Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej

im3YqbtoOZ_d5e82

Ćwiczenie 1

Czy dana prosta jest wykresem funkcji?

Rfv482x1avtYN1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCbDXANfK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Już wiesz

W klasie pierwszej, w rozdziale poświęconym funkcji liniowej dowiedzieliśmy się, że:

prosta prostopadła do osi $Ox$ nie jest wykresem funkcji $f (x) = ax + b$
jeżeli na wykresie funkcji liniowej leżą dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , (gdzie $x_{A} \neq x_{B})$ , to współczynnik kierunkowy prostej, będącej wykresem funkcji jest równy

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}

natomiast wyraz wolny jest równy

b = y_{A} - a x_{A}

każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez punkt $A = (x_{A}, y_{A})$ ma równanie $y = ax + {(y}_{A} - a x_{A})$ , co zapisujemy w postaci

y = a (x - x_{A}) + y_{A}

każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ ma równanie

y = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A .}

classicmobile

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

RY2ZvEIxB3r1o

Prosta przechodząca przez punkty $A = (- 4, - 2)$ i $B = (- 3, - 1)$ ma równanie $y = x + 2$ . Tak.
Ponieważ $x_{A} \neq x_{B}$ , to prosta $AB$ jest wykresem funkcji liniowej. Równanie tej prostej można wyznaczyć, korzystając ze wzoru
$y = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A} .$ Po wstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ otrzymujemy
$y = \frac{- 2 + 1}{- 4 + 3} (x + 4) - 2$
czyli
$y = x + 2$
Uwaga. Zamiast wyznaczać równanie prostej, możemy sprawdzić, czy współrzędne punktów $A$ i $B$ spełniają podane równanie. Jeśli tak, to oznacza, że oba punkty leżą na tej prostej.
Punkty $A = (3, 6)$ i $B = (- 3, 6)$ leżą na prostej o równaniu $y = 6 .$ Tak.
Zauważmy, że drugie współrzędne obu punktów są równe $y_{A} = y_{B} = 6$ . Zatem prostą przechodzącą przez te punkty opisuje równanie $y = 6$ .
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $K = (3, - 2)$ i $L = (- 2, 1)$ jest równy $- \frac{2}{5}$ . Nie. Współczynnik kierunkowy $a = \frac{y_{K} - y_{L}}{x_{K} - x_{L}} = \frac{- 2 - 1}{3 + 2} = \frac{- 3}{5}$ .

Ćwiczenie 3

Dopasuj równanie prostej do odpowiedniego rysunku.

$y = 3$
$y = \frac{1}{2} x$
$y = - 1$
$y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}$
$y = 3 x + 2$
$y = - \frac{1}{5} x$
R9PGscu9cvhrj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RJbGxP5v9Lc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11rjdoe5Mlqs1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R47q0tsZDQfl21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R48Z3k9iHgMmH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6dkoVvkojc5e1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

im3YqbtoOZ_d5e287

Ćwiczenie 4

R1bbDEvYbrEvA1

Połącz w pary postać ogólną prostej z jej postacią kierunkową.

$- 3 x + y - 1 = 0$
$- 4 x + 12 y + 9 = 0$
$- 15 x + 3 y + 1 = 0$
$x - 7 y + 5 = 0$
$y = - x - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 5

Punkt $M = (1, - 4)$ leży na prostej o równaniu

RsYBt9K7sJ1VF

$y = - 3 x + 1$
$y = 3 x - 1$
$y = - 3 x - 1$
$y = 3 x + 1$

static

Ćwiczenie 5

Punkt $M = (1, - 4)$ leży na prostej o równaniu

R1H4I2I9nGDnF

$y = - 3 x + 1$
$y = 3 x - 1$
$y = - 3 x - 1$
$y = 3 x + 1$

Przykład 1

Zapisujemy równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (4, 2)$ i $B = (- 3, 1)$ .
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} = \frac{2 - 1}{4 + 3} = \frac{1}{7}

Równanie prostej możemy zapisać w postaci

y = \frac{1}{7} x + b

Współczynnik $b$ obliczymy, wstawiając do równania współrzędne dowolnego punktu należącego do tej prostej, np. $A = (4, 2)$

2 = \frac{1}{7} ∙ 4 + b,

więc $b = \frac{10}{7}$ . Wynika z tego, że równanie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ ma postać

y = \frac{1}{7} x + \frac{10}{7} .

RKxG50GaRsaHC1

Rysunek prostej y = jedna siódma x plus dziesięć siódmych w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że mnożąc obie strony równania prostej przez $7$ , otrzymamy inną postać tego równania:

7 y = x + 10 .

Po uporządkowaniu możemy zapisać

x - 7 y + 10 = 0 .

Jest to równanie tej samej prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ zapisane w postaci ogólnej.

Równanie ogólne prostej

Definicja: Równanie ogólne prostej

Równanie $Ax + By + C = 0$ , gdzie $A$ , $B$ i $C$ są liczbami rzeczywistymi oraz $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.

RxbCMyEPdZf7q1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

R144bb7CE9jwY1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

im3YqbtoOZ_d5e435

Przykład 2

Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty $A = (x_{A}, y_{A}) i B = (x_{B}, y_{B}),$ gdzie $x_{A} \neq x_{B} .$ Zauważmy, że korzystając ze wzoru

y = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A}

otrzymamy postać kierunkową prostej.
Możemy jednak przekształcić wzór tak, aby można było otrzymać również postać ogólną prostej.
Od obu stron równania odejmiemy wyrażenie

\frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A}

y - y_{A} - \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) = 0

Mnożymy obie strony przez

x_{A} - x_{B} (x_{A} - x_{B} \neq 0)

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

Zauważmy, że jeżeli $x_{A} = x_{B}$ , to otrzymany wzór opisuje prostą równoległą do osi $Oy$ , przechodzącą przez punkty $A$ i $B$ . Ponieważ $(x_{A}, y_{A}) \neq (x_{B}, y_{B})$ i $x_{A} = x_{B}$ , to $y_{A} \neq y_{B}$ . Wówczas mamy

(y - y_{A}) ∙ 0 - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0 / : (y_{A} - y_{B})

x - x_{A} = 0

x = x_{A}

Zapamiętaj!

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ ma postać

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

Przykład 3

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (- 3, 4)$ i $B = (2, - 1) .$

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do wzoru

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

otrzymamy $x - (- 3)$

(y - 4) (- 3 - 2) - ⌈4 - (- 1)⌉ [x - (- 3)] = 0

- 5 (y - 4) - 5 (x + 3) = 0

- 5 y + 20 - 5 x - 15 = 0

Po uporządkowaniu

- 5 x - 5 y + 5 = 0 / : (- 5)

x + y - 1 = 0

RYKEvwAHEoc6f1

Rysunek prostej x +y -1 =0 w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (5, 2)$ i $B = (5, - 3) .$

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do wzoru

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

otrzymamy

(y - 2) (5 - 5) - (2 + 3) (x - 5) = 0

0 ∙ (y - 2) - 5 (x - 5) = 0

Po uporządkowaniu otrzymaliśmy równanie prostej w postaci ogólnej

x - 5 = 0 .

RaqhJuroezYu01

Rysunek prostej x -5 =0 w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to prosta prostopadła do osi $Ox$ . Tej prostej nie można opisać równaniem w postaci kierunkowej, ponieważ nie jest ona wykresem funkcji liniowej.
Uwaga.
Równanie tej prostej wyznaczymy szybciej, jeśli zauważymy, że pierwsze współrzędne obu punktów są jednakowe i równe $5$ , a drugie są różne. Oznacza to, że równanie prostej przechodzącej przez te punkty ma postać $x = 5$ , czyli $x - 5 = 0$ .

Ćwiczenie 6

R1J4IvZPgTYob1

Połącz w pary proste z punktami przez nie przechodzącymi.

$- x + 3 y = 8$
$x + y = 1$
$- 2 x + 5 y = - 1$
$y = 2$
$x = 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Narysuj prostą o równaniu ogólnym $3 x - y + 2 = 0$ .
Narysowanie tej prostej będzie łatwiejsze, jeśli zapiszemy ją w postaci kierunkowej: $y = 3 x + 2$ .
Z własności funkcji liniowej pamiętamy, że wykres funkcji $y = 3 x + 2$ przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, 2)$ , a współczynnik kierunkowy jest równy $3$ .

R1UUKm8BgFyrT1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 7

Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$

RnuXmEdmfobMo

przecina oś $Ox$ w punkcie $(- 5, 0)$
przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 2)$
przechodzi przez punkt $A = (2, 3)$

Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przecina oś $Ox$ w punkcie $(- 5,0)$ – Tak, po wstawieniu współrzędnych punktu do równania prostej otrzymujemy $- 2 x + 5 ∙ 0 - 10 = 0$ , czyli $x = - 5$ .
Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,2)$ – Tak, po wstawieniu współrzędnych punktu do równania prostej otrzymujemy $- 2 ∙ 0 + 5 y - 10 = 0,$ czyli $y = 2$ .
Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przechodzi przez punkt $A = (2,3)$ – Nie, po wstawieniu współrzędnych punktu do równania prostej otrzymujemy $- 2 ∙ 2 + 5 ∙ 3 - 10 = 0,$ czyli sprzeczność $1 = 0$ . Współrzędne punktu $A = (2,3)$ nie spełniają równania tej prostej.

im3YqbtoOZ_d5e636

Ćwiczenie 8

R1Gy9ZLJuIhLT1

Przeciągnij odpowiednie proste z dolnej sekcji do górnej.

proste pokryrywające się z prostą o równaniu $6 x + 2 y = 4$
proste pokrywające się z prostą o równaniu $100 x + 100 y = 100$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 9

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A = (30, 20)$ i $B = (40, 80)$ jest równy

RwiyhEpW567iv

$\frac{1}{6}$
$- 6$
$6$
$- \frac{1}{6}$

static

Ćwiczenie 9

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A = (30, 20)$ i $B = (40, 80)$ jest równy

R1GKKgG6m5c4m

$\frac{1}{6}$
$- 6$
$6$
$- \frac{1}{6}$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Punkty $M = (\sqrt{3}, \sqrt{2})$ i $N = (- \sqrt{3}, \sqrt{2})$ leżą na prostej o równaniu

RcY52SMvLeFlE

$y = \sqrt{2}$
$x = - \sqrt{3}$
$y = - \sqrt{2}$
$x = \sqrt{3}$

static

Ćwiczenie 10

Punkty $M = (\sqrt{3}, \sqrt{2})$ i $N = (- \sqrt{3}, \sqrt{2})$ leżą na prostej o równaniu

R7c5G6ggysHJk

$y = \sqrt{2}$
$x = - \sqrt{3}$
$y = - \sqrt{2}$
$x = \sqrt{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Równanie prostej $- 2 x + 4 y - 6 = 0$ można zapisać w postaci

RllgmLRREtRhw

$y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$
$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
$y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
$y = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

static

Ćwiczenie 11

Równanie prostej $- 2 x + 4 y - 6 = 0$ można zapisać w postaci

R7yvC5SqHB1ri

$y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$
$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
$y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
$y = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

im3YqbtoOZ_d5e822

classicmobile

Ćwiczenie 12

Punkt $M = (- 2, 2)$ leży na prostej o równaniu $3 x + By + 10 = 0$ . Wynika z tego, że

R1H0qtxJ6C2pa

$B = - 4$
$B = 4$
$B = 2$
$B = - 2$

static

Ćwiczenie 12

Punkt $M = (- 2, 2)$ leży na prostej o równaniu $3 x + By + 10 = 0$ . Wynika z tego, że

R1QEZDkvVRyQP

$B = - 4$
$B = 4$
$B = 2$
$B = - 2$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Punkt $K = (m + 1,1)$ leży na prostej o równaniu $- 20 x + 33 y + 127 = 0$ . Wynika z tego, że

RtVlHKqGOFKyJ

$m = - 3$
$m = 7$
$m = 3$
$m = - 7$

static

Ćwiczenie 13

Punkt $K = (m + 1,1)$ leży na prostej o równaniu $- 20 x + 33 y + 127 = 0$ . Wynika z tego, że

RtVvNHjXznX81

$m = - 3$
$m = 7$
$m = 3$
$m = - 7$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Prosta $m$ ma równanie $y = - \frac{2}{3} x + 2$ . Wskaż równanie, które nie jest równaniem prostej $m$ .

R1bhan9L1wnhE

$- 2 x - 3 y + 6 = 0$
$16 x + 24 y - 48 = 0$
$2 x + 3 y - 6 = 0$
$- 8 x + 12 y + 24 = 0$

static

Ćwiczenie 14

Prosta $m$ ma równanie $y = - \frac{2}{3} x + 2$ . Wskaż równanie, które nie jest równaniem prostej $m$ .

R14iIqMZC0a1W

$- 2 x - 3 y + 6 = 0$
$16 x + 24 y - 48 = 0$
$2 x + 3 y - 6 = 0$
$- 8 x + 12 y + 24 = 0$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Punkty $A = (- 1, 2)$ , $B = (3, 4)$ , $C = (- 1, 7)$ i $D = (- 5, 4)$ są wierzchołkami czworokąta $ABCD$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie o współrzędnych

R128R9gFjqzRj

$S = (- 1,4)$
$S = (3,2)$
$S = (- 5,7)$
$S = (- 3,7)$

static

Ćwiczenie 15

Punkty $A = (- 1, 2)$ , $B = (3, 4)$ , $C = (- 1, 7)$ i $D = (- 5, 4)$ są wierzchołkami czworokąta $ABCD$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie o współrzędnych

RUqPkt11ZewNv

$S = (- 1,4)$
$S = (3,2)$
$S = (- 5,7)$
$S = (- 3,7)$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Dany jest punkt $A = (2, - 1)$ oraz prosta $k$ o równaniu $y = 3 x - 4$ . Na prostej $k$ leży taki punkt $B$ , że prosta $AB$ jest prostopadła do osi $Ox$ układu współrzędnych. Współrzędne punktu $B$ są równe

R6vSlEOdWA20k

$B = (- 4, - 1)$
$B = (3, - 1)$
$B = (2,2)$
$B = (2, - 2)$

static

Ćwiczenie 16

R13rmwy7SxNX4

$B = (- 4, - 1)$
$B = (3, - 1)$
$B = (2,2)$
$B = (2, - 2)$

classicmobile

Ćwiczenie 17

Punkty $A = (0, 0)$ , $B = (0, 150)$ , $C = (50, 50)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$ . Boki $AC$ i $BC$ są zawarte w prostych o równaniach

R1GYdA1P3debo

$AC : y = - x$ , $BC : y = - 2 x + 150$
$A C : y = x$ , $BC : y = - 2 x + 150$
$AC : y = - x$ , $BC : y = 2 x + 150$
$AC : y = x$ , $BC : y = 2 x + 150$

static

Ćwiczenie 17

Punkty $A = (0, 0)$ , $B = (0, 150)$ , $C = (50, 50)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$ . Boki $AC$ i $BC$ są zawarte w prostych o równaniach

R16TUNc8CkmpP

$AC : y = - x$ , $BC : y = - 2 x + 150$
$A C : y = x$ , $BC : y = - 2 x + 150$
$AC : y = - x$ , $BC : y = 2 x + 150$
$AC : y = x$ , $BC : y = 2 x + 150$

classicmobile

Ćwiczenie 18

Punkty $A = (- 1, 2)$ , $B = (3, 4)$ , $C = (- 1, 7)$ i $D = (- 5, 4)$ są wierzchołkami czworokąta $ABCD$ . Przekątne $AC$ i $BD$ zawierają się w prostych o równaniach

RLvFiYO6hihhU

$AC : x + 1 = 0$ , $BD : y - 4 = 0$
$AC : x - 1 = 0$ , $BD : y + 4 = 0$
$AC : x + 1 = 0$ , $BD : y + 4 = 0$
$AC : x - 1 = 0$ , $BD : y - 4 = 0$

static

Ćwiczenie 18

Punkty $A = (- 1, 2)$ , $B = (3, 4)$ , $C = (- 1, 7)$ i $D = (- 5, 4)$ są wierzchołkami czworokąta $ABCD$ . Przekątne $AC$ i $BD$ zawierają się w prostych o równaniach

RzaCUL1scZWya

$AC : x + 1 = 0$ , $BD : y - 4 = 0$
$AC : x - 1 = 0$ , $BD : y + 4 = 0$
$AC : x + 1 = 0$ , $BD : y + 4 = 0$
$AC : x - 1 = 0$ , $BD : y - 4 = 0$

Ćwiczenie 19

Wyznacz równanie prostej w postaci ogólnej, która przechodzi przez punkty

$A = (0,0)$ i $B = (- 4,1)$
$A = (2,4)$ i $B = (- 2, - 3)$
$A = (- 5,2)$ i $B = (- 5, - 6)$
$A = (124,48)$ i $B = (- 124, - 48)$
$A = (\sqrt{3}, 3 \sqrt{3})$ i $B = (5 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3})$

$x + 4 y = 0$
$- 7 x + 4 y - 2 = 0$
$x + 5 = 0$
$- 12 x + 31 y = 0$
$x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0$

Ćwiczenie 20

Wyznacz współrzędne punktu $M$ , w którym przecinają się proste o równaniach

$m : - 2 x + 5 y - 12 = 0$ i $k : x + 3 y - 5 = 0$
$m : - 2 x + 3 y + 1 = 0$ i $k : x - 5 = 0$
$m : - x + 3 y - 6 = 0$ i $k : 2 x + y - 2 = 0$
$m : x + 4 y + 23 = 0$ i $k : 3 x - 2 y - 1 = 0$

$M = (- 1,2)$
$M = (5,3)$
$M = (0,2)$
$M = (- 3, - 5)$

Ćwiczenie 21

Boki trójkąta $ABC$ zawierają się w prostych $AC$ , $AB$ i $BC$ . Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta, jeśli

$AB : y + 4 = 0, AC : 5 x + 3 y - 8 = 0$ oraz $BC : x - y = 0$
$AB : x + y + 2 = 0, AC : - 3 x + 2 y + 9 = 0$ oraz $BC : - x + 9 y - 22 = 0$
$AB : - x + 2 y - 10 = 0, AC : x - 4 = 0$ oraz $BC : y - 3 = 0$

$A = (4, - 4)$ , $B = (- 4, - 4)$ , $C = (1,1)$
$A = (1, - 3)$ , $B = (- 4,2)$ , $C = (5,3)$
$A = (4,7)$ , $B = (- 4,3)$ , $C = (4,3)$

Ćwiczenie 22

Wyznacz równania przekątnych czworokąta o wierzchołkach w punktach: $A = (- 4, - 2)$ , $B = (5, - 5)$ , $C = (4,2)$ i $D = (- 2,4)$ . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta $ABCD$ .

równania przekątnych: $AC : x - 2 y = 0$ , $BD : 9 x + 7 y - 10 = 0$
punkt przecięcia przekątnych: $S = (\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$

Ćwiczenie 23

Wyznacz wszystkie wartości $m$ , tak aby prosta

$3 x - (m - 1) y + 3 = 0$ przechodziła przez punkt $K = (- 5,4)$
$3 (m + 3) x + (m + 4) y + 5 = 0$ była prostopadła do osi $Ox$
$(m^{2} - 25) x - 2 (m - 2) y - 1 = 0$ była prostopadła do osi $Oy$

$m = - 2$
$m = - 4$
$m = - 5$ lub $m = 5$

Ćwiczenie 24

Uzasadnij, że nie istnieje wartość $m$ , dla której prosta $(m^{2} - 9) x + (m - 3) y + m + 3 = 0$ jest prostopadła do osi $Ox$ .

Gdyby była taka wartość $m$ , dla której prosta byłaby prostopadła do osi $Ox$ , to wówczas jej współczynnik przy $y$ byłby równy $0$ , a więc $m - 3 = 0$ , czyli $m = 3$ . Wtedy jednak współczynnik przy $x$ też byłby równy $0$ , co jest niemożliwe, gdyż oba te współczynniki nie mogą być jednocześnie równe $0$ .

Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych

Proste równoległe, proste prostopadłe

Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej