Rzeczywisty ruch ciał w naszym otoczeniu jest ruchem zmiennym, w którym prędkość może zmieniać się w dowolny sposób. Czasem ruch zmienny przechodzi w ruch jednostajny prostoliniowy. Czy istnieje sposób opisu ruchu ciała poruszającego się w tak skomplikowany sposób?

R1EXiocs3Jmex1

Zdjęcie przedstawia drogę z jadącymi samochodami z wysokim wzniesieniem w tle, aparat znajduje się nisko nad asfaltem. Na pierwszym planie na asfalcie widać ślady po bardzo ostrym hamowaniu. — Obliczanie drogi hamowania – jednego z najważniejszych parametrów każdego pojazdu – to równanie ruchu jednostajnie zmiennego (opóźnionego)

Już potrafisz

podawać definicję ruchu jako zmianę położenia względem wybranego układu odniesienia;
klasyfikować ruchy ze względu na tor (prostoliniowe i krzywoliniowe) oraz wartość prędkości (jednostajne i zmienne);
odróżniać prędkość średnią od chwilowej;
obliczać prędkość i wyrażać ją w różnych jednostkach;
podawać definicje przyspieszenia oraz ruchu przyspieszonego i opóźnionego;
obliczać przyspieszenie, gdy wartość prędkości rośnie lub maleje;
obliczać zmiany prędkości podczas ruchu jednostajnie przyspieszonego
obliczać drogę przebytą przez ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym;
sporządzać wykresy zależności drogi od czasu, przyspieszenia od czasu i prędkości od czasu dla ciał poruszających się ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym;
odczytywać z wykresów wartość drogi, przyspieszenia i prędkości.

Nauczysz się

rozwiązywać zadania związane z ruchem prostoliniowym: jednostajnym, jednostajnie przyspieszonym i jednostajnie opóźnionym.

i7lhhhHT3L_d5e168

Przykład 1

Motocyklista przez jedną minutę poruszał się z prędkością $72 \frac{km}{h}$ . Na widok czerwonego światła rozpoczął hamowanie. Od momentu rozpoczęcia hamowania do chwili, w której się motocyklista zatrzymał, minęło 10 s. Oblicz przyspieszenie motocyklisty podczas hamowania. Sporządź wykres zależności prędkości od czasu. Oblicz drogę przebytą przez motocyklistę.

Rozwiązanie:
Analiza zadania
Zjawisko: ruch jednostajny (przez minutę) i jednostajnie opóźniony (przez 10 sekund)
Zależność przebytej drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym: $s = v \cdot t$
Wzór na przyspieszenie: $a = \frac{∆ v}{∆ t}$
Zależność przebytej drogi od czasu i przyspieszenia w ruchu jednostajnie przyspieszonym: $s = \frac{a \cdot t^{2}}{2}$
Wartość prędkości w ruchu jednostajnym jest jednocześnie wartością prędkości początkowej, gdy ruch staje się opóźniony: $v = v_{o}$

a = \frac{∆ v}{∆ t} = \frac{v_{k} - v_{0}}{t_{2}}

$S = s_{1} + s_{2}$ (suma dróg przebytych ruchem jednostajnym i jednostajnie opóźnionym)

$s_{1} = v_{1} \cdot t_{1}$ ; $s_{2} = \frac{a \cdot t_{2}^{2}}{2}$

Dane:

v_{1} = 72 \frac{km}{h}

v_{1} = v_{o} = 72 \frac{km}{h}

v_{k} = 0

t_{1} = 1 min = 60 s

t_{2} = 10 s

Szukane:
a = ?
S = ?
Obliczenia:

v_{o} = 72 \frac{km}{h} = 72 \cdot \frac{1000 m}{3600 s} = 72 \cdot \frac{10}{36} \frac{m}{s} = 2 \cdot 10 \frac{m}{s} = 20 \frac{m}{s}

v_{k} = 0 \frac{m}{s}

RUfyY5ANMfmHp1

Schemat przedstawia wykres ruchu złożonego. Tło białe. Osie odciętych od 0 do 75, co 5; opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0 do 20, co 5; opisana „v, m/s”. Wykres składa się z dwóch niebieskich odcinków. Pierwszy: początek (0, 20) i koniec (60, 20). Drugi: początek (60, 20) i koniec (70, 0).

∆ v = v_{k} - v_{o} = (0 - 20) \frac{m}{s} = - 20 \frac{m}{s}

t_{2} = ∆ t = 10 s

a = \frac{∆ v}{∆ t} = \frac{- 20}{10} \frac{m}{s^{2}} = - 2 \frac{m}{s^{2}}

s_{1} = v_{1} \cdot t_{1} = 20 \frac{m}{s} \cdot 60 s = 1200 m

s_{2} = \frac{a \cdot {t_{2}}^{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{m}{s^{2}} \cdot {100 s}^{2} = 100 m

Na wykresie sporządzonym w celu zilustrowania ruchu motocyklisty, droga przebyta ruchem opóźnionym jest równa polu trójkąta, którego podstawa $t_{2} = 10 s$ , a wysokość: $v_{o} = 20 \frac{m}{s}$ . Z tego wynika, że pole, czyli droga, ma wartość 100 m.

Jeżeli popatrzysz dokładnie na wykres, to zauważysz, że wysokość trójkąta to tak naprawdę zmiana prędkości $∆ v = a \cdot t_{2}$ . Przekształcając wzór na pole trójkąta, otrzymasz: $S = \frac{1}{2} a \cdot t_{2} \cdot t_{2} = \frac{1}{2} a t^{2},$ a zatem taką samą zależność drogi od czasu jak dla ruchu jednostajnie przyspieszonego oraz dla ruchu opóźnionego (w którym końcowa prędkość jest równa zero), będziemy się posługiwać w gimnazjum.

S = s_{1} + s_{2} = 1200 m + 100 m = 1300 m

Odpowiedź:
Motocyklista hamował z przyspieszeniem $- 2 \frac{m}{s^{2}}$ , a droga, którą przebył, wynosiła $1300 m .$

i7lhhhHT3L_1436015200343_0

Przykład 2

Na wykresie przedstawiono zależność prędkości od czasu. Jakim ruchem poruszało się ciało?

RpswQ8hTNwP5p1

Schemat przedstawia wykres zależności prędkości od czasu. Tło białe. Osie odciętych od 0 do 110, co 10; opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0 do 12, co 2; opisana „v, m/s”. Wykres składa się z trzech czerwonych odcinków. Pierwszy: początek w punkcie A (0, 0) i koniec w punkcie B (30, 8). Drugi: początek w punkcie B (30, 8) i koniec w punkcie C (50, 8). Trzeci: początek w punkcie C (50, 8) i koniec w punkcie D (100, 12).

Zastanówmy się teraz, czym różni się ruch w przedziałach czasu AB, BC i CD.

W pierwszym przedziale prędkość rośnie wraz z czasem. Oznacza to, że ten ruch jest ruchem jednostajnie przyspieszonym. Jeśli do wzoru podstawimy współrzędne punktu B, obliczymy przyspieszenie. Uzyskamy wtedy wynik ok. $0,27 \frac{m}{s^{2}}$ .

Kolejny przedział (BC) wykazuje brak zmian prędkości. Oznacza to, że ciało poruszało się ruchem jednostajnym, a przyspieszenie ciała w tym przedziale wynosiło 0 m/sIndeks górny 2.
Ostatni przedział CD, podobnie jak AB, jest ruchem przyspieszonym. Przyspieszenie w tym ruchu wynosi:

a = \frac{v_{k} - v_{p}}{t_{k} - t_{p}}

gdzie: $v_{k}$ – prędkość w punkcie D; $v_{p}$ – prędkość w punkcie C; $t_{k}$ – czas odpowiadający punktowi D; $t_{p}$ – czas odpowiadający punktowi C.
Po wstawieniu do wzoru otrzymujemy rozwiązanie: a = 0,08 m/sIndeks górny 2.

i7lhhhHT3L_1436015383785_0

Polecenia

Polecenie 1

Narysuj wykres zależności prędkości od czasu dla następującej sytuacji: Rowerzysta ruszył z miejsca i poruszał się z przyspieszeniem 4 m/sIndeks górny 2 w czasie 5 s. Następnie zwiększył przyspieszenie do 6 m/sIndeks górny 2 i poruszał się takim ruchem przez 3 s. W ostatnim etapie osiągnął zamierzoną prędkość i poruszał się z nią przez 10 s.

Polecenie 2

Narysuj wykres zależności prędkości od czasu dla ruchu pojazdu poruszającego się po linii prostej z przyspieszeniem, którego zmiany w czasie przedstawia poniższy wykres. Przyjmij, że przed rozpoczęciem ruchu samochód stał w miejscu.

RmYzwDBNhJQEs1

Schemat przedstawia wykres zależności przyśpieszenia od czasu. Tło białe. Osie odciętych od 0 do 10, co 0,5; opisana „t, s”. Oś rzędnych od -1 do 4, co 0,5; opisana „a, m/s do kwadratu”. Wykres składa się z trzech niebieskich odcinków. Pierwszy: początek (0, 3) i koniec (3, 3). Drugi: początek (3, 0) i koniec (7, 0). Trzeci: początek (7, -1) i koniec (10, -1).

Polecenie 3

Strzelec wyborowy oddał strzał do tarczy oddalonej o 800 m. Pocisk poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym i trafił w tarczę po upływie 1 sekundy. Oblicz przyspieszenie, jakie uzyskał pocisk w lufie karabinu o długości 620 mm.

i7lhhhHT3L_d5e341

Podsumowanie

Wykresy pozwalają na graficzne przedstawienie zależności między wielkościami fizycznymi opisującymi ruchy zmienny i jednostajnie prostoliniowy.
W każdym ruchu złożonym można wyróżnić fazy reprezentujące znany nam rodzaj ruchu.

Praca domowa

Polecenie 4.1

Łyżworolkarz przemieszczał się ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością $10 \frac{m}{s}$ . W trakcie ruchu wyprzedził rowerzystę, który w tej samej chwili ruszył z miejsca i zaczął poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem $2 \frac{m}{s^{2}}$ . Oblicz drogę, jaką musi przejechać rowerzysta, aby dogonić łyżworolkarza, i czas, który jest na to potrzebny.

Polecenie 4.2

(Tego zadania nie czytaj i nie rozwiązuj, jeżeli nie chcesz się wyróżnić na następnej lekcji). Na podstawie analizy ruchu jednostajnie przyspieszonego lub jednostajnie opóźnionego, obliczaliśmy przebytą drogę w sytuacjach, w których albo ciało ruszało z punktu startu (czyli prędkość początkowa wynosiła zero), albo zatrzymywało się na końcu ruchu opóźnionego (czyli prędkość końcowa wynosiła zero). Samochód (tak jak w jednym z powyższych przykładów) może jednak jechać ze stałą prędkością, a następnie zwalniać. Może być też tak, że prędkość początkowa pojazdu jest różna od zera i pojazd ten przyspiesza. Jak wtedy obliczymy przebytą drogę? Poniżej widzisz dwa wykresy odpowiadające opisanym sytuacjom. Podane wzory pozwalają obliczyć pola powierzchni. Skorzystaj też z definicji przyspieszenia $a = \frac{v_{k} - v_{p}}{t}$ .

R1MgcHXapPa5a1

Schemat przedstawia dwa wykres zależności prędkości od czasu wraz ze wzorami na drogę. Tło białe. Osie odciętych opisane „t”. Osie rzędnych opisane „v”. Na pierwszym wykresie narysowano niebieski prostokąt i czerwony trójkąt prostokątny. Na osi rzędnych zaznaczono dwie wartości: v₀ i vk (od dołu). Prostokąt lewy dolny róg ma w początku układu współrzędnych. Wysokość od (0, 0) do (0, v₀). Dłuższa przyprostokątna trójkąta pokrywa się z dłuższym, górnym bokiem prostokąta. Punkt v₀ jest wierzchołkiem trójkąta. Druga przyprostokątna ma długość od v₀ do vk. Wewnątrz prostokąta napisano wzór: s₁ = v₀ • t. Wewnątrz trójkąta napisano wzór: S₂ = [(vk - v₀)• t]/2. Na drugim wykresie narysowano niebieski trapez prostokątny i czerwony trójkąt prostokątny. Na osi rzędnych zaznaczono dwie wartości: vk i v₀ (od dołu). Dłuższa podstawa trapezu i bok, z którym tworzy kąt prosty, leżą na osiach układu (podstawa na osi rzędnych). Podstawa ma długość v₀. Krótsza podstawa trapezu ma długość od 0 do vk. Drugi bok trapezu pokrywa się z przeciwprostokątną trójkąta. Krótsza przyprostokątna ma długość od vk do v₀. Leży na tej samej prostej, co krótsza podstawa trapezu. Trójkąt i trapez są ułożone tak, że wspólnie tworzą prostokąt. Wewnątrz trapezu napisano wzór: Scałk = v₀ • t. Wewnątrz trójkąta napisano wzór: S₂= [(v₀ - vk)• t]/2.

Zobacz także

Zajrzyj do zagadnień pokrewnych:

Rozwiązywanie zadań dotyczących ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowegoi4nhNI6TsqRozwiązywanie zadań dotyczących ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego
Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowyiPzKjYFTFpRuch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy

i7lhhhHT3L_d5e411

Zadanie podsumowujące

Ćwiczenie 1

RITm7YRk44kVV1

Rozwiązywanie zadań dotyczących ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego

Podsumowanie wiadomości z kinematyki

Ruchy jednostajny prostoliniowy i jednostajnie przyspieszony prostoliniowy w zadaniach

Przykład 1

Przykład 2

Polecenia

Podsumowanie

Zadanie podsumowujące