Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej
Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych
W klasie pierwszej omówiliśmy podstawowe własności figur płaskich. Teraz pokażemy, że umieszczenie takich figur w układzie współrzędnych stwarza możliwość opisania ich za pomocą równań.
Przykład 1
Oblicz pole prostokąta .
R16XGF66NYRyv1
Animacja
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iSebwrX2DD_d5e138
Przykład 4
Punkty i są trzema wierzchołkami równoległoboku. Umieść punkt tak, aby zbudować równoległobok .
RW1fanMYb8cJs1
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym zaznaczone są punkty A, B, C o podanych współrzędnych oraz punkt D. Należy tak ustawiać punkt D, aby był on wierzchołkiem równoległoboku A B C D. Położenie punktów A, B, C zmienia się.
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym zaznaczone są punkty A, B, C o podanych współrzędnych oraz punkt D. Należy tak ustawiać punkt D, aby był on wierzchołkiem równoległoboku A B C D. Położenie punktów A, B, C zmienia się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5
Dany jest trójkąt . Umieść odcinek tak, aby był wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka .
R18GulvnXARpV1
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym znajduje się trójkąt A B C oraz odcinek h. Należy tak ustawić odcinek h, aby był wysokością trójkąta A B C poprowadzoną z wierzchołka A. Położenie punktów A, B, C zmienia się.
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym znajduje się trójkąt A B C oraz odcinek h. Należy tak ustawić odcinek h, aby był wysokością trójkąta A B C poprowadzoną z wierzchołka A. Położenie punktów A, B, C zmienia się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6
Dany jest trójkąt . Umieść dane odcinki tak, aby były środkowymi tego trójkąta.
RBUd8EYj3xOay1
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym znajduje się trójkąt A B C oraz trzy odcinki. Należy tak ustawić te odcinki, aby były środkowymi trójkąta A B C. Wskazówka: środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Położenie punktów A, B, C zmienia się.
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym znajduje się trójkąt A B C oraz trzy odcinki. Należy tak ustawić te odcinki, aby były środkowymi trójkąta A B C. Wskazówka: środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Położenie punktów A, B, C zmienia się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7
Umieść punkty i tak, aby punkty i były środkami boków utworzonego trójkąta .
R138VyMq58apX1
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym zaznaczone są punkty S z indeksem dolnym jeden, S z indeksem dolnym dwa, S z indeksem dolnym trzy oraz punkty A, B, C. Należy tak ustawić punkty A, B, C, aby punkty S z indeksem dolnym jeden, S z indeksem dolnym dwa, S z indeksem dolnym trzy były środkami boków trójkąta A B C. Wskazówka: odcinek łączący środki boków trójkąta jest równoległy do jednego z boków i równy połowie długości tego boku. Położenie punktów S z indeksem dolnym jeden, S z indeksem dolnym dwa, S z indeksem dolnym trzy zmienia się.
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym zaznaczone są punkty S z indeksem dolnym jeden, S z indeksem dolnym dwa, S z indeksem dolnym trzy oraz punkty A, B, C. Należy tak ustawić punkty A, B, C, aby punkty S z indeksem dolnym jeden, S z indeksem dolnym dwa, S z indeksem dolnym trzy były środkami boków trójkąta A B C. Wskazówka: odcinek łączący środki boków trójkąta jest równoległy do jednego z boków i równy połowie długości tego boku. Położenie punktów S z indeksem dolnym jeden, S z indeksem dolnym dwa, S z indeksem dolnym trzy zmienia się.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iSebwrX2DD_d5e216
Przykład 8
Umieść punkt tak, aby pole trójkąta było równe .
R14FgrWcQ1etO1
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym znajduje się odcinek AB oraz prosta k. Punkt C leży na prostej k. Należy tak ustawiać punkt C, aby powstawał trójkąt A B C o podanych, różnych polach powierzchni.
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym znajduje się odcinek AB oraz prosta k. Punkt C leży na prostej k. Należy tak ustawiać punkt C, aby powstawał trójkąt A B C o podanych, różnych polach powierzchni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 9
Odcinek jest bokiem, a jest punktem przecięcia wysokości (ortocentrum) trójkąta . Wyznacz wierzchołek trójkąta .
RFL5y4JD9aR5c1
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym znajduje się odcinek AB, punkt C oraz punkt S. Należy tak ustawiać punkt C, aby wysokości trójkąta A B C przecinały się w punkcie S. Położenie punktów A, B, S zmienia się.
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym znajduje się odcinek AB, punkt C oraz punkt S. Należy tak ustawiać punkt C, aby wysokości trójkąta A B C przecinały się w punkcie S. Położenie punktów A, B, S zmienia się.