Co to jest równanie? Z równaniami spotykaliście się już w młodszych klasach. Z pewnością często znajdowaliście liczbę ukrytą pod znakiem zapytania, chmurką czy w okienku, na przykład:
R1Bc0OQfS4C8j 1 "Przykłady równań z pustymi miejscami do uzupełnienia: puste +12 =20
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Jeżeli w tych równościach zastąpimy okienko, chmurkę czy znak zapytania dowolną literą, to otrzymamy równania.
y + 12 = 20
x ∙ 8 = 88
a – 15 = 40 .
W równaniach litera oznacza szukaną liczbę. Nazywamy ją niewiadomą .
Układanie prostych równań Przykład 1
Agatka ma o 6 kredek więcej od Jacka. Razem mają 22 kredki. Ile kredek ma Jacek? Ułóżmy równanie odpowiadające treści tego zadania i znajdźmy odpowiedź na pytanie.
Oznaczmy liczbę kredek Jacka przez x . Wówczas liczba kredek Agatki to x + 6 . Łączna liczba kredek obojga dzieci to x + x + 6 . Z treści zadania wiemy także, że razem mają oni 22 kredki. Możemy więc zapisać równanie: x + x + 6 = 22 Jest to proste równanie, więc łatwo możemy odgadnąć, że pod literą x ukryta jest liczba 8 . Odp.: Jacek ma 8 kredek.
Treść tego zadania mogliśmy zapisać także nieco inaczej, oznaczając jako x liczbę kredek Agatki.x - liczba kredek Agatkix – 6 - liczba kredek Jackax + x – 6 - łączna liczba kredek Teraz równanie ma postać: x + x – 6 = 22 Pod literą x ukryta jest liczba 14 , czyli liczba kredek Agatki. Liczba kredek Jacka to 14 – 6 , czyli 8 .
Przykład 2
Układając równanie nie wpisujemy jednostek, ale występujące w nim liczby powinny być wyrażone w tych samych jednostkach. Mamy zadanie: Ania kupiła jeden jogurt i 5 bułek po 80 gr . Razem zapłaciła 6,30 zł . Ile kosztował jogurt? Do zadania możemy ułożyć równanie:
R1Fy5RCb6e1vv 1 Zapis równań: x +5 razy 80 =630 (liczby 80 i 630 podane w groszach). x +5 razy 0,80 =6,30 (liczby 0,80 i 6,30 podane w złotych).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Oczywiście x oznacza cenę jogurtu. Czy wiesz, ile kosztuje jogurt?
Przykład 3
RupkdiwdEiADH 1 Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1c9pRjO0d98i 1 Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A Ćwiczenie 1
RPxi1xlQdXg8x 1 Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby lub symbole działań.
+ , 5 , · , 140 , 70 , : , 2 , 5 , 13 , 5 , 40 , 9 , - , 25
a) Jeśli liczbę x powiększymy o 16 , to otrzymamy 25 . Jaką liczbą jest x ? x ............ 16 = ............
x = ............
b) Jeśli liczbę y pomiejszymy o 2 , 5 , to otrzymamy 11 . Jaką liczbą jest y ? y ............ ............ = 11
y = ............
c) Jeśli liczbę a powiększymy dwukrotnie, to otrzymamy 140 . Jaką liczbą jest a ?a ............ 2 = ............
a = ............
d) Jeśli liczbę k zmniejszymy 5 razy, to otrzymamy 8 . Jaką liczbą jest k ? k ............ ............ = 8
k = ............
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A Ćwiczenie 2
R98J3JY3Nf97O 1 Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Dobieranie równań do treści zadania B Ćwiczenie 3
R1Bl5FalcOzof 1 Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Przeciągnij i upuść równanie do zadania, które ono opisuje.
3 · 0 , 6 + 2 + x = 13 , 3 · 0 , 6 + 2 x = 13 , x + ( x + 12 ) = 30 , 2 · 2 + 4 x = 125 , 2 ( x - 2 ) + 4 x = 125 , 12 + ( x + 12 ) = 30
a) Za 3 ołówki, każdy po 60 groszy oraz 2 zeszyty po x złotych za sztukę, zapłacono 13 złotych. ..........................
b) Samochodzik jest o 2 złote tańszy od piłki, która kosztuje x złotych. Za 2 samochodziki i 4 piłki zapłacono 125 złotych. ..........................
c) Ewa jest o x lat starsza od Kasi, która ma 12 lat. Razem mają 30 lat. ..........................
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Co w równaniu oznacza niewiadoma? R1Z1kUFDNxQ1k 1 Ćwiczenie 4
Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu? Wskaż prawidłową odpowiedź. Kamil ma 3 razy więcej płyt niż Bartek, który ma o 6 płyt więcej niż Dawid. Razem mają 44 płyty. x + 3 x + ( x – 6 ) = 44 . Możliwe odpowiedzi: 1. liczba płyt Kamila, 2. liczba płyt Bartka, 3. liczba płyt Dawida
Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu? Wskaż prawidłową odpowiedź. Kamil ma 3 razy więcej płyt niż Bartek, który ma o 6 płyt więcej niż Dawid. Razem mają 44 płyty. x + 3 x + ( x – 6 ) = 44 .
liczba płyt Kamila
liczba płyt Bartka
liczba płyt Dawida
R32KUsLWpxGXA 1 Ćwiczenie 5
Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu? Wskaż prawidłową odpowiedź. Szkolna drużyna piłki nożnej zdobyła w rozgrywkach 15 goli. Wszystkie bramki strzelili trzej zawodnicy. Najlepszym strzelcem okazał się Marek, który zdobył o 3 gole więcej od Andrzeja, a Piotr zdobył 2 bramki. x + ( x – 3 ) + 2 = 15 Możliwe odpowiedzi: 1. liczba goli Marka, 2. liczba goli Andrzeja, 3. liczba goli Piotra
Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu? Wskaż prawidłową odpowiedź. Szkolna drużyna piłki nożnej zdobyła w rozgrywkach 15 goli. Wszystkie bramki strzelili trzej zawodnicy. Najlepszym strzelcem okazał się Marek, który zdobył o 3 gole więcej od Andrzeja, a Piotr zdobył 2 bramki. x + ( x – 3 ) + 2 = 15
liczba goli Marka
liczba goli Andrzeja
liczba goli Piotra
R1153XWbAPCTK 1 Ćwiczenie 6
Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu? Wskaż prawidłową odpowiedź. Za 5 kg truskawek po 4 zł za kilogram Ania zapłaciła o 7 zł więcej niż za 3 kg malin. x ∙ 3 – 7 = 5 ∙ 4 . Możliwe odpowiedzi: 1. cena 1 kg truskawek, 2. wartość całych zakupów, 3. cena 1 kg malin
Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu? Wskaż prawidłową odpowiedź. Za 5 kg truskawek po 4 zł za kilogram Ania zapłaciła o 7 zł więcej niż za 3 kg malin. x · 3 + 7 = 5 · 4 .
cena 1 kg truskawek
wartość całych zakupów
cena 1 kg malin
RCdLnGzrEiKML 1 Ćwiczenie 7
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Jurek ma o 6 książek więcej niż Agata i 3 razy więcej niż Iza. Jurek, Agata i Iza maja łącznie tyle książek ile Gosia i Ania razem. Gosia ma 16 książek, a Ania tyle co Agata. Wybierz, co oznacza niewiadoma x w poszczególnych równaniach.
liczba książek Agaty, liczba wszystkich książek, liczba książek Izy, liczba książek Gosi, liczba wszystkich książek, liczba książek Gosi, liczba książek Agaty, liczba książek Agaty, liczba książek Izy, liczba książek Jurka, liczba wszystkich książek, liczba książek Jurka, liczba książek Gosi, liczba książek Jurka, liczba książek Izy
a) x - ...................................................... 3 x + ( 3 x - 6 ) + x = 16 + ( 3 x - 6 )
b) x - ...................................................... ( x + 6 ) + x + 1 3 ( x + 6 ) = 16 + x
c) x - ...................................................... x + ( x - 6 ) + 1 3 x = 16 + ( x - 6 )
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.