Szkoła przeznaczyła kwotę $270\mathrm{ zł}$ na wydruk ulotek promocyjnych. Ceny proponowane za usługę wydruku tej samej ulotki w różnych drukarniach zebrano w tabeli.

Za każdym razem koszt wydruku wszystkich ulotek jest taki sam: $p\bullet r=270$.
Zauważmy, że im wyższa cena jednostkowa wydruku, tym mniej ulotek możemy wydrukować za podaną kwotę.

Długość oddanej do użytku (do $2015$ roku) autostrady $A1$ od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie) do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. $300\mathrm{ km}$. Czas potrzebny na przejazd tego odcinka jest uzależniony od średniej prędkości, z jaką porusza się pojazd. Zależności między tymi wielkościami przedstawia tabela.

Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu $\left(v\right)$, to czas przejazdu $\left(t\right)$ jest coraz krótszy.

R1K9BIiSKqVTL1

Animacja prezentuje samochód poruszający się po drodze zaznaczonej na mapie Polski. Długość oddanej do użytku (do 2015 roku) autostrady A1 od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie) do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. 300 km. Czas przejazdu tego odcinka jest uzależniony od średniej prędkości v, z jaką porusza się pojazd. v =80 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t = 3,75 godziny, v =85 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,5 godziny, v =90 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,3 godziny, v =95 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,2 godziny, v =100 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t = 3 godziny, v =110 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 2,7 godziny, v =120 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t =2,5 godziny, v =130 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 2,3 godziny. Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu ( v), to czas przejazdu ( t) jest coraz krótszy.

Animacja prezentuje samochód poruszający się po drodze zaznaczonej na mapie Polski. Długość oddanej do użytku (do 2015 roku) autostrady A1 od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie) do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. 300 km. Czas przejazdu tego odcinka jest uzależniony od średniej prędkości v, z jaką porusza się pojazd. v =80 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t = 3,75 godziny, v =85 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,5 godziny, v =90 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,3 godziny, v =95 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,2 godziny, v =100 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t = 3 godziny, v =110 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 2,7 godziny, v =120 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t =2,5 godziny, v =130 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 2,3 godziny. Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu ( v), to czas przejazdu ( t) jest coraz krótszy.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja prezentuje samochód poruszający się po drodze zaznaczonej na mapie Polski. Długość oddanej do użytku (do 2015 roku) autostrady A1 od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie) do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. 300 km. Czas przejazdu tego odcinka jest uzależniony od średniej prędkości v, z jaką porusza się pojazd. v =80 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t = 3,75 godziny, v =85 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,5 godziny, v =90 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,3 godziny, v =95 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 3,2 godziny, v =100 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t = 3 godziny, v =110 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 2,7 godziny, v =120 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t =2,5 godziny, v =130 kilometrów na godzinę, to czas przejazdu t około 2,3 godziny. Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu ( v), to czas przejazdu ( t) jest coraz krótszy.

Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o bokach $\mathrm{x },\mathrm{ y}$, których pole jest równe $12$.

RGOyKRDCv1yG31

Animacja ilustruje w trzech krokach rozwiązanie przykładu. Dany jest prostokąt o bokach długości x oraz y. Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 12. Zmieniając długości boku x zmienia się długość boku y prostokąta, co ilustrowane jest odpowiednim prostokątem – zawsze o polu 12. Umieszczamy każdy z tych prostokątów w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych tak, aby dwa boki pokrywały się z osiami. Wierzchołki prostokątów nie leżące na osiach tworzą krzywą, która jest wykresem proporcjonalności odwrotnej x razy y =12. Funkcję zapisujemy wzorem y = 12 dzielone przez x.

Animacja ilustruje w trzech krokach rozwiązanie przykładu. Dany jest prostokąt o bokach długości x oraz y. Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 12. Zmieniając długości boku x zmienia się długość boku y prostokąta, co ilustrowane jest odpowiednim prostokątem – zawsze o polu 12. Umieszczamy każdy z tych prostokątów w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych tak, aby dwa boki pokrywały się z osiami. Wierzchołki prostokątów nie leżące na osiach tworzą krzywą, która jest wykresem proporcjonalności odwrotnej x razy y =12. Funkcję zapisujemy wzorem y = 12 dzielone przez x.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DcN2NwaMD

Pola prostokątów są równe $x\bullet y=12$. Iloczyn jest stały, a zwiększenie długości jednego z boków powoduje proporcjonalne zmniejszenie długości drugiego boku.
Wielkości przedstawione w powyższych przykładach charakteryzują się tym, że wzrost jednej z nich powoduje takie zmniejszenie drugiej, że iloczyn tych wielkości pozostaje stały. O takich wielkościach będziemy mówić, że są odwrotnie proporcjonalne.

Mówimy, że dwie dodatnie wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.

Funkcja $f$ opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn $x\bullet y=a$ nazywany jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Z faktu, że liczby $x$ i $y$ są dodatnie, wynika, że współczynnik $a$ także jest dodatni.
Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ możemy zapisać również w postaci $y=\frac{a}{x}$ .