Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

Obliczanie miejsca zerowego funkcji liniowej

fx=ax+b

sprowadza się do rozwiązania równania z niewiadomą x postaci
ax+b=0, dla ustalonych wartości współczynników ab. Takie równanie nazywamy równaniem liniowym.

  1. Jeśli a0, to mamy ax=-b, skąd x=-ba. Wynika z tego, że każda funkcja liniowa fx=ax+b, gdzie a0, ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0=-ba. Korzystając z poznanych własności funkcji liniowej, zauważmy też, że dla a0 funkcja fx=ax+b nie jest stała (jest rosnąca dla a>0, malejąca dla a<0), zatem prosta będąca jej wykresem przecina oś Ox w dokładnie jednym punkcie -ba,0.

  2. Jeśli a=0, to funkcja f określona jest wzorem fx=b. Jest to funkcja stała.

  • Gdy a=0b0, to równanie fx=0 jest sprzeczne, więc w tym przypadku funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych. Wykresem takiej funkcji liniowej jest prosta równoległa do prostej o równaniu y=0 i przecinająca oś Oy w punkcie 0,b.

  • Gdy a=0b=0, to funkcja f jest tożsamościowo równa 0, to znaczy, że dla każdej liczby rzeczywistej x przyjmuje wartość zero. W tym przypadku funkcja f ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji f.Wykres takiej funkcji liniowej pokrywa się z prostą o równaniu y=0.

Przykład 1

Rozwiążemy równania.

  • x+12-2x-56=34

Przekształcamy równanie równoważnie. Najpierw mnożymy je obustronnie przez 12

6x+1-22x-5=9.

Stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy:

6x+6-4x+10=9
2x=-7

Równanie ma jedno rozwiązanie x=-72.

  • x+22=x-2x+2

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

x2+4x+4=x2-4.

Po zredukowaniu x2 otrzymujemy równanie liniowe:

4x+4=-4
4x=-8
x=-2.

Równanie ma zatem jedno rozwiązanie x=-2.

  • x+3x-3+2x=x+12

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

x2-9+2x=x2+2x+1.

Po zredukowaniu x22x otrzymujemy równość sprzeczną

0x=10.

A zatem równanie nie ma rozwiązań.

  • 3x2+x-1x+1+10=2x-32+12x

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia:

3x2+x2-1+10=4x2-12x+9+12x.

Po zredukowaniu otrzymujemy

0x=0.

Rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista x.

RJ89HTmugtbOP1
Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x =-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida