Zadania o równoważeniu

Ćwiczenie 1

RXMdpmutLjKTI1

Uzupełnij.

a) $1 + 7 = 3 +$ ............
b) $7 +$ ............ $= 6 + 9 + 2$
c) $13 +$ ............ $= 11 + 19$
d) $15 + 31 = 26 +$ ............
e) $320 = 110 + 150 +$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązywanie równań z dodawaniem i odejmowaniem

Ćwiczenie 2

Zgadnij, jaka liczba jest niewiadomą $x$ .

$12 + x = 42$
$x + 36 = 45$
$65 - x = 11$
$x - 26 = 26$
$34 + x = 54$
$x + 23 = 46$
$83 - x = 43$
$x - 65 = 35$

$30$
$9$
$54$
$52$
$20$
$23$
$40$
$100$

Ćwiczenie 3

Jaka liczba jest niewiadomą $x$ ?

$67 + x = 82$
$x + 38 = 76$
$81 - x = 57$
$x - 43 = 38$
$68 + x = 94$
$x + 48 = 71$
$83 - x = 39$
$x - 67 = 15$

$15$
$38$
$24$
$81$
$26$
$23$
$44$
$82$

Ćwiczenie 4

Oblicz $x$ .

$120 + x = 82$
$x + 45 = 36$
$65 - x = 81$
$x - 26 = - 52$
$54 + x = 14$
$x + 79 = 49$
$83 - x = 100$
$x - 17 = - 35$

$- 38$
$- 9$
$- 16$
$- 26$
$- 40$
$- 30$
$- 17$
$- 18$

Ważne!

Obliczanie liczby ukrytej pod znakiem niewiadomej w równaniu nazywamy rozwiązywaniem równania. Tę liczbę nazywamy rozwiązaniem równania. Mówimy też, że otrzymana liczba spełnia równanie.
Na przykład:
Rozwiążmy równanie

x + 12 = 20

x = 20 - 12

x = 8

Możemy sprawdzić, czy dobrze rozwiązaliśmy równanie, wstawiając do równania $8$ za $x$ . Lewa strona równania $(L)$ powinna być równa prawej $(P)$ .
Sprawdzenie można zapisać na dwa sposoby:
$L = 8 + 12 = 20 = P$ lub

L = 8 + 12 = 20

P = 20

L = P

Zatem równanie jest rozwiązane poprawnie.

Ćwiczenie 5

Rozwiąż równanie i sprawdź poprawność jego rozwiązania.

$a + 34 = 56$
$19 + b = 68$
$43 - c = 0$
$d - 65 = 35$

$a = 22$
$b = 49$
$c = 43$
$d = 100$

iFDxu6AoVf_d5e394

Przykład 1

Rozwiążmy równanie

y - 23 = 60

y = 60 + 23

y = 83

Sprawdzenie

L = 83 - 23 = 60 = P

L = P

Rozwiążmy równanie

34 - w = 15

w = 34 - 15

w = 19

Sprawdzenie

L = 34 - 19 = 15 = P

L = P

Rk2q5ZmWHLvAk

Ćwiczenie 6

y - 67 = 60

y = 60

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

y =

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

Sprawdzenie:

L =

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

- 67 =

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

= P

z + 54 = 79

z = 79

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

z =

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

Sprawdzenie:

L =

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

+ 54 =

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

= P

75 - w = 22

w = 75

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

w =

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

Sprawdzenie:

L = 75 -

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

=

25

, 2.

25

, 3.

67

, 4.

60

, 5.

22

, 6.

22

, 7.

+

, 8.

-

, 9.

-

, 10.

127

, 11.

54

, 12.

127

, 13.

43

, 14.

79

, 15.

26

, 16.

67

, 17.

53

, 18.

53

, 19.

137

= P

Przeciągnij i upuść liczby lub symbole działań.

$22$ , $25$ , $137$ , $25$ , $54$ , $60$ , $79$ , $53$ , $127$ , $43$ , $127$ , $26$ , $-$ , $-$ , $22$ , $67$ , $53$ , $+$ , $67$

a) $y - 67 = 60$
$y = 60$ ............ ............
$y =$ ............
Sprawdzenie:
$L =$ ............ $- 67 =$ ............ $= P$

b) $z + 54 = 79$
$z = 79$ ............ ............
$z =$ ............
Sprawdzenie:
$L =$ ............ $+ 54 =$ ............ $= P$

c) $75 - w = 22$
$w = 75$ ............ ............
$w =$ ............
Sprawdzenie:
$L = 75 -$ ............ $=$ ............ $= P$

Ćwiczenie 7

Rozwiąż równanie. Sprawdź, czy twoje rozwiązanie jest prawidłowe.

$x - 47 = 49$
$x - 39 = 18$
$x - 12 = 120$
$x - 32 = 200$
$x + 47 = 96$
$x + 39 = 57$
$x + 12 = 132$
$x + 32 = 232$
$96 - x = 47$
$57 - x = 39$
$132 - x = 17$
$221 - x = 32$

$96$
$57$
$132$
$232$
$49$
$18$
$120$
$200$
$49$
$18$
$115$
$189$

Rozwiązywanie równań z mnożeniem i dzieleniem

Ćwiczenie 8

Ułóż równanie odpowiadające treści zadania, a następnie rozwiąż je.

Liczba trzy razy większa od pewnej liczby wynosi $24$ . O jakiej liczbie mowa?
Jedna czwarta pewnej liczby wynosi $16$ . O jakiej liczbie mowa?
Liczba dwa razy mniejsza od pewnej liczby wynosi $49$ . O jakiej liczbie mowa?
Jeżeli pewną liczbę pomnożymy przez $\frac{3}{4}$ , otrzymamy $12$ . Jaka liczba ma tę własność?
Liczba $18$ jest trzy razy większa od pewnej liczby. O jaką liczbę tu chodzi?
Liczbę $12$ otrzymano w wyniku dzielenia pewnej liczby przez $8$ . Jaka to liczba?
Jaką liczbę trzeba podzielić przez $\frac{1}{2}$ , aby otrzymać $60$ ?

$3 x = 24, x = 8$
$\frac{1}{4} x = 16, x = 64$
$x : 2 = 49, x = 98$
$\frac{3}{4} x = 12, x = 16$
$18 = 3 x, x = 6$
$12 = x : 8, x = 96$
$x : \frac{1}{2} = 60, x = 30$

Przykład 2

Spójrz, jak możemy rozwiązać równanie, w którym występuje tylko mnożenie lub dzielenie.

Tabela. Dane
$5 x = 35$	$- x = 76$
$x = 35 : 5$	$x = 76 : (- 1)$
$x = 7$	$x = - 76$
Sprawdzenie	Sprawdzenie
$L = 5 ∙ 7 = 35 = P$	$L = - (- 76) = 76 = P$
$x : 12 = 3$	$64 : x = 4$
$x = 3 \cdot 12$	$x = 64 : 4$
$x = 36$	$x = 16$
Sprawdzenie	Sprawdzenie
$L = 36 : 12 = 3 = P$	$L = 36 : 12 = 3 = P$

RQlthwv7mfIH8

Ćwiczenie 9

Przeciągnij i upuść liczby lub symbole działań.

$54$ , $- 6$ , $- 6$ , $56$ , $36$ , $4$ , $9,$ $- 42$ , $6$ , $8$ , $- 6$ , $9,$ $:$ , $\cdot$ , $56$ , $7$ , $:$ , $7$

a) $4 \cdot y = 36$
$y = 36$ ........................
$y =$ ............
Sprawdzenie:
$L = 4 \cdot$ ............ $=$ ............ $= P$

b) $7 \cdot x = - 42$
$x = - 42$ ........................
$x =$ ............
Sprawdzenie:
$L = 7 \cdot$ ............ $=$ ............ $= P$

c) $z : 8 = 7$
$z = 7$ ........................
$z =$ ............
Sprawdzenie:
$L =$ ............ $: 8 =$ ............ $= P$

RFhLSlrBW9Qfs

Ćwiczenie 10

Przeciągnij i upuść liczby lub symbole działań.

$0$ , $8$ , $11,$ $4$ , $:$ , $4$ , $44$ , $0$ , $0$ , $40$ , $0$ , $5$ , $14$ , $:$ , $\cdot$ , $11,$ $8$

a) $44 : y = 11$
$y =$ ....................................
$y =$ ............
Sprawdzenie:
$L = 44 :$ ............ $=$ ............ $= P$

b) $z : \frac{1}{5} = 40$
$z = 40$ ........................
$z =$ ............
Sprawdzenie:
$L =$ ............ $: \frac{1}{5} =$ ............ $= P$

c) $t : 14 = 0$
$t =$ ....................................
$t =$ ............
Sprawdzenie:
$L =$ ............ $: 14 =$ ............ $= P$

Ćwiczenie 11

Rozwiąż równanie. Sprawdź swoje rozwiązanie.

$8 x = 64$
$7 x = - 28$
$- 48 : x = 12$
$- 72 : x = - 24$
$\frac{1}{5} x = 50$
$\frac{1}{8} x = 24$
$\frac{8}{7} : x = \frac{1}{7}$
$10 : x = \frac{5}{6}$

$8$
$- 4$
$- 4$
$3$
$250$
$192$
$8$
$12$

Ćwiczenie 12

Rozwiąż równanie. Sprawdź swoje rozwiązanie.

$25 : x = 4$
$28 : x = 3$
$14 x = 48$
$22 x = 50$
$8 : x = \frac{4}{5}$
$\frac{3}{8} = 24 : x$
$\frac{5}{7} x = \frac{25}{14}$
$\frac{25}{36} = \frac{5}{6} x$

$6 \frac{1}{4}$
$9 \frac{1}{3}$
$3 \frac{3}{7}$
$2 \frac{3}{11}$
$10$
$64$
$2 \frac{1}{2}$
$\frac{5}{6}$

iFDxu6AoVf_d5e731

Rozwiązywanie równań z dwoma działaniami

Przykład 3

Wykorzystajmy poznane wcześniej sposoby rozwiązywania równań do rozwiązania równania
$4 x + 5 = 29$
Najpierw obliczymy ile wynosi $4 x$ , a potem niewiadomą $x$ .

4 x + 5 = 29

4 x = 29 - 5

4 x = 24

x = 24 : 4

x = 6

Sprawdzenie

L = 4 \cdot 6 + 5 = 24 + 5 = 29 = P

Przykład 4

Wykorzystajmy poznane wcześniej sposoby rozwiązywania równań do rozwiązania kolejnego równania
$2 x - 6 = 14$
Najpierw obliczymy ile wynosi $2 x$ , a potem niewiadomą $x$ .

2 x - 6 = 14

2 x = 14 + 6

2 x = 20

x = 20 : 2

x = 10

Sprawdzenie

L = 2 \cdot 10 - 6 = 20 - 6 = 14 = P

R1aEB6QJcXoHT

Ćwiczenie 13

Przeciągnij i upuść liczby lub symbole działań tak, aby prawidłowo uzupełnić rozwiązania równań.

$+$ , $23$ , $10$ , $8$ , $7$ , $8$ , $8$ , $8$ , $16$ , $30$ , $4$ , $2$ , $:$ , $-$ , $4$ , $30$ , $10$ , $3$ , $:$ , $30$

a) $2 x + 8 = 16$
$2 x = 16$ ........................
$2 x =$ ............
$x =$ ....................................
$x =$ ............
Sprawdzenie:
$L = 2 \cdot$ ............ $+ 8 =$ ............ $+ 8 =$ ............ $= P$

b) $3 x - 7 = 23$
$3 x = 23$ ........................
$3 x =$ ............
$x =$ ....................................
$x =$ ............
Sprawdzenie:
$L = 3 \cdot$ ............ $- 7 =$ ............ $- 7 =$ ............ $= P$

Ćwiczenie 14

Rozwiąż równanie. Sprawdź swoje rozwiązanie.

$3 x + 10 = 37$
$9 x + 8 = 80$
$2 x - 13 = 21$
$7 x - 4 = 38$

$9$
$8$
$17$
$6$

Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie. Sprawdź swoje rozwiązanie.

$- 12 x - 6 = - 30$
$24 x + 12 = - 60$
$25 - 2 x = 5$
$- 28 + 7 x = 21$
$\frac{1}{3} x - 5 = 21$
$\frac{1}{12} x - 3 = 7$
$\frac{1}{7} x - \frac{5}{7} = \frac{8}{7}$
$6 - \frac{1}{6} x = \frac{5}{6}$

$2$
$- 3$
$10$
$7$
$78$
$120$
$13$
$31$

Zapisywanie treści prostych zadań za pomocą równań

Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równań

Rozwiązywanie równań

Zadania o równoważeniu

Rozwiązywanie równań z dodawaniem i odejmowaniem

Rozwiązywanie równań z mnożeniem i dzieleniem

Rozwiązywanie równań z dwoma działaniami