Obliczanie miejsca zerowego funkcji liniowej

sprowadza się do rozwiązania równania z niewiadomą $x$ postaci
$\mathrm{ax}+b=0$, dla ustalonych wartości współczynników $a$ i $b$. Takie równanie nazywamy równaniem liniowym.

1. Jeśli $a\ne 0$, to mamy $\mathrm{ax}=-b$, skąd $x=-\frac{b}{a}$. Wynika z tego, że każda funkcja liniowa $f\left(x\right)=\mathrm{ax}+b$, gdzie $a\ne 0$, ma dokładnie jedno miejsce zerowe $x_0=-\frac{b}{a}$. Korzystając z poznanych własności funkcji liniowej, zauważmy też, że dla $a\ne 0$ funkcja $f\left(x\right)=\mathrm{ax}+b$ nie jest stała (jest rosnąca dla $a>0$, malejąca dla $a<0$), zatem prosta będąca jej wykresem przecina oś $\mathrm{Ox}$ w dokładnie jednym punkcie $\left(-\frac{b}{a},0\right)$.

2. Jeśli $a=0$, to funkcja $f$ określona jest wzorem $f\left(x\right)=b$. Jest to funkcja stała.

• Gdy $a=0$ i $b\ne 0$, to równanie $f\left(x\right)=0$ jest sprzeczne, więc w tym przypadku funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych. Wykresem takiej funkcji liniowej jest prosta równoległa do prostej o równaniu $y=0$ i przecinająca oś $\mathrm{Oy}$ w punkcie $\left(0,b\right)$.

• Gdy $a=0$ i $b=0$, to funkcja $f$ jest tożsamościowo równa $0$, to znaczy, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartość zero. W tym przypadku funkcja $f$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji $f$.Wykres takiej funkcji liniowej pokrywa się z prostą o równaniu $y=0$.

Przykład 1

Rozwiążemy równania.

• $\frac{x+1}{2}-\frac{2x-5}{6}=\frac{3}{4}$

Przekształcamy równanie równoważnie. Najpierw mnożymy je obustronnie przez $12$

$6\left(x+1\right)-2\left(2x-5\right)=9.$

Stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy:

$6x+6-4x+10=9$

$2x=-7$

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=-\frac{7}{2}$.

• ${\left(x+2\right)}^2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

$x^2+4x+4=x^2-4.$

Po zredukowaniu $x^2$ otrzymujemy równanie liniowe:

$4x+4=-4$

$4x=-8$

$x=-2.$

Równanie ma zatem jedno rozwiązanie $x=-2$.

• $\left(x+3\right)\left(x-3\right)+2x={\left(x+1\right)}^2$

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

$x^2-9+2x=x^2+2x+1.$

Po zredukowaniu $x^2$ i $2x$ otrzymujemy równość sprzeczną

$0\bullet x=10.$

A zatem równanie nie ma rozwiązań.

• $3x^2+\left(x-1\right)\left(x+1\right)+10={\left(2x-3\right)}^2+12x$

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia:

$3x^2+x^2-1+10=4x^2-12x+9+12x.$

Po zredukowaniu otrzymujemy

$0\bullet x=0.$

Rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista $x$.

RJ89HTmugtbOP1

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x =-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x =-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x =-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.