R1Xc73m2nn12t1

Czarnobiała fotografia o kwadratowym układzie przedstawiająca wahadło zabytkowego zegara z wieży kościelnej zdobione symbolami astronomicznymi. Na tle odchylonego wahadła dwie tarcze zegarowe: większa wskazuje godziny i fazy księżyca oraz mniejsza minutowa umieszczona w górnej części. Dookoła tarczy murowane wykończenie.

Aby lepiej wyjaśnić, czym jest ruch drgający, zaczniemy od przeprowadzenia pewnego doświadczenia.

Taki ruch cykliczny w fizyce nazywa się ruchem drgającym. Znaczenie tego terminu jest szersze niż słowo drganie używane w języku ogólnym. Dla fizyka zarówno majestatyczne wahania zabytkowego żyrandola pod sufitem, czy huśtawki w parku, powtarzające się przypływy i odpływy oceanu, jak i ruch skorupy ziemskiej podczas trzęsienia ziemi czy wibracje stołu podczas pracy jakiejś maszyny są nazywane ruchem drgającym.

Oto definicje wielkości służących do opisu ruchu drgającego.

Okres drgań i częstotliwość drgań są ze sobą ściśle związane: częstotliwość jest odwrotnością okresu, czyli

Spośród pokazanych wcześniej przykładów ruchu drgającego należy wyróżnić dwa:

1. Wahadło matematycznewahadło matematyczneWahadło matematyczne – tak możemy nazwać kulkę na nici pod warunkiem, że masa kulki jest znacznie większa od masy nici (w podręcznikach fizyki często pisze się, że nić jest nieważka – czyli nic nie waży), a ponadto długość nici jest znacznie większa od średnicy kulki. Najlepsza jest kulka o rozmiarach punktu – nazywamy ją punktem materialnym. Ważne jest też, by nić nie zmieniała swojej długości podczas wahań kulki, czyli była nierozciągliwa.

2. Ciężarek na sprężynie – tutaj ważne jest, aby podczas drgań sprężyna rozciągała się tylko w zakresie odkształceń sprężystych, najlepiej jeśli masa ciężarka jest większa od masy sprężyny.

Te dwa przykłady wyróżniono, gdyż drgania ciężarka na sprężynie oraz ruch wahadła matematycznego to przykłady bardzo ważnego rodzaju drgań nazywanych drganiami prostymidrgania harmoniczne (drgania proste)drganiami prostymi lub drganiami harmonicznymidrgania harmoniczne (drgania proste)drganiami harmonicznymi.

Ruch drgający to jeden z najpowszechniejszych ruchów w przyrodzie: drgają atomy w nas i w całej otaczającej nas materii, drgają struny głosowe ludzi lub zwierząt wydających dźwięk, drgają membrany głośników. Na dodatek okazało się, że każdy ruch drgający (cykliczny) można przedstawić jako złożenie (sumę) skończonej lub nieskończonej liczby drgań harmonicznych.

1. Ruch wahadła matematycznego

Przeanalizujmy ruch wahadła matematycznego. Popatrzmy nań w bardzo zwolnionym tempie.

Rqx2MVeyy46F01

Animacja przedstawia ruch wahadła matematycznego. Tło białe. Na górze, po środku znajduje się ciemnoszary statyw, do którego przymocowano wahadło. Wahadło składa się z dużej, żółtej kuli zawieszonej na długim, ciemnoszarym sznurku. Kula jest przytrzymywana przez szary chwytak, który znajduje się po prawej stronie animacji, w taki sposób, że jest wychylona od środka i znajduje się blisko prawego górnego rogu animacji. Na animacji znajdują się oznaczenia trzech punktów: A z indeksem dolnym 1, A z indeksem dolnym 2 oraz O. Punkt A_1 znajduje się tuż pod kulką. Punkt A_2 znajduje się na tej samej wysokości, co punkt A_2, ale po lewej stronie animacji, natomiast punkt O znajduje się na dole animacji, pośrodku. W lewym dolnym rogu, w żółtej ramce, znajduje się legenda, gdzie narysowano pionową, zieloną strzałkę zwróconą w dół. Obok strzałki, z prawej strony umieszczono czarny napis „wektor prędkości. Po chwili chwyta puszcza kulkę, a ta zaczyna się wahać. Na kulce pojawia się zielona strzałka – wektor prędkości. Początkowo jest on bardzo krótki, ale zaczyna się stopniowo wydłużać. Zwrócony jest w stronę, w którą porusza się kulka zawieszona na wahadle. Wektor jest najdłuższy, gdy kulka znajduje się nad punktem O. Wtedy jest równoległy do poziomej krawędzi animacji. Gdy kula mija punkt O, zbliża się do punktu A_2. Wektor w tym czasie skraca się, bo na moment, w punkcie A_2 zniknąć zupełnie (kula się „zatrzymuje”, a następnie wraca z powrotem do punktu O (wektor w tym czasie wydłuża się), by znów wrócić do punktu A_1. Całość ukazana jest w zwolnionym tempie. W ostatniej scenie pokazano wahania kulki w normalnym tempie.

Animacja przedstawia ruch wahadła matematycznego. Tło białe. Na górze, po środku znajduje się ciemnoszary statyw, do którego przymocowano wahadło. Wahadło składa się z dużej, żółtej kuli zawieszonej na długim, ciemnoszarym sznurku. Kula jest przytrzymywana przez szary chwytak, który znajduje się po prawej stronie animacji, w taki sposób, że jest wychylona od środka i znajduje się blisko prawego górnego rogu animacji. Na animacji znajdują się oznaczenia trzech punktów: A z indeksem dolnym 1, A z indeksem dolnym 2 oraz O. Punkt A_1 znajduje się tuż pod kulką. Punkt A_2 znajduje się na tej samej wysokości, co punkt A_2, ale po lewej stronie animacji, natomiast punkt O znajduje się na dole animacji, pośrodku. W lewym dolnym rogu, w żółtej ramce, znajduje się legenda, gdzie narysowano pionową, zieloną strzałkę zwróconą w dół. Obok strzałki, z prawej strony umieszczono czarny napis „wektor prędkości. Po chwili chwyta puszcza kulkę, a ta zaczyna się wahać. Na kulce pojawia się zielona strzałka – wektor prędkości. Początkowo jest on bardzo krótki, ale zaczyna się stopniowo wydłużać. Zwrócony jest w stronę, w którą porusza się kulka zawieszona na wahadle. Wektor jest najdłuższy, gdy kulka znajduje się nad punktem O. Wtedy jest równoległy do poziomej krawędzi animacji. Gdy kula mija punkt O, zbliża się do punktu A_2. Wektor w tym czasie skraca się, bo na moment, w punkcie A_2 zniknąć zupełnie (kula się „zatrzymuje”, a następnie wraca z powrotem do punktu O (wektor w tym czasie wydłuża się), by znów wrócić do punktu A_1. Całość ukazana jest w zwolnionym tempie. W ostatniej scenie pokazano wahania kulki w normalnym tempie.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rqx2MVeyy46F0

Animacja przedstawia ruch wahadła matematycznego. Tło białe. Na górze, po środku znajduje się ciemnoszary statyw, do którego przymocowano wahadło. Wahadło składa się z dużej, żółtej kuli zawieszonej na długim, ciemnoszarym sznurku. Kula jest przytrzymywana przez szary chwytak, który znajduje się po prawej stronie animacji, w taki sposób, że jest wychylona od środka i znajduje się blisko prawego górnego rogu animacji. Na animacji znajdują się oznaczenia trzech punktów: A z indeksem dolnym 1, A z indeksem dolnym 2 oraz O. Punkt A_1 znajduje się tuż pod kulką. Punkt A_2 znajduje się na tej samej wysokości, co punkt A_2, ale po lewej stronie animacji, natomiast punkt O znajduje się na dole animacji, pośrodku. W lewym dolnym rogu, w żółtej ramce, znajduje się legenda, gdzie narysowano pionową, zieloną strzałkę zwróconą w dół. Obok strzałki, z prawej strony umieszczono czarny napis „wektor prędkości. Po chwili chwyta puszcza kulkę, a ta zaczyna się wahać. Na kulce pojawia się zielona strzałka – wektor prędkości. Początkowo jest on bardzo krótki, ale zaczyna się stopniowo wydłużać. Zwrócony jest w stronę, w którą porusza się kulka zawieszona na wahadle. Wektor jest najdłuższy, gdy kulka znajduje się nad punktem O. Wtedy jest równoległy do poziomej krawędzi animacji. Gdy kula mija punkt O, zbliża się do punktu A_2. Wektor w tym czasie skraca się, bo na moment, w punkcie A_2 zniknąć zupełnie (kula się „zatrzymuje”, a następnie wraca z powrotem do punktu O (wektor w tym czasie wydłuża się), by znów wrócić do punktu A_1. Całość ukazana jest w zwolnionym tempie. W ostatniej scenie pokazano wahania kulki w normalnym tempie.

Zaczynamy od położenia $A_1$ – jest to największe wychylenie na prawo od położenia równowagi $O$. Kulka rozpoczyna ruch w lewo, zbliżając się do położenia równowagi $O$. Oznacza to, że jej wychylenie maleje. Można zauważyć, że wartość prędkości kulki rośnie. Kiedy kulka mija położenie równowagi, wartość jej prędkości osiąga największą wartość. Czas trwania ruchu kulki z punktu $A_1$ do punktu $O$ wynosi $\frac{1}{4}$ okresu, a przebyta przez nią droga jest równa wartości amplitudy. Dalszy ruch w lewo to oddalanie się kulki z położenia równowagi $O$ w stronę punktu $A_2$. Na tym etapie wychylenie z położenia równowagi rośnie, a wartość prędkości kulki maleje. W punkcie $A_2$ prędkość kulki osiąga wartość zero. Upłynęła kolejna $\frac{1}{4}$ okresu, droga wzrosła zaś o kolejną wartość amplitudy. Teraz następuje zmiana zwrotu prędkości – kulka zawraca i zaczyna poruszać się w prawo. Wychylenie kulki maleje, wartość prędkości rośnie aż do momentu, gdy mija punkt $O$. Po minięciu tego punktu kulka nadal porusza się w prawo, ale wartość jej prędkość maleje, a wychylenie z położenia równowagi rośnie. Z chwilą gdy kulka znajdzie się ponownie w punkcie $A_1$, kończy się jeden pełny cykl jej ruchu – jedno drganie. Prędkość kulki osiąga tu wartość zero, następuje zmiana zwrotu prędkości i kulka ponownie rozpoczyna ruch w lewo.

2. Ruch ciężarka na sprężynie

R14WsdcYfJLOi1

Ruch ciężarka na sprężynie

Ruch ciężarka na sprężynie

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R14WsdcYfJLOi

Ruch ciężarka na sprężynie

Obejrzyj powyższą animację, najlepiej w zwolnionym tempie i wykonaj zadanie 2. Skorzystaj z wiedzy, jaka zawarta jest w poprzednim paragrafie.

3. Wykres zależności położenia od czasu w ruchu drgającym

Opis ruchu drgającego, podobnie jak opis każdego ruchu, można przedstawić graficznie jako wykres przedstawiający zależność położenia od czasu. Aby sporządzić taki wykres dla ruchu drgającego, wykonaj poniższe doświadczenie.

Doświadczenie 2

Sporządzenie wykresu zależności położenia od czasu w ruchu drgającym.

Co będzie potrzebne

• statywy z wyposażeniem;

• plastikowa butelka po wodzie mineralnej, kilka nakrętek do tej butelki;

• sztywny gładki pręt – na przykład drut dziewiarski;

• papierowa taśma o szerokości około $20\mathrm{ cm}$ i długości co najmniej $50\mathrm{ cm}$.

Instrukcja

1. Odetnij dno plastikowej butelki, a w odległości około 1 cm od powstałej po odcięciu krawędzi wytnij dwa leżące naprzeciw siebie otwory.

2. W nakrętce wykonaj mały otwór. Powinien być tak dobrany, żeby woda wlana do butelki wyciekała z niej bardzo cienkim strumieniem, najlepiej w postaci ciągu pojedynczych kropli. Trzeba to zrobić metodą prób i błędów – dlatego warto mieć kilka zakrętek, próby wykonywać zaś nad zlewem lub umywalką.

3. Przez otwory przeciągnij pręt, na którym zawiśnie belka (nakrętką w dół).

4. Pręt zamocuj na statywie tak, aby butelka mogła wykonywać ruch wahadłowy.

5. Do zawieszonej i zakręconej dziurawą nakrętką butelki nalej wody. W początkowej fazie pod nakrętką warto podłożyć jakąś gąbkę lub bibułę, którą usuniesz tuż przed rozpoczęciem obserwacji.

6. Na stole, nad którym wahać się będzie butelka, połóż papierową taśmę.

7. Wpraw butelkę w ruch wahadłowy – krople wody ułożą się na papierze, tworząc odcinek.

8. Zacznij ciągnąć taśmę w kierunku prostopadłym do odcinka utworzonego wcześniej przez wodę. Ruch taśmy powinien być jednostajny i niezbyt szybki.

9. Odsuń taśmę, chroniąc ja przed dalszym zalewaniem wodą – to, co na niej powstało, jest wynikiem twojego doświadczenia.

10. Wylej wodę pozostałą w butelce i wytrzyj stół.

Podsumowanie

Na papierowej taśmie kapiące krople zostawiły ślad, którego kształt wygląda w przybliżeniu tak jak na poniższym rysunku.

RjWavK3CBzY8J1

Wykres zależności położenia od czasu

Otrzymana linia nazywa się sinusoidą i przedstawia zależność wychylenia od czasu w ruchu drgającym prostym (w ruchu harmonicznym). Możemy umieścić ją w układzie współrzędnych.

R1IC4LckdFSNj1

Wykres zależności położenia od czasu

Na osi rzędnych (oś pionowa) umieszczono położenie drgającego ciała (w naszym doświadczeniu zakrętki butelki). Położenie to oznaczono literą $x$. Na osi odciętych (oś pozioma) umieszczono czas i oznaczono go literą $t$. Wartość $0$ na osi położenia $x$ – to położenie równowagi (środek odcinka „narysowanego” przez kropelki wody na początku doświadczenia). Punkty $A_1$ i $A_2$ to miejsca zawracania butelki podczas wahań, a ich współrzędna – wartość amplitudy drgań. Na osi czasu odcinek $0$ – $T$ to okres drgań, czyli czas jednego pełnego wahnięcia. Dysponując takim wykresem, możemy odczytać wartość amplitudy drgań oraz okres drgań, a następnie obliczyć częstotliwość drgań.

Przykład 2

Poniższy rysunek przedstawia zależność położenia od czasu dla ciężarka drgającego na sprężynie. Odczytaj z wykresu amplitudę drgań, okres drgań oraz oblicz częstotliwość drgań ciężarka.

R17O3d4gkm6gZ1

Wykres zależności położenia od czasu

Rozwiązanie:
Amplituda drgań to największe wychylenie z położenia równowagi. Jej wartość odczytujemy na osi położenia $x$. Wartość ta wynosi $2$. Z rysunku wynika, że oś położenia wyskalowana jest w centymetrach, zatem amplituda drgań ciężarka wynosi $A=2 \mathrm{cm}$.
Okres drgań odczytujemy na osi czasu. Oś ta wyskalowana jest w sekundach, a na rysunku widać, że jeden pełny cykl zmian odpowiada przedziałowi czasu $\mathrm{0,8\; s}$, zatem okres drgań ciężarka wynosi $T=\mathrm{0,8\; s}$.
Częstotliwość obliczamy podobnie jak w pierwszym przykładzie, czyli:

$$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\mathrm{0,8\; s}}=\mathrm{1,25}\mathrm{Hz}$$

Podsumowanie

• Ruch drgający to taki ruch, w którym wartości wielkości fizycznych opisujących go, powtarzają się cyklicznie (okresowo).

• Ruch drgający odbywa się wokół punktu zwanego położeniem równowagi.

• Wielkościami opisującymi ruch drgający są:

  • Amplituda drgań $A$ – największe wychylenie z położenia równowagi; jednostka – metr [m].

  • Okres drgań $T$ – czas trwania jednego pełnego drgania; jednostka – sekunda [s].

  • Częstotliwość drgań $f$ – liczba drgań w jednostce czasu; jednostka – herc [$\mathrm{Hz}$].

  • Częstotliwość i okres są ze sobą związane: $f=\frac{1}{T}$.

• Przykładami układów drgających są: wahadło matematyczne i ciężarek na sprężynie, które wykonują drgania harmoniczne.

• Wykresem zależności położenia od czasu w ruchu harmonicznym jest sinusoida. Z tego wykresu można odczytać amplitudę i okres drgań.

Praca domowa

Polecenie 1.1

Małpka na lianie wykonuje 1 wahnięcie w ciągu $\mathrm{2,5\; s}$. Oblicz częstotliwość wahań liany z małpką.

Polecenie 1.2

Rysunek przedstawia wykres zależności położenia od czasu dla boi kołyszącej się na wodzie.

R1Pxnj6DeAaKY1

Wykres zależności położenia od czasu

Z wykresu odczytaj amplitudę i okres drgań oraz oblicz częstotliwość drgań.

Polecenie 1.3

Wahadło starego zegara z kukułką wykonuje jedno pełne wahnięcie w ciągu $\mathrm{1,5 s}$, pokonując przy tym drogę $40\mathrm{ cm}$. Oblicz częstotliwość i amplitudę drgań tego wahadła.

Polecenie 1.4

Serce biegnącego człowieka wykonuje 120 uderzeń na minutę. Wyraź tę częstotliwość w hercach i oblicz okres drgań serca tego biegacza.

Słowniczek

Biogram

Heinrich Rudolf Hertz01‑01‑1894Bonn22‑02‑1857Hamburg

RQvJQz9MMhhS41

Zdjęcie przedstawia Heinricha Hertza. Mężczyzna w wieku ok. 45 lat. Widoczny prawy półprofil. Twarz pociągła. Nos długi. Czoło wysokie, gładkie. Widoczne oznaki łysienia, włosy ciemne, zaczesane. Oczy ciemne, brwi regularne. Wąsy jasne, rzadkie. Broda gęsta, krótka, porastająca linię żuchwy, podbródek oraz część szyi. Usta lekko rozchylone, wąskie. Uszy średniej wielkości, przylegające. Mężczyzna ubrany w ciemny, prążkowany płaszcz. Spod płaszcza wystaje biała koszula, zapięta pod samą szyję.

Heinrich Rudolf Hertz

1857.02.22 Hamburg – 1894.01.1 Bonn

Heinrich Hertz badał fale elektromagnetyczne. Wykazał, że one i światło są tożsame, a ich prędkość rozchodzenia się jest taka sama. Odkrył zewnętrzny efekt fotoelektryczny. Na cześć tego uczonego jednostkę częstotliwości nazwano hercem (Hz).

Zadanie podsumowujące lekcję

R1MJXLSG96lJ9

Zdjęcie przedstawia dziewczynkę huśtającą się na huśtawce. Pokazana jest z profilu. Huśtawka składa się z łańcucha i skórzanej taśmy, jako siedziska. Na drugim planie jest drewniany plac zabaw z drabinkami ze sznura. W tle jest jezioro i zieleń.

Ćwiczenie 3.1

R1Kuxdk9ZrOuL1

Ruch drgający i wielkości go opisujące: amplituda, okres, częstotliwość drgań i położenie równowagi. Ruch wahadła matematycznego i ciężarka na sprężynie jako przykłady ruchu drgającego

Jak zmienia się prędkość dziecka na huśtawce, gdy oddala się ono od osoby stojącej za huśtawką?

• Początkowo rośnie, a następnie maleje.
• Rośnie.
• Maleje.
• Nie zmienia się.
• Jeśli osoba za huśtawką popycha huśtawkę, to prędkość rośnie, jeśli nie, to prędkość huśtawki jest stała.