Co to jest równanie?

Z równaniami spotykaliście się już w młodszych klasach. Z pewnością często znajdowaliście liczbę ukrytą pod znakiem zapytania, chmurką czy w okienku, na przykład:

R1Bc0OQfS4C8j1

"Przykłady równań z pustymi miejscami do uzupełnienia: puste +12 =20 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli w tych równościach zastąpimy okienko, chmurkę czy znak zapytania dowolną literą, to otrzymamy równania.

y + 12 = 20

x ∙ 8 = 88

a - 15 = 40 .

W równaniach litera oznacza szukaną liczbę. Nazywamy ją niewiadomą.

Układanie prostych równań

Przykład 1

Agatka ma o $6$ kredek więcej od Jacka. Razem mają $22$ kredki. Ile kredek ma Jacek?
Ułóżmy równanie odpowiadające treści tego zadania i znajdźmy odpowiedź na pytanie.

sposób $I$

Oznaczmy liczbę kredek Jacka przez $x$ .
Wówczas liczba kredek Agatki to $x + 6$ .
Łączna liczba kredek obojga dzieci to $x + x + 6$ .
Z treści zadania wiemy także, że razem mają oni $22$ kredki.
Możemy więc zapisać równanie: $x + x + 6 = 22$
Jest to proste równanie, więc łatwo możemy odgadnąć, że pod literą $x$ ukryta jest liczba $8$ .
Odp.: Jacek ma $8$ kredek.

sposób $II$

Treść tego zadania mogliśmy zapisać także nieco inaczej, oznaczając jako $x$ liczbę kredek Agatki.
$x$ - liczba kredek Agatki
$x - 6$ - liczba kredek Jacka
$x + x - 6$ - łączna liczba kredek
Teraz równanie ma postać: $x + x - 6 = 22$
Pod literą $x$ ukryta jest liczba $14$ , czyli liczba kredek Agatki.
Liczba kredek Jacka to $14 - 6$ , czyli $8$ .

Przykład 2

Układając równanie nie wpisujemy jednostek, ale występujące w nim liczby powinny być wyrażone w tych samych jednostkach.
Mamy zadanie:
Ania kupiła jeden jogurt i $5$ bułek po $80 gr$ . Razem zapłaciła $6,30 zł$ . Ile kosztował jogurt?
Do zadania możemy ułożyć równanie:

R1Fy5RCb6e1vv1

Zapis równań: x +5 razy 80 =630 (liczby 80 i 630 podane w groszach). x +5 razy 0,80 =6,30 (liczby 0,80 i 6,30 podane w złotych). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oczywiście $x$ oznacza cenę jogurtu. Czy wiesz, ile kosztuje jogurt?

Przykład 3

RupkdiwdEiADH1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D2fs2mq4m

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

R1c9pRjO0d98i1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D2fs2mq4m

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

iEpfyaLAsE_d5e246

Ćwiczenie 1

RPxi1xlQdXg8x1

Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby lub symbole działań.

$+$ , $5$ , $\cdot$ , $140$ , $70$ , $:$ , $2, 5$ , $13, 5$ , $40$ , $9$ , $-$ , $25$

a) Jeśli liczbę $x$ powiększymy o $16$ , to otrzymamy $25$ . Jaką liczbą jest $x$ ?
$x$ ............ $16 =$ ............
$x =$ ............
b) Jeśli liczbę $y$ pomiejszymy o $2, 5$ , to otrzymamy $11$ . Jaką liczbą jest $y$ ?
$y$ ............ ............ $= 11$
$y =$ ............
c) Jeśli liczbę $a$ powiększymy dwukrotnie, to otrzymamy $140$ . Jaką liczbą jest $a$ ?
$a$ ............ $2 =$ ............
$a =$ ............
d) Jeśli liczbę $k$ zmniejszymy $5$ razy, to otrzymamy $8$ . Jaką liczbą jest $k$ ?
$k$ ............ ............ $= 8$
$k =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R98J3JY3Nf97O1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dobieranie równań do treści zadania

Ćwiczenie 3

R1Bl5FalcOzof1

Przeciągnij i upuść równanie do zadania, które ono opisuje.

$3 \cdot 0, 6 + 2 + x = 13$ , $3 \cdot 0, 6 + 2 x = 13$ , $x + (x + 12) = 30$ , $2 \cdot 2 + 4 x = 125$ , $2 (x - 2) + 4 x = 125$ , $12 + (x + 12) = 30$

a) Za $3$ ołówki, każdy po $60$ groszy oraz $2$ zeszyty po $x$ złotych za sztukę, zapłacono 13 złotych.
..........................
b) Samochodzik jest o $2$ złote tańszy od piłki, która kosztuje $x$ złotych. Za $2$ samochodziki i $4$ piłki zapłacono $125$ złotych.
..........................
c) Ewa jest o $x$ lat starsza od Kasi, która ma $12$ lat. Razem mają $30$ lat.
..........................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iEpfyaLAsE_d5e362

Co w równaniu oznacza niewiadoma?

R1Z1kUFDNxQ1k1

Ćwiczenie 4

Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma $x$ w danym równaniu?
Wskaż prawidłową odpowiedź.
Kamil ma $3$ razy więcej płyt niż Bartek, który ma o $6$ płyt więcej niż Dawid. Razem mają $44$ płyty.
$x + 3 x + (x - 6) = 44$ .

liczba płyt Kamila
liczba płyt Bartka
liczba płyt Dawida

R32KUsLWpxGXA1

Ćwiczenie 5

Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma $x$ w danym równaniu?
Wskaż prawidłową odpowiedź.
Szkolna drużyna piłki nożnej zdobyła w rozgrywkach $15$ goli. Wszystkie bramki strzelili trzej zawodnicy. Najlepszym strzelcem okazał się Marek, który zdobył o $3$ gole więcej od Andrzeja, a Piotr zdobył $2$ bramki. $x + (x - 3) + 2 = 15$

liczba goli Marka
liczba goli Andrzeja
liczba goli Piotra

R1153XWbAPCTK1

Ćwiczenie 6

Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma $x$ w danym równaniu?
Wskaż prawidłową odpowiedź.
Za 5 kg truskawek po $4 zł$ za kilogram Ania zapłaciła o $7 zł$ więcej niż za $3 kg$ malin.
$x \cdot 3 + 7 = 5 \cdot 4$ .

cena $1 kg$ truskawek
wartość całych zakupów
cena $1 kg$ malin

RCdLnGzrEiKML1

Ćwiczenie 7

Jurek ma o $6$ książek więcej niż Agata i $3$ razy więcej niż Iza. Jurek, Agata i Iza maja łącznie tyle książek ile Gosia i Ania razem. Gosia ma $16$ książek, a Ania tyle co Agata.

Wybierz, co oznacza niewiadoma $x$ w poszczególnych równaniach.

liczba książek Agaty, liczba wszystkich książek, liczba książek Izy, liczba książek Gosi, liczba wszystkich książek, liczba książek Gosi, liczba książek Agaty, liczba książek Agaty, liczba książek Izy, liczba książek Jurka, liczba wszystkich książek, liczba książek Jurka, liczba książek Gosi, liczba książek Jurka, liczba książek Izy

a) $x -$ ......................................................
$3 x + (3 x - 6) + x = 16 + (3 x - 6)$
b) $x -$ ......................................................
$(x + 6) + x + \frac{1}{3} (x + 6) = 16 + x$
c) $x -$ ......................................................
$x + (x - 6) + \frac{1}{3} x = 16 + (x - 6)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyrażenia algebraiczne

Rozwiązywanie równań

Zapisywanie treści prostych zadań za pomocą równań

Co to jest równanie?

Układanie prostych równań

Dobieranie równań do treści zadania

Co w równaniu oznacza niewiadoma?