Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb w miejsce liter i wykonaniu wskazanych działań.
W przypadku równań także można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych. Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład 1
R1ZGzQA5pGYGN1
Animacja
Liczba spełniająca dane równanie
Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania
Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne
Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład 2
RupkdiwdEiADH1
Animacja
Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie – to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając o tym, że

  • do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,

  • obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 3
R1c9pRjO0d98i1
Animacja
Przykład 4
R4Hvdj1eDHbUV1
Animacja
Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia z przeciwnym znakiem na drugą stronę równania.
Np. aby rozwiązać równanie: 2x-5=x+1, przenosimy z przeciwnym znakiem

  • x na lewą stronę równania

2x-x-5=1
  • -5 na prawą stronę równania

2x-x=1+5
x=6

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba 6.

RJ89HTmugtbOP1
Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x =-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.
i6rXaDAENV_d5e553

Równanie z jedną niewiadomą

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania
Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład 5

Rozwiąż równania

  • x2=25
    Rozwiązanie: x=5,x=-5

  • x3=0 
    Rozwiązanie: x=0

  • x2=-4
    Rozwiązanie: brak rozwiązania

Przykład 6

Znajdź pierwiastek rozwiązania.

  • 2a+b=5
    Pierwiastek rozwiązania: np.: a=1, b=3

  • x2+y2=0
    Pierwiastek rozwiązania: a=0, b=0

Przykład 7
  • Równania, które nie mają rozwiązania:

x+2=x, x2=-25

  • Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

2x-2x+2x=2x, 0x=0

Równanie sprzeczne
Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe
Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.
Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:

  • nie mieć rozwiązania,

  • mieć dokładnie jedno rozwiązanie,

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

i6rXaDAENV_d5e843
A
Ćwiczenie 1
RqYHozV72SiRA1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2

Liczbą spełniającą równanie 2x-1+2=4x+14 jest

RmbIWTF3hm1QW
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Liczbą spełniającą równanie xx+1x2+1=3x2+1 jest

R14zaTWS9uYVe
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.

R1GNYc6uxBdIY
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę -23.

Ru7SxUQIGOmf1
static
A
Ćwiczenie 6
R1C4TgGioRgZN1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1E2MAulNkcri
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Które z podanych równań jest sprzeczne?

R1JRrmZivI4aJ
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Które z podanych równań jest sprzeczne?

R1Moj9BPmaoek
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Które z podanych równań są tożsamościowe?

RcejPGdhMxvFr
static
i6rXaDAENV_d5e1404
A
Ćwiczenie 11
R138XECs9A5CZ1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 12
RmtgHmIR61xht1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 13
RqSzjXIaKXNOi1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 14

Wstaw takie wyrażenie algebraiczne w miejsce , aby równanie 3x-1=x+

  1. miało jedno rozwiązanie

  2. nie miało rozwiązania

  3. miało nieskończenie wiele rozwiązań

C
Ćwiczenie 15

Podaj wszystkie liczby, które spełniają równanie.

  1. a3=-8

  2. z2=100

  3. x3=64

  4. x2x-3=0

  5. x2-9x2-25=0

  6. x2x-4x+5=0

  7. y3-1y3-27=0

B
Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że równanie x=x nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida