Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Obliczanie miejsca zerowego funkcji liniowej

fx=ax+b

sprowadza się do rozwiązania równania z niewiadomą x postaci
ax+b=0, dla ustalonych wartości współczynników ab. Takie równanie nazywamy równaniem liniowym.

  1. Jeśli a0, to mamy ax=-b, skąd x=-ba. Wynika z tego, że każda funkcja liniowa fx=ax+b, gdzie a0, ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0=-ba. Korzystając z poznanych własności funkcji liniowej, zauważmy też, że dla a0 funkcja fx=ax+b nie jest stała (jest rosnąca dla a>0, malejąca dla a<0), zatem prosta będąca jej wykresem przecina oś Ox w dokładnie jednym punkcie -ba,0.

  2. Jeśli a=0, to funkcja f określona jest wzorem fx=b. Jest to funkcja stała.

  • Gdy a=0b0, to równanie fx=0 jest sprzeczne, więc w tym przypadku funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych. Wykresem takiej funkcji liniowej jest prosta równoległa do prostej o równaniu y=0 i przecinająca oś Oy w punkcie 0,b.

  • Gdy a=0b=0, to funkcja f jest tożsamościowo równa 0, to znaczy, że dla każdej liczby rzeczywistej x przyjmuje wartość zero. W tym przypadku funkcja f ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji f.Wykres takiej funkcji liniowej pokrywa się z prostą o równaniu y=0.

Przykład 1

Rozwiążemy równania.

  • x+12-2x-56=34

Przekształcamy równanie równoważnie. Najpierw mnożymy je obustronnie przez 12

6x+1-22x-5=9.

Stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy:

6x+6-4x+10=9
2x=-7

Równanie ma jedno rozwiązanie x=-72.

  • x+22=x-2x+2

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

x2+4x+4=x2-4.

Po zredukowaniu x2 otrzymujemy równanie liniowe:

4x+4=-4
4x=-8
x=-2.

Równanie ma zatem jedno rozwiązanie x=-2.

  • x+3x-3+2x=x+12

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

x2-9+2x=x2+2x+1.

Po zredukowaniu x22x otrzymujemy równość sprzeczną

0x=10.

A zatem równanie nie ma rozwiązań.

  • 3x2+x-1x+1+10=2x-32+12x

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia:

3x2+x2-1+10=4x2-12x+9+12x.

Po zredukowaniu otrzymujemy

0x=0.

Rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista x.

RJ89HTmugtbOP1
Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x =-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.