W rozdziale o funkcjach omówione zostały zależności wprost proporcjonalne. Teraz zajmiemy się wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

Przykład 1

Szkoła przeznaczyła kwotę 270 zł na wydruk ulotek promocyjnych. Ceny proponowane za usługę wydruku tej samej ulotki w różnych drukarniach zebrano w tabeli.

Tabela. Dane

cena wydruku 1 ulotki (p) [zł]

0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,40
0,45
0,50

liczba ulotek (r) [szt]

2700
1800
1350
1080
900
675
600
540

Za każdym razem koszt wydruku wszystkich ulotek jest taki sam: pr=270.
Zauważmy, że im wyższa cena jednostkowa wydruku, tym mniej ulotek możemy wydrukować za podaną kwotę.

Przykład 2

Długość oddanej do użytku (do 2015 roku) autostrady A1 od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie) do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. 300 km. Czas potrzebny na przejazd tego odcinka jest uzależniony od średniej prędkości, z jaką porusza się pojazd. Zależności między tymi wielkościami przedstawia tabela.

Tabela. Dane

średnia prędkość (v) [km/h]

80
85
90
95
100
110
120
130

czas przejazdu (t) [h]

3,75

ok. 3,5

ok. 3,3

ok. 3,2

3

ok. 2,7

2,5

ok. 2,3

Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu (v), to czas przejazdu (t) jest coraz krótszy.

R1K9BIiSKqVTL1
Animacja prezentuje samochód poruszający się po drodze zaznaczonej na mapie Polski. Długość oddanej do użytku (do 2015 roku) autostrady A1 od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie) do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. 300 km. Czas przejazdu tego odcinka jest uzależniony od średniej prędkości v, z jaką porusza się pojazd. v =80 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t = 3,75 godziny, v =85 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,5 godziny, v =90 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,3 godziny, v =95 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,2 godziny, v =100 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t = 3 godziny, v =110 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 2,7 godziny, v =120 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t =2,5 godziny, v =130 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 2,3 godziny. Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu ( v), to czas przejazdu ( t) jest coraz krótszy.
Przykład 3

Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o bokach , y, których pole jest równe 12.

RGOyKRDCv1yG31
Animacja ilustruje w trzech krokach rozwiązanie przykładu. Dany jest prostokąt o bokach długości x oraz y. Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 12. Zmieniając długości boku x zmienia się długość boku y prostokąta, co ilustrowane jest odpowiednim prostokątem – zawsze o polu 12. Umieszczamy każdy z tych prostokątów w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych tak, aby dwa boki pokrywały się z osiami. Wierzchołki prostokątów nie leżące na osiach tworzą krzywą, która jest wykresem proporcjonalności odwrotnej x razy y =12. Funkcję zapisujemy wzorem y = 12 dzielone przez x.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Pola prostokątów są równe xy=12. Iloczyn jest stały, a zwiększenie długości jednego z boków powoduje proporcjonalne zmniejszenie długości drugiego boku.
Wielkości przedstawione w powyższych przykładach charakteryzują się tym, że wzrost jednej z nich powoduje takie zmniejszenie drugiej, że iloczyn tych wielkości pozostaje stały. O takich wielkościach będziemy mówić, że są odwrotnie proporcjonalne.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne
Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Mówimy, że dwie dodatnie wielkości xy są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.

Proporcjonalność odwrotna
Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Funkcja f opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi xy nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn xy=a nazywany jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Z faktu, że liczby xy są dodatnie, wynika, że współczynnik a także jest dodatni.
Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi xy możemy zapisać również w postaci y=ax .