Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb w miejsce liter i wykonaniu wskazanych działań.
W przypadku równań także można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych. Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład 1

R1ZGzQA5pGYGN1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Liczba spełniająca dane równanie

Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania

Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład 2

RupkdiwdEiADH1

Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie – to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając o tym, że

do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 3

R1c9pRjO0d98i1

Przykład 4

R4Hvdj1eDHbUV1

Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia z przeciwnym znakiem na drugą stronę równania.
Np. aby rozwiązać równanie: $2 x - 5 = x + 1,$ przenosimy z przeciwnym znakiem

$x$ na lewą stronę równania

2 x - x - 5 = 1

$- 5$ na prawą stronę równania

2 x - x = 1 + 5

x = 6

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba $6$ .

RJ89HTmugtbOP1

i6rXaDAENV_d5e553

Równanie z jedną niewiadomą

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania

Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład 5

Rozwiąż równania

$x^{2} = 25$
Rozwiązanie: $x = 5, x = - 5$
$x^{3} = 0$
Rozwiązanie: $x = 0$
$x^{2} = - 4$
Rozwiązanie: brak rozwiązania

Przykład 6

Znajdź pierwiastek rozwiązania.

$2 a + b = 5$
Pierwiastek rozwiązania: np.: $a = 1, b = 3$
$x^{2} + y^{2} = 0$
Pierwiastek rozwiązania: $a = 0, b = 0$

Przykład 7

Równania, które nie mają rozwiązania:

$x + 2 = x$ , $x^{2} = - 25$

Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

$2 x - 2 x + 2 x = 2 x$ , $0 ∙ x = 0$

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe

Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.
Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:

nie mieć rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

i6rXaDAENV_d5e843

Ćwiczenie 1

RqYHozV72SiRA1

Połącz równanie z jego rozwiązaniem.

$1$
$- 1$
$2$
$- 2$
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$1 \frac{1}{2}$
$- 1 \frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 2

Liczbą spełniającą równanie $2 (x - 1) + 2 = 4 x + 14$ jest

RmbIWTF3hm1QW

$- 7$
$7$
$6 \frac{1}{2}$
$\frac{1}{7}$

static

Ćwiczenie 2

Liczbą spełniającą równanie $2 (x - 1) + 2 = 4 x + 14$ jest

R1OpjpmBg5zsm

$- 7$
$7$
$6 \frac{1}{2}$
$\frac{1}{7}$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Liczbą spełniającą równanie $x (x + 1) (x^{2} + 1) = 3 x^{2} + 1$ jest

R14zaTWS9uYVe

$- 1$
$1$
$2$
$- \frac{1}{3}$

static

Ćwiczenie 3

Liczbą spełniającą równanie $x (x + 1) (x^{2} + 1) = 3 x^{2} + 1$ jest

RCVHlx47Ai9OH

$- 1$
$1$
$2$
$- \frac{1}{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.

R1GNYc6uxBdIY

$- 3 (x + 2) + 4 = 6 - x,$ $x = - 4$
$- (- 8 x + 7) = 4 (x + 3) - 3,$ $x = 4$
$2 (x - 2) - 3 (x + 2) = 4 (x - 4),$ $x = - 1$
$\frac{1}{2} x - \frac{2 - x}{3} = x - \frac{1}{6},$ $x = 3$
$(2 x - \frac{1}{2}) (3 x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + x (4 x - \frac{1}{2}),$ $x = 1$

static

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.

R1B10a2Q2gG2A

$- 3 (x + 2) + 4 = 6 - x,$ $x = - 4$
$- (- 8 x + 7) = 4 (x + 3) - 3,$ $x = 4$
$2 (x - 2) - 3 (x + 2) = 4 (x - 4),$ $x = - 1$
$\frac{1}{2} x - \frac{2 - x}{3} = x - \frac{1}{6},$ $x = 3$
$(2 x - \frac{1}{2}) (3 x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + x (4 x - \frac{1}{2}),$ $x = 1$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę $- \frac{2}{3}$ .

Ru7SxUQIGOmf1

$2 (3 x + 1) = - 1 + 4 x$
$1 + x = \frac{x + 2}{4}$
$6 x (x + 1) = - 4 (\frac{1}{2} x + \frac{2}{3})$

static

Ćwiczenie 5

Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę $- \frac{2}{3}$ .

R1PBnkCSdxEAi

$2 (3 x + 1) = - 1 + 4 x$
$1 + x = \frac{x + 2}{4}$
$6 x (x + 1) = - 4 (\frac{1}{2} x + \frac{2}{3})$

Ćwiczenie 6

R1C4TgGioRgZN1

Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.

2x−1=2x+1, 0∙x=13, −2(4−x)=2x−8,, −x+4=−x, <math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>, x+3=3, <math><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn></math>, <math><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>64</mn></math>, <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>16</mn></math>, x=x, 2x+3=3+2x, <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Nieskończenie wiele rozwiązań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1E2MAulNkcri

Równanie $x^{2} = 0$ ma dwa rozwiązania.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} - 3 = 1$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $\frac{13}{x} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} = 81$ ma jedno rozwiązanie.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 3 + 2 x^{2}$ jest równaniem tożsamościowym.
Równanie $x^{2} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $a + 17 = 2 a + 17 - a$ jest równaniem tożsamościowym.
Równanie $x - 2 = 2 - x$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x = x + 11$ jest równaniem tożsamościowym.

static

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1RgHl5oWAQXh

Równanie $x^{2} = 0$ ma dwa rozwiązania.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} - 3 = 1$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $\frac{13}{x} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} = 81$ ma jedno rozwiązanie.

classicmobile

Ćwiczenie 8

Które z podanych równań jest sprzeczne?

R1JRrmZivI4aJ

$3 x - 1 = 3 x + 1$
$x - 10 = 10 - x$
$x^{2} + 2 = 0$
$2 x = - 2 x + 1$
$x + 4 = x$
$x + 9 = x + 9$

static

Ćwiczenie 8

Które z podanych równań jest sprzeczne?

R1BMUTwh6fJ0t

$3 x - 1 = 3 x + 1$
$x - 10 = 10 - x$
$x^{2} + 2 = 0$
$2 x = - 2 x + 1$
$x + 4 = x$
$x + 9 = x + 9$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Które z podanych równań jest sprzeczne?

R1Moj9BPmaoek

$- 6 x + 6 = - 6 x$
$x + x - 1 = 2 x - 1$
$x - 10 = x + 10$
$0 ∙ y = - 1$
$2 (x - 1) = 2 x - 1$

static

Ćwiczenie 9

Które z podanych równań jest sprzeczne?

RDiNN8G2tHqJi

$- 6 x + 6 = - 6 x$
$x + x - 1 = 2 x - 1$
$x - 10 = x + 10$
$0 ∙ y = - 1$
$2 (x - 1) = 2 x - 1$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Które z podanych równań są tożsamościowe?

RcejPGdhMxvFr

$2 x = 2 x$
$- (x - 7) = - x - 7$
$0 ∙ x = 0$
$4 (x + 2) = 4 x + 2$
$x^{2} + 1 = 1 + x^{2}$
$x + 6 = 6$
$- (x - 7) = 7 - x$
$x - 4 = 4 - x$
$4 (x + 2) = 4 x + 8$

static

Ćwiczenie 10

Które z podanych równań są tożsamościowe?

R1LVSPF5rkZXL

$2 x = 2 x$
$- (x - 7) = - x - 7$
$0 ∙ x = 0$
$4 (x + 2) = 4 x + 2$
$x^{2} + 1 = 1 + x^{2}$
$x + 6 = 6$
$- (x - 7) = 7 - x$
$x - 4 = 4 - x$
$4 (x + 2) = 4 x + 8$

i6rXaDAENV_d5e1404

Ćwiczenie 11

R138XECs9A5CZ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RmtgHmIR61xht1

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było sprzeczne? Przeciągnij i upuść.

x, -x, 9x, -2x, -3x, 6x

6x= ............ +1
4x+ ............ = x+ $\frac{1}{2}$
−4x+ ............ =−5x−5
2(x−3)=x+ ............
3( ............ −4)=−6x
2x−(6-7x)=2+ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

RqSzjXIaKXNOi1

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było tożsamościowe? Przeciągnij i upuść.

7x, 5x, −4x, 2x, $\frac{1}{4}$ x

3x=7x+ ............
12x−5x= ............
4(x− ............ )=3x
−x+6x−8= ............ −1−7
−5( ............ $- 1 \frac{3}{5}$ x)=−3x+x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Wstaw takie wyrażenie algebraiczne w miejsce $\dots$ , aby równanie $3 x - 1 = x + \dots$

miało jedno rozwiązanie
nie miało rozwiązania
miało nieskończenie wiele rozwiązań

np. $x + 7$
np. $2 x$
$2 x - 1$

Ćwiczenie 15

Podaj wszystkie liczby, które spełniają równanie.

$a^{3} = - 8$
$z^{2} = 100$
$x^{3} = 64$
$x^{2} (x - 3) = 0$
$(x^{2} - 9) (x^{2} - 25) = 0$
$x (2 x - 4) (x + 5) = 0$
$(y^{3} - 1) (y^{3} - 27) = 0$

$- 2$
$- 10, 10$
$4$
$0, 3$
$- 5, - 3, 3, 5$
$- 5, 0$ , $2$
$1, 3$

Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że równanie $|x| = x$ nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Rozwiązywanie równań

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania.

Równanie z jedną niewiadomą