Rozwiązywanie równań i nierówności - zadania

Materiał zawiera przykłady rozwiązywania równań i nierówności, również tych z wartością bezwzględną. Rozwiązując zamieszczone tu ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.

Aby rozwiązać równanie, należy znaleźć taką liczbę $x$ , która po podstawieniu do równania da po prawej i po lewej stronie równania taki sam wynik.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $5 x - x - 1 = 2 x + 5$ .

W pierwszej kolejności uprościmy lewą stronę równania.

5 x - x - 1 = 2 x + 5

4 x - 1 = 2 x + 5

Teraz wyrażenie $2 x$ przenosimy na drugą stronę równania, zmieniając znak na przeciwny.

4 x - 1 - 2 x = 5

2 x - 1 = 5

Wyrażenie $2 x$ zostawiamy po lewej stronie równania, a $- 1$ przenosimy na prawą stronę równania (zmieniając znak na przeciwny).

2 x = 5 + 1

2 x = 6

Dzielimy obie strony równania przez liczbę $2$ , żeby po lewej stronie otrzymać tylko $x$ .

x = 3

Otrzymujemy, że rozwiązaniem równania jest liczba $x = 3$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $|2 x - 5| = 3$ .

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, zapisujemy równanie w postaci alternatywy:

$2 x - 5 = 3$ lub $2 x - 5 = - 3$ .

Zatem

$2 x = 8$ lub $2 x = 2$

$x = 4$ lub $x = 1$ .

Pierwiastki tego równania to: $x = 4$ lub $x = 1$ .

Ważne!

Przy rozwiązywaniu nierówności postępujemy analogicznie jak w przypadku rozwiązywania równań, ale jeżeli mnożymy lub dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, to zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $x - 4 x + 3 > 9$ .

Postępujemy analogicznie jak w przykładzie 1.

- 3 x + 3 > 9

- 3 x > 9 - 3

- 3 x > 6

x < - 2

Rozwiązanie nierówności: $x \in (- \infty, - 2)$ .

RowkVyk8NqqAM1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16DXycsmrTDY1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBT3zRqfyh6l31

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VIZaaOqGiar21

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R133ZHW2gOtAr2

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5OQPkhRWJ0BT2

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCf66v4oh9BEK2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGVbpHTg5KWx52

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RL0cPvlIzRxKk2

Ćwiczenie 9

Rozwiąż nierówności, a następnie połącz w pary z rozwiązaniem.

2 (- \sqrt{3} x - 6) \leq 3 \sqrt{3} x + 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \geq - \frac{16 \sqrt{3}}{15}

, 2.

x > \frac{9 (8 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2})}{20}

, 3.

x > - \frac{\sqrt{2}}{2}

, 4.

x > \frac{13 \sqrt{5}}{15}

, 5.

x \geq - \frac{5 (\sqrt{21} + \sqrt{7})}{7}

, 6.

x \geq - \frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{2}

\sqrt{5} x - 6 > 7 - 2 \sqrt{5} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \geq - \frac{16 \sqrt{3}}{15}

, 2.

x > \frac{9 (8 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2})}{20}

, 3.

x > - \frac{\sqrt{2}}{2}

, 4.

x > \frac{13 \sqrt{5}}{15}

, 5.

x \geq - \frac{5 (\sqrt{21} + \sqrt{7})}{7}

, 6.

x \geq - \frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{2}

\sqrt{2} x + 6 < 7 + \sqrt{8} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \geq - \frac{16 \sqrt{3}}{15}

, 2.

x > \frac{9 (8 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2})}{20}

, 3.

x > - \frac{\sqrt{2}}{2}

, 4.

x > \frac{13 \sqrt{5}}{15}

, 5.

x \geq - \frac{5 (\sqrt{21} + \sqrt{7})}{7}

, 6.

x \geq - \frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{2}

\sqrt{6} x + 4 \leq 7 + \sqrt{12} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \geq - \frac{16 \sqrt{3}}{15}

, 2.

x > \frac{9 (8 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2})}{20}

, 3.

x > - \frac{\sqrt{2}}{2}

, 4.

x > \frac{13 \sqrt{5}}{15}

, 5.

x \geq - \frac{5 (\sqrt{21} + \sqrt{7})}{7}

, 6.

x \geq - \frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{2}

\sqrt{7} x - 3 \leq 7 + \sqrt{21} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \geq - \frac{16 \sqrt{3}}{15}

, 2.

x > \frac{9 (8 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2})}{20}

, 3.

x > - \frac{\sqrt{2}}{2}

, 4.

x > \frac{13 \sqrt{5}}{15}

, 5.

x \geq - \frac{5 (\sqrt{21} + \sqrt{7})}{7}

, 6.

x \geq - \frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{2} x + 7}{4} < \frac{2 \sqrt{3} x - 3}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \geq - \frac{16 \sqrt{3}}{15}

, 2.

x > \frac{9 (8 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2})}{20}

, 3.

x > - \frac{\sqrt{2}}{2}

, 4.

x > \frac{13 \sqrt{5}}{15}

, 5.

x \geq - \frac{5 (\sqrt{21} + \sqrt{7})}{7}

, 6.

x \geq - \frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1TLmkX35sTZ92

Ćwiczenie 10

Połącz przedziały z odpowiadającymi im warunkami.

x \geq \sqrt{13}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \infty, 2 \sqrt{2})

, 2.

(- \infty, - 3⟩ \cup (5, + \infty)

, 3.

⟨1 + \sqrt{3}, + \infty)

, 4.

⟨- 7, 8⟩

, 5.

⟨\sqrt{13}, + \infty)

, 6.

(3; \sqrt{7} ⟩

, 7.

⟨- 4, 10)

x < 2 \sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \infty, 2 \sqrt{2})

, 2.

(- \infty, - 3⟩ \cup (5, + \infty)

, 3.

⟨1 + \sqrt{3}, + \infty)

, 4.

⟨- 7, 8⟩

, 5.

⟨\sqrt{13}, + \infty)

, 6.

(3; \sqrt{7} ⟩

, 7.

⟨- 4, 10)

x \geq 1 + \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \infty, 2 \sqrt{2})

, 2.

(- \infty, - 3⟩ \cup (5, + \infty)

, 3.

⟨1 + \sqrt{3}, + \infty)

, 4.

⟨- 7, 8⟩

, 5.

⟨\sqrt{13}, + \infty)

, 6.

(3; \sqrt{7} ⟩

, 7.

⟨- 4, 10)

- 7 \leq x \leq 8

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \infty, 2 \sqrt{2})

, 2.

(- \infty, - 3⟩ \cup (5, + \infty)

, 3.

⟨1 + \sqrt{3}, + \infty)

, 4.

⟨- 7, 8⟩

, 5.

⟨\sqrt{13}, + \infty)

, 6.

(3; \sqrt{7} ⟩

, 7.

⟨- 4, 10)

3 < x \leq \sqrt{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \infty, 2 \sqrt{2})

, 2.

(- \infty, - 3⟩ \cup (5, + \infty)

, 3.

⟨1 + \sqrt{3}, + \infty)

, 4.

⟨- 7, 8⟩

, 5.

⟨\sqrt{13}, + \infty)

, 6.

(3; \sqrt{7} ⟩

, 7.

⟨- 4, 10)

x \leq - 3

lub

x > 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \infty, 2 \sqrt{2})

, 2.

(- \infty, - 3⟩ \cup (5, + \infty)

, 3.

⟨1 + \sqrt{3}, + \infty)

, 4.

⟨- 7, 8⟩

, 5.

⟨\sqrt{13}, + \infty)

, 6.

(3; \sqrt{7} ⟩

, 7.

⟨- 4, 10)

x \geq - 4

x < 10

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \infty, 2 \sqrt{2})

, 2.

(- \infty, - 3⟩ \cup (5, + \infty)

, 3.

⟨1 + \sqrt{3}, + \infty)

, 4.

⟨- 7, 8⟩

, 5.

⟨\sqrt{13}, + \infty)

, 6.

(3; \sqrt{7} ⟩

, 7.

⟨- 4, 10)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Zapisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich liczb, które należą do przedziału. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz odpowiednią liczbę bądź znak.

REQNbS3BG2cJT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJANJVyQpmQS7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwEk3HJNlJQdy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rf0X48y1Udwnp

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1K9viba6JzgS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2dndHz8C8mba

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJxpxzf9yv2nf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQ3ebLxq7Olb92

Ćwiczenie 12

Rozwiąż równania, przeciągnij i upuść wartości rozwiązań.

| x - 10 | = 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

| x + 55 | = 11

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|x + 5 \frac{3}{4}| = 3 \frac{1}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

2 | x - 4 | = 7

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

| 3 x - 5 | = 9

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

| 4 - x | = 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

| 5 + x | = \frac{7}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

| x - \sqrt{2} | = \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 44

, 2.

x = \frac{5}{6}

, 3.

x = 16

, 4.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 5.

x = 4

, 6.

x = 4 \frac{2}{3}

, 7.

x = \frac{1}{6}

, 8.

x = \frac{1}{2}

, 9.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 66

, 12.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 13.

x = - 9

, 14.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 15.

x = - 2

, 16.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 17.

x = 10

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Wyznacz liczby spełniające poniższe równania. Zaznacz poprawne odpowiedzi dla każdego równania.

ReAYsEOKlSLLi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXAuTj1WuHb8A

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhYslRezqYEHi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału wszystkie liczby spełniające podany układ warunków

$- 3 < x < 3$ i $x \geq \frac{3}{2}$ i $x < \sqrt{3}$ ,
$|x| > 5$ i $- 7 \leq x \leq 10$ .

RyC9PEz7ZhY8i

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisz w postaci przedziału wszystkie liczby spełniające podany układ warunków

$- 3 < x < 3$ i $x \geq \frac{3}{2}$ i $x < \sqrt{3}$ ,
$|x| > 5$ i $- 7 \leq x \leq 10$ .

$⟨\frac{3}{2}, \sqrt{3})$ ,
$⟨- 7, - 5) \cup (5, 10⟩$ .