty itp. nie zmienia się wraz z upływem czasu.

Przykład 1

Dwie firmy: firma $A$ i firma $B$ otrzymały do wykonania pewną pracę. Firma $A$ samodzielnie wykonałaby tę pracę w ciągu $5$ dni, a firma $B$ sama wykonałaby tę pracę w ciągu $20$ dni. W ciągu ilu dni wykonałyby tę pracę firmy $A$ i $B$ , pracując razem?
Z treści zadania wynika, że firma $A$ wykonywałaby dziennie $\frac{1}{5}$ zaplanowanej pracy, a firma $B$ – $\frac{1}{20}$ tej pracy. Oznacza to, że razem wykonywałaby dziennie $\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ całej pracy. Zatem pracując razem, wykonałyby całą tę pracę w ciągu $4$ dni.

Przykład 2

W firmie świadczącej usługi obróbki plastycznej są dwa różne automaty, które tłoczą plastikowe pojemniki o takiej samej wielkości i takim samym kształcie. Firma przyjęła zlecenie wykonania pewnej liczby takich pojemników. Gdyby oba automaty pracowały razem, to zlecenie zostałoby wykonane w ciągu $4$ godzin. Gdyby zaś najpierw połowę tych detali wytłoczył pierwszy automat, to drugi, do zakończenia zleconej pracy musiałby pracować jeszcze przez $6$ godzin. W ciągu ilu godzin pierwszy automat wytłoczyłby wszystkie pojemniki?
Ponieważ drugi automat w ciągu $6$ godzin wykonał połowę zleconej pracy, więc na wykonanie wszystkich pojemników potrzebuje $12$ godzin. Zatem w ciągu godziny automat ten wykonuje $\frac{1}{12}$ wszystkich pojemników.
Z treści zadania wynika, że oba automaty w ciągu godziny wykonują $\frac{1}{4}$ całej pracy, co oznacza, że pierwszy automat wykonuje w tym czasie $\frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ wszystkich pojemników. Wobec tego pierwszy automat wytłoczyłby wszystkie pojemniki w ciągu $6$ godzin.

Przykład 3

Firma budowlana planowała w ciągu $10$ dni wykonać prace wykończeniowe w budowanym bloku mieszkalnym. W tym celu zatrudniła dwa zespoły robotników: zespół $A$ i zespół $B$ . Po $4$ dniach od rozpoczęcia wspólnej pracy zespół $A$ zrezygnował z udziału w tym przedsięwzięciu, więc zespół $B$ sam dokończył tę pracę, na co potrzebował jeszcze $9$ dni. W ciągu ilu dni każdy z tych zespołów wykonałby tę pracę samodzielnie?
Z treści zadania wynika, że w ciągu $4$ dni wspólnej pracy zespoły wykonały $4 \cdot \frac{1}{10}$ całej pracy. Do wykonania zostało jeszcze $\frac{6}{10}$ całej pracy, którą zespół $B$ wykonał w ciągu $9$ dni. Zatem zespół $B$ wykonywał w ciągu jednego dnia $\frac{6}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{15}$ całej pracy, czyli samodzielnie wykonałby całe zamówienie w ciągu $15$ dni. Oznacza to, że zespół $A$ wykonywał w ciągu jednego dnia $\frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$ całej pracy, czyli wykonałby samodzielnie całą tę pracę w ciągu $30$ dni.

Przykład 4

Dwie firmy $A$ i $B$ podjęły się wyprodukować wspólnie w ciągu $12$ dni ustaloną liczbę jednakowych okien. Firma $A$ po dwóch dniach wycofała się z udziału w realizacji zamówienia, więc pozostałą część okien wyprodukowała firma $B$ . W ciągu ilu dni zostało wykonane zamówienie, jeżeli dzienna produkcja firmy $B$ stanowi $\frac{2}{3}$ dziennej produkcji firmy $A$ ?
Oznaczmy przez $a$ – liczbę okien, które w ciągu jednego dnia produkuje firma $A$ . Wtedy dzienna produkcja firmy $B$ to $\frac{2}{3} a$ , a obie firmy produkują razem $a + \frac{2}{3} a = \frac{5}{3} a$ okien dziennie.
Ponieważ według planu całe zamówienie miało być wykonane przez obie firmy w ciągu $12$ dni, więc do wykonania było $12 \cdot \frac{5}{3} a = 20 a$ okien.
W ciągu dwóch dni obie firmy wykonały razem $2 \cdot \frac{5}{3} a = \frac{10}{3} a$ okien. Zatem firmie $B$ pozostało do wykonania $20 a - \frac{10}{3} a = \frac{50}{3} a$ okien.
Ponieważ dzienna wydajność firmy $B$ to $\frac{2}{3} a$ , więc firma $B$ wykona tę pracę w ciągu $\frac{50}{3} a : \frac{2}{3} a = 25$ dni.
Oznacza to, że całe zamówienie zostało wykonane w ciągu $27$ (dni).

Przykład 5

Dwa zespoły robotników: $A$ i $B$ mają wykonać pewną pracę. Zespół $A$ samodzielnie wykonałby tę pracę o $7$ dni szybciej niż pracujący samodzielnie zespół $B$ .
Przyjmując, że $x$ to liczba dni potrzebnych zespołowi $A$ na samodzielne wykonanie tej pracy, wyrazimy za pomocą $x$ tę część pracy, która zostanie wykonana w ciągu jednego dnia przez zespoły $A$ i $B$ pracujące razem.
Z warunków zadania otrzymujemy, że $x + 7$ to liczba dni, które zespół $B$ potrzebuje na wykonanie zleconej pracy.
Zatem

zespół $A$ w ciągu jednego dnia wykonuje $\frac{1}{x}$ całej pracy,
zespół $B$ w ciągu jednego dnia wykonuje $\frac{1}{x + 7}$ całej pracy.

Oznacza to, że oba zespoły, pracując razem, w ciągu jednego dnia wykonują $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7}$ całej pracy.
Sprowadzając do wspólnego mianownika ułamki, wyrażenie to zapiszemy w postaci

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7} = \frac{x + 7 + x}{x (x + 7)} = \frac{2 x + 7}{x (x + 7)}

W powyższym przykładzie pojawiły się wyrażenia wymierne $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{x + 7}$ , $\frac{2 x + 7}{x (x + 7)}$ .
Zauważmy, że dla każdej wartości $x$ (która jest liczbą dodatnią dni) wyrażenia te są określone.
Gdyby na przykład w opisanej sytuacji zespół $A$ potrzebował na wykonanie całej pracy $21$ dni, to zespół $B$ potrzebowałby na jej wykonanie $28$ dni. Ponieważ $\frac{1}{21} + \frac{1}{28} = \frac{1}{12}$ , więc oba zespoły, pracując razem, wykonałyby całą pracę w ciągu $12$ dni.
Zauważmy też, że w przedstawionej sytuacji za pomocą wyrażenia $\frac{x (x + 7)}{2 x + 7}$ opisujemy liczbę dni potrzebnych do wykonania całej pracy przez zespoły $A$ i $B$ pracujące razem.

Przykład 6

Dwa automaty, pracując jednocześnie, wykonały pewną pracę. Pierwszy automat, aby wykonać tę pracę samodzielnie, musiałby pracować trzy razy dłużej, a drugi – o godzinę dłużej niż wtedy, gdy pracowały razem. W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
Oznaczmy przez $x$ – czas (w godzinach), w którym oba automaty razem wykonały pracę. Wtedy czas potrzebny pierwszemu automatowi i czas potrzebny drugiemu automatowi na samodzielne wykonanie tej pracy to odpowiednio $3 x$ oraz $x + 1$ .
Zatem w ciągu godziny:

razem wykonają $\frac{1}{x}$ całej pracy,
pierwszy wykona $\frac{1}{3 x}$ całej pracy,
drugi wykona $\frac{1}{x + 1}$ całej pracy.

Otrzymujemy więc równanie

\frac{1}{3 x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x}

stąd

\frac{2}{3 x} = \frac{1}{x + 1}

(x > 0)

a więc $x = 2$ .
Zatem pierwszy automat samodzielnie wykonałby pracę w ciągu $6$ godzin, a drugi – w ciągu $3$ godzin.

iYcmaHaJ3L_d5e225

Przykład 7

Dwie firmy wykonały prace drogowe w ciągu $32$ dni, przy czym najpierw połowę pracy wykonała tylko pierwsza firma, a następnie resztę pracy wykonała tylko druga firma. Gdyby obie firmy pracowały razem, to wykonałyby te prace w ciągu $15$ dni. Ilu dni potrzebowałaby każda z tych firm na samodzielne wykonanie całej pracy?
Z treści zadania wynika, że wykonując po połowie pracy, obie firmy pracowały w sumie $32$ dni, więc suma liczb dni, w ciągu których każda z firm wykonuje całą pracę, jest równa $64$ .
Oznaczmy przez $x$ liczbę dni potrzebnych pierwszej firmie na wykonanie całej pracy, wtedy liczba dni potrzebnych drugiej firmie na wykonanie całej pracy to $64 - x$ .
Oznacza to, że pierwsza firma wykonuje dziennie $\frac{1}{x}$ całej pracy, a druga $\frac{1}{64 - x}$ .
Otrzymujemy więc równanie

\frac{1}{x} + \frac{1}{64 - x} = \frac{1}{15}

stąd

15 \cdot (64 - x) + 15 \cdot x = x \cdot (64 - x)

x^{2} - 64 x + 960 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 24$ oraz $x_{2} = 40$ . Każde z nich spełnia warunki zadania.
Wynika z tego, że jedna z tych firm wykonałaby samodzielnie całe zlecenie w ciągu $24$ dni, a druga – w ciągu $40$ dni.

Przykład 8

Automat do obróbki plastycznej wykonał $720$ metalowych detali, pracując na niższym poziomie wydajności. Gdyby przestawić ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu godziny będzie wykonywał o $40$ detali więcej i tę samą liczbę detali wykona, pracując o $54$ minuty krócej. W ciągu ilu godzin ten automat wykonał $720$ detali?
Oznaczmy przez $x$ czas, w ciągu którego automat wykonał wszystkie detale. Wtedy $\frac{720}{x}$ to liczba detali wykonanych przez ten automat w ciągu godziny.
Z treści zadania wynika, że na wyższym poziomie wydajności automat wytwarza $(\frac{720}{x} + 40)$ detali na godzinę, a do wykonania $720$ detali potrzebowałby $(x - \frac{9}{10})$ godziny.
Otrzymujemy więc równanie

(x - \frac{9}{10}) (\frac{720}{x} + 40) = 720

stąd

720 - \frac{648}{x} + 40 x - 36 = 720

40 x - 36 - \frac{648}{x} = 0

10 x^{2} - 9 x - 162 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 4 \frac{1}{2}$ oraz $x_{2} = - 3 \frac{3}{5}$ . Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania.
Wynika z tego, że automat wykonał $720$ detali w ciągu $4,5$ godziny.

Przykład 9

Dwa zespoły robotników w ciagu $14$ godzin wykonały zlecone prace murarskie, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, a następnie tylko drugi. Drugi zespół pracował wtedy $\frac{1}{10}$ tego czasu, w którym pierwszy wykonał tę pracę samodzielnie. Gdyby oba zespoły pracowały razem, to wykonałyby tę pracę w ciągu $4$ godzin. Ilu godzin potrzebowałby każdy z tych zespołów, aby wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy przez $x$ – czas (w godzinach), w którym praca zostałaby wykonana, gdyby pracował tylko pierwszy zespół.
Drugi zespół pracował zatem przez $\frac{1}{10} x$ godzin, a więc pierwszy pracował przez $(14 - \frac{1}{10} x)$ godzin.
Ponadto wiemy, że oba zespoły, pracując razem, wykonałyby w ciągu godziny $\frac{1}{4}$ całej pracy i pierwszy zespół wykonałby w tym czasie $\frac{1}{x}$ całej pracy, więc drugi w ciągu godziny wykonałby $(\frac{1}{4} - \frac{1}{x})$ zleconej pracy.
Wobec tego otrzymujemy równanie

\frac{1}{10} x (\frac{1}{4} - \frac{1}{x}) + (14 - \frac{1}{10} x) \cdot \frac{1}{x} = 1

stąd

\frac{1}{40} x + \frac{14}{x} - \frac{6}{5} = 0

x^{2} - 48 x + 560 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 20$ oraz $x_{2} = 28$ . Oba spełniają warunki zadania.
Mam więc dwie możliwości:

$x = 20$ , wtedy zespół pierwszy do wykonania całej pracy potrzebuje 20 godzin, a drugi – 5 godzin,
$x = 28$ , wtedy zespół pierwszy do wykonania całej pracy potrzebuje 28 godzin, a drugi – 4 godzin i 40 minut.

Przykład 10

Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez $3,5$ godziny, to do zakończenia pracy oba automaty musiałyby pracować razem jeszcze przez $4,5$ godziny. Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o $7$ godzin krótszym niż pierwszy. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
Oznaczmy przez $x$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko $I$ automat. Wtedy $(x - 7)$ to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko $II$ automat.
Stąd

\frac{3,5}{x} + 4,5 (\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 7}) = 1

co prowadzi do równania

2 x^{2} - 39 x + 112 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 16$ oraz $x_{2} = 3,5$ . Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania. Wobec tego pierwszy automat może samodzielnie wykonać tę pracę w ciągu $16$ godzin, a drugi – w ciągu $9$ godzin.

Przykład 11

Dwa automaty wykonały pewną pracę. Najpierw pracował tylko pierwszy, a potem pracę dokończył drugi. Pierwszy automat pracował wtedy $\frac{5}{9}$ tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o $6$ godzin i $40$ minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby $\frac{4}{5}$ tej pracy, którą wykonałby wówczas drugi.
W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy:
przez $x$ – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat,
przez $y$ – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.
Ponieważ w czasie wspólnej pracy pierwszy automat wykonuje $\frac{4}{5}$ pracy, którą wykonuje drugi, więc $y = \frac{4}{5} x$ .
W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje $\frac{1}{x}$ całej pracy, drugi – $\frac{1}{y}$ całej pracy.
Zatem, kiedy automaty pracowały jeden po drugim, to pierwszy automat wykonał
$\frac{5}{9} y \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{5} x \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{9}$ całej pracy.
Wobec tego drugi automat wykonał $\frac{5}{9}$ całej pracy, więc pracował przez $\frac{5}{9} y$ godzin. Oznacza to, że cała praca została wykonana w ciągu
$\frac{5}{9} y + \frac{5}{9} y = \frac{10}{9} y$ godzin.
Stąd, wynika, że gdyby oba automaty pracowały razem, to wykonałyby całą pracę w ciągu $(\frac{10}{9} y - \frac{20}{3})$ godzin.
Zatem

(\frac{10}{9} y - \frac{20}{3}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1

(\frac{10}{9} \cdot \frac{4}{5} x - \frac{20}{3}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{4}{5} x}) = 1

\frac{8 x - 60}{9} \cdot \frac{9}{4 x} = 1

8 x - 60 = 4 x

x = 15

Oznacza to, że pierwszy automat samodzielnie wykonałby tę pracę w ciągu $15$ godzin, a drugi – w ciągu $12$ godzin.

iYcmaHaJ3L_d5e405

Ćwiczenie 1

Firma budująca pewien odcinek autostrady zatrudniła do prac geodezyjnych trzy zespoły: $G 1, G 2$ i $G 3$ . Zespół $G 1$ wykonałby tę pracę w ciągu $12$ dni, zespół $G 2$ – w ciągu $15$ dni, a zespół $G 3$ – w ciągu $60$ dni. W ciągu ilu dni zostaną wykonane prace geodezyjne, gdy wszystkie trzy zespoły będą pracować jednocześnie?

$6$ dni

W ciągu jednego dnia wszystkie trzy zespoły wykonają razem $\frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{60} = \frac{1}{6}$ pracy. Zatem cała praca zostanie wykonana w ciągu $6$ dni.

Ćwiczenie 2

Do wykonania pewnej pracy można użyć każdego z dwóch automatów. Pierwszy z nich samodzielnie wykonuje tę pracę w ciągu $4$ godzin, a drugi – w ciągu $5$ godzin. Oba automaty włączono do wspólnej pracy na $2$ godziny. Ile czasu potrzebowałby każdy z tych automatów, żeby dokończyć pracę samodzielnie?

Pierwszy automat – $24$ minuty, drugi – pół godziny.

W ciągu $2$ godzin automaty, pracując razem, wykonują $2 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{9}{10}$ całej pracy, więc do wykonania pozostaje jeszcze $\frac{1}{10}$ tej pracy. Zatem pierwszy automat samodzielnie dokończy pracę w ciągu $4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{5}$ godziny, a drugi – w ciągu $5 \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$ godziny.

Ćwiczenie 3

W firmie świadczącej usługi obróbki plastycznej pracują trzy różne automaty, które tłoczą metalowe detale. Firma przyjęła zlecenie wykonania pewnej liczby takich detali. Gdyby automaty pracowały oddzielnie, to pierwszy z nich wykonałby zleconą liczbę detali w ciągu $16$ godzin, drugi – w ciągu $10$ godzin, a trzeci – w ciągu $24$ godzin. Do wykonania tej pracy najpierw włączono na $2$ godziny tylko pierwszy automat, następnie drugi pracował sam przez $5$ godzin. Ile godzin musiał potem pracować trzeci automat, żeby dokończyć zleconą pracę?

$9$ godzin

W ciągu początkowych $2$ godzin pierwszy automat wykonał $2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$ całego zlecenia, a następnie drugi wykonał $5 \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$ tej pracy. Zatem trzeci miał do wykonania $1 - (\frac{1}{8} + \frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$ wszystkich detali. Skoro w ciągu $24$ godzin wykonałby on wszystkie zlecone detale, to dokończy zlecenie w ciągu $\frac{3}{8} \cdot 24 = 9$ godzin.

Ćwiczenie 4

Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty, pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu $4$ godzin. Gdyby pierwszy pracował samodzielnie przez $5$ godzin, to oba automaty, aby wykonać wymaganą liczbę detali, musiałyby pracować jeszcze przez $3$ godziny.
W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

Pierwszy automat – w ciągu $20$ godzin, drugi – w ciągu $5$ godzin.

W ciągu godziny, pracując razem, automaty te wykonują $\frac{1}{4}$ całej pracy, więc w ciągu $3$ godzin $\frac{3}{4}$ całej pracy. Zatem pierwszy automat w ciągu $5$ godzin ma do wykonania $\frac{1}{4}$ całej pracy, co oznacza, że wykona całą pracę w ciągu $20$ godzin. Wobec tego drugi automat w ciągu godziny wykonuje $\frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{1}{5}$ całej pracy, czyli całą pracę wykona w ciągu $5$ godzin.

Ćwiczenie 5

Pewna firma planowała wykonać w ciągu $12$ dni prace zbrojeniowe przy budowie wiaduktu drogowego, wykorzystując do tego celu dwa zespoły zbrojarzy: zespół $A$ i zespół $B$ . Po $3$ dniach od rozpoczęcia wspólnej pracy zespół $B$ został przeniesiony do pracy w innym miejscu, więc zespół $A$ dokończył tę pracę sam. W tych warunkach prace trwały dwa razy dłużej, niż planowano. W ciągu ilu dni każdy z tych zespołów robotników wykonałby samodzielnie zlecone prace zbrojeniowe?

Zespół $A$ – w ciągu $28$ dni, zespół $B$ – w ciągu $21$ dni.

W ciągu $3$ dni wspólnej pracy zespoły wykonały $3 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ całej pracy. Zatem zespół $A$ sam wykonał $\frac{3}{4}$ całej pracy w ciągu $21$ dni, więc w ciągu jednego dnia wykonywał $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{21} = \frac{1}{28}$ całej pracy, czyli całe zamówienie wykonałby samodzielnie w ciągu $28$ dni. Oznacza to, że zespół $B$ wykonywał w ciągu jednego dnia $\frac{1}{12} - \frac{1}{28} = \frac{1}{21}$ całej pracy, czyli całą tę pracę wykonałby samodzielnie w ciągu $21$ dni.

Ćwiczenie 6

Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu $5$ godzin. Gdyby najpierw przez $3$ godziny pracował tylko pierwszy automat, a następnie przez $6$ godzin pracował tylko drugi, to wykonałyby razem $70 %$ całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy z tych automatów wykonuje całą pracę?

Pierwszy automat – w ciągu $6$ godzin, drugi automat – w ciągu $30$ godzin.

sposób $I$
W ciągu godziny oba automaty wykonują razem $\frac{1}{5}$ całej pracy, zatem po 3 godzinach pracy pierwszego automatu i $3$ godzinach pracy drugiego z nich wykonane będzie $\frac{3}{5}$ całej pracy. Po kolejnych $3$ godzinach pracy drugiego automatu wykonane zostanie $\frac{7}{10}$ całej pracy, co oznacza, że w ciągu $3$ godzin wykonuje on $\frac{7}{10} - \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$ całej pracy. Wobec tego drugi automat wykonuje całą pracę w ciągu $30$ godzin, a więc pierwszy w ciągu godziny wykonuje $\frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{1}{6}$ całej pracy, czyli całą pracę wykona w ciągu $6$ godzin.
sposób $II$
Oznaczamy: przez $x$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat, przez $y$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat. Ponieważ w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje $\frac{1}{x}$ całej pracy, drugi – $\frac{1}{y}$ całej pracy, a razem wykonują całą pracę w ciągu $5$ godzin, to $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ , stąd $\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{x}$ . Po $3$ godzinach samodzielnej pracy pierwszego automatu i po $6$ godzinach samodzielnej pracy drugiego automatu wykonane zostanie $70 %$ całej pracy, zatem $\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{7}{10}$ . Oznacza to, że $\frac{3}{x} + 6 (\frac{1}{5} - \frac{1}{x}) = \frac{7}{10}$ . Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie $\frac{3}{x} = \frac{1}{2}$ , stąd $x = 6$ . Wobec tego $\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$ , czyli $y = 30$ .

Ćwiczenie 7

Dwa zespoły robotników, pracując wspólnie, wykonały pewną pracę. Aby wykonać tę pracę oddzielnie, pierwszy zespół musiałby pracować o $4$ godziny dłużej, a drugi $3,5$ raza dłużej niż wtedy, gdy pracowały razem. W jakim czasie każdy z tych zespołów może samodzielnie wykonać tę pracę?

Pierwszy zespół: $14$ godzin, drugi zespół: $35$ godzin.

Oznaczamy przez $x$ – czas (w godzinach), w którym oba zespoły razem wykonały pracę. Wtedy liczba godzin potrzebna pierwszemu zespołowi oraz drugiemu na wykonanie tej pracy to odpowiednio $x + 4$ oraz $3,5 x$ . Zatem w ciągu godziny: razem wykonają $\frac{1}{x}$ całej pracy, pierwszy wykona $\frac{1}{x + 4}$ całej pracy, a drugi wykona $\frac{1}{3,5 x}$ całej pracy. Otrzymujemy równanie $\frac{1}{x + 4} + \frac{2}{7 x} = \frac{1}{x}$ , stąd $\frac{5}{7 x} = \frac{1}{x + 4}$ , a więc $x = 10$ . Stąd $x + 4 = 14$ i $3,5 x = 35$ .

iYcmaHaJ3L_d5e581

Ćwiczenie 8

Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty, pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu $6$ godzin. Gdyby pracowały kolejno: najpierw pierwszy samodzielnie wykonałby połowę detali, a następnie drugi samodzielnie dokończyłby pracę, to wymaganą liczbę detali wykonałyby w ciągu $16$ godzin. W jakim czasie każdy z tych automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

Jeden z automatów – w ciągu $8$ godzin, drugi – w ciągu $24$ godzin.

Z treści zadania wynika, że suma godzin, w ciągu których każdy z automatów wykonuje całą pracę, jest równa $32$ . Oznaczamy przez $x$ liczbę godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykonanie całej pracy, wtedy liczba godzin potrzebnych drugiemu automatowi na wykonanie całej pracy to $32 - x$ . Zatem pierwszy automat wykonuje $\frac{1}{x}$ całej pracy w ciągu godziny, a drugi $\frac{1}{32 - x}$ . Otrzymujemy więc równanie $\frac{1}{x} + \frac{1}{32 - x} = \frac{1}{6}$ , stąd $6 \cdot (32 - x) + 6 \cdot x = x \cdot (32 - x)$ , a więc $x^{2} - 32 x + 192 = 0$ . Równanie to ma dwa rozwiązania: $x = 8$ lub $x = 24$ . Każde z rozwiązań spełnia warunki zadania.

Ćwiczenie 9

Do zbiornika o pojemności $840 m^{3}$ można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o $7 m^{3}$ wody więcej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika wodą tylko z pierwszej rury jest o $6$ godzin krótszy od czasu napełniania tego zbiornika wodą tylko z drugiej rury. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

W ciągu $13$ godzin i $20$ minut.

Oznaczamy przez $x$ czas, w jakim zbiornik zostanie napełniony, gdy woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą. Wtedy $x + 6$ to czas napełniania pustego zbiornika, gdy wodę doprowadza tylko druga rura. Pierwsza rura w ciągu godziny dostarcza do zbiornika $\frac{840}{x}$ mIndeks górny 3 wody, a więc druga dostarcza w ciągu godziny $(\frac{840}{x} - 7) m^{3}$ wody. Otrzymujemy więc równanie $(x + 6) (\frac{840}{x} - 7) = 840$ . Stąd $\frac{5040}{x} - 7 x - 42 = 0$ , a więc $x^{2} + 6 x - 720 = 0$ . Równanie to ma dwa rozwiązania: $x_{1} = - 30$ oraz $x_{2} = 24$ . Tylko drugie z nich spełnia warunki zadania. Wynika z tego, że pierwsza rura napełnia zbiornik wodą w ciągu $24$ godzin, czyli w ciągu godziny doprowadza do zbiornika $\frac{840}{24} = 35 m^{3}$ wody. Zatem druga rura w ciągu godziny doprowadza do zbiornika $35 - 7 = 28 m^{3}$ wody, więc razem doprowadzają w tym czasie $63 m^{3}$ wody. Oznacza to, że jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie, to pusty zbiornik zostanie napełniony w ciągu $\frac{840}{63} = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}$ godziny.

Ćwiczenie 10

Do zbiornika o pojemności $900 m^{3}$ można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o $7,5 m^{3}$ wody mniej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika wodą tylko z pierwszej rury jest o $20$ godzin dłuższy od czasu napełniania tego zbiornika wodą tylko z drugiej rury. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

W ciągu $24$ godzin.

Oznaczamy przez $x$ czas, w jakim zbiornik zostanie napełniony, gdy woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą. Wtedy $x - 20$ to czas napełniania pustego zbiornika, gdy wodę doprowadza tylko druga rura. Pierwsza rura w ciągu godziny dostarcza do zbiornika $\frac{900}{x} m^{3}$ wody, a więc druga dostarcza w ciągu godziny $(\frac{900}{x} + 7,5) m^{3}$ wody. Otrzymujemy więc równanie $(x - 20) (\frac{900}{x} + \frac{15}{2}) = 900$ . Stąd $\frac{15}{2} x - \frac{1800}{x} - 150 = 0$ , a więc $x^{2} - 20 x - 2400 = 0$ . Równanie to ma dwa rozwiązania: $x_{1} = - 40$ oraz $x_{2} = 60$ . Tylko drugie z nich spełnia warunki zadania. Wynika z tego, że pierwsza rura napełnia zbiornik wodą w ciągu $60$ godzin, czyli w ciągu godziny doprowadza do zbiornika $\frac{900}{60} = 15 m^{3}$ wody. Zatem druga rura w ciągu godziny doprowadza do zbiornika $15 + 7,5 = 22,5$ mIndeks górny 3 wody, więc razem doprowadzają w tym czasie $37,5 m^{3}$ wody. Oznacza to, że jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie, to pusty zbiornik zostanie napełniony w ciągu $\frac{900}{37,5} = 24$ godzin.

Ćwiczenie 11

Dwa różne automaty wykonują razem pewną pracę w ciągu $2$ godzin. Pierwszy automat, pracując samodzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o $3$ godziny mniej niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

Pierwszy w ciągu: $3 godzin,$ drugi w ciągu: $6 godzin$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}$ $x^{2} - x - 6 = 0$
$x = 4$ lub $x = 3$
liczba $-4$ nie spełnia warunków zadania.

Ćwiczenie 12

Dwa różne automaty mają wykonać pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez półtorej godziny, to aby dokończyć pracę oba automaty musiałyby pracować razem jeszcze przez $5,5$ godziny. Pierwszy automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o $3$ godziny dłuższym niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

Pierwszy: w ciągu $14$ godzin, drugi: w ciągu $11$ godzin.

Oznaczmy przez $x$ liczbę godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykonanie całej pracy. Wtedy liczba godzin potrzebnych drugiemu na wykonanie całej pracy to $x - 3$ . $\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x - 3}$ $\frac{3}{2} ∙ \frac{1}{x} + \frac{11}{2} ∙ (\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3}) = 1$ ${2 x}^{2} - 31 x + 42 = 0$ $x = \frac{3}{2}$ $x = 14$ $14$ $-$ $11$

Ćwiczenie 13

Dwa różne automaty wykonały pewną liczbę detali, przy czym pierwszy automat najpierw przez godzinę pracował sam, a następnie oba razem pracowały jeszcze przez pewien czas. Po trzech godzinach od momentu rozpoczęcia pracy pierwszego automatu wykonano $45 %$ całej pracy, a po jej zakończeniu okazało się, że każdy z automatów wykonał po tyle samo detali. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

$12$ godzin i $10$ godzin

Oznaczmy przez $x$ liczbę godzin potrzebnych drugiemu automatowi na wykonanie wszystkich detali. Z treści zadania wynika, że na wykonanie połowy detali pierwszy automat potrzebuje o godzinę więcej niż drugi. Zatem liczba godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykonanie całej pracy to $x + 2$ . $\frac{1}{x + 2}$ $\frac{1}{x}$ $\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} = \frac{9}{20}$ $9 x^{2} - 82 x + 80 = 0$ $x = - \frac{8}{9}$ $x = 10$ $12$ $-$ $10$

Ćwiczenie 14

Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko drugi. Pierwszy automat pracował wtedy $\frac{5}{6}$ tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o $8,5$ godziny krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby $\frac{3}{5}$ tej pracy, którą wykonałby wówczas drugi. W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?

Pierwszy automat – w ciągu $20$ godzin, drugi w ciągu $12$ godzin.

Oznaczmy:
przez $x$ – czas ( w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko $I$ automat.
przez $x$ – czas ( w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko $II$ automat.
Zatem w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje $\frac{1}{x}$ $\frac{1}{y}$ Z treści zadania wynika, że $y = \frac{3}{5} x$ $\frac{5}{6} y ∙ \frac{1}{x} = \frac{5}{6} ∙ \frac{3}{5} x ∙ \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} y$ $\frac{5}{6} y + \frac{1}{2} y = \frac{4}{3} y$ $(\frac{4}{3} y - \frac{17}{2}) (\frac{3}{5 y} + \frac{1}{y}) = 1$ $y = 12$ $x = 20$ $12$ $-$ $20$

Wyrażenia wymierne. Równania wymierne

Proporcjonalność odwrotna

Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych

Praca i czas potrzebny na jej wykonanie