Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania.
Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb w miejsce liter i wykonaniu wskazanych działań.
W przypadku równań także można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych. Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.
Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.
Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.
Rozwiązać równanie – to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając o tym, że
do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.
Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia z przeciwnym znakiem na drugą stronę równania.
Np. aby rozwiązać równanie: przenosimy z przeciwnym znakiem
na lewą stronę równania
na prawą stronę równania
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba .
Równanie z jedną niewiadomą
Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.
Rozwiąż równania
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie: brak rozwiązania
Znajdź pierwiastek rozwiązania.
Pierwiastek rozwiązania: np.:
Pierwiastek rozwiązania:
Równania, które nie mają rozwiązania:
,
Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:
,
Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.
Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy równaniem tożsamościowym.
Liczba rozwiązań równania.
Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:
nie mieć rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.
Połącz równanie z jego rozwiązaniem.
<span aria-label="z, równa się, trzy z, minus, cztery" role="math"><math><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden" role="math"><math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="trzy x, plus, dwa, równa się, pięć" role="math"><math><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>5</mn></math></span>, <span aria-label="dwa y, równa się, y, minus, jeden" role="math"><math><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="dwa x, równa się, minus, cztery" role="math"><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="z, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero" role="math"><math><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>
Liczbą spełniającą równanie jest
Liczbą spełniającą równanie jest
Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.
Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę .
Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.
2x−1=2x+1, 0∙x=13, −2(4−x)=2x−8,, −x+4=−x, <span aria-label="zero, razy, z, równa się, zero" role="math"><math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>, x+3=3, <span aria-label="pięć, razy, x, równa się, minus, pięć" role="math"><math><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn></math></span>, <span aria-label="x indeks górny, trzy, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>64</mn></math></span>, <span aria-label="x indeks górny, dwa, równa się, minus, szesnaście" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>16</mn></math></span>, x=x, 2x+3=3+2x, <span aria-label="x indeks górny, dwa, równa się, zero" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>
Brak rozwiązań | |
---|---|
Jedno rozwiązanie | |
Nieskończenie wiele rozwiązań |
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Które z podanych równań jest sprzeczne?
Które z podanych równań jest sprzeczne?
Które z podanych równań są tożsamościowe?
Wstaw takie wyrażenie algebraiczne w miejsce , aby równanie
miało jedno rozwiązanie
nie miało rozwiązania
miało nieskończenie wiele rozwiązań
Podaj wszystkie liczby, które spełniają równanie.
Uzasadnij, że równanie nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?