Temat

Wielokąty i ich własności

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

IX. Wielokąty. Uczeń:

2) stosuje wzory na pole trójkąta, prostokąta, kwadratu, równoległoboku, rombu, trapezu, a także do wyznaczania długości odcinków o poziomie trudności nie większym niż w przykładach:

a) oblicz najkrótszą wysokość trójkąta prostokątnego o bokach długości: 5 cm, 12 cm i 13 cm;

b) przekątne rombu ABCD mają długości AC = 8 dm i BD = 10 dm. Przekątną BD rombu przedłużono do punktu E w taki sposób, że odcinek BE jest dwa razy dłuższy od tej przekątnej. Oblicz pole trójkąta CDE (zadanie ma dwie odpowiedzi).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii i formułowanie wniosków na ich podstawie.

Cele szczegółowe

1. Definiowanie pojęcia n‑kąta, wyznaczanie liczby przekątnych wielokąta.

2. Obliczanie sumy miar kątów wielokąta.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

1. Definiuje pojęcie n‑kąta, bada liczbę przekątnych n‑kąta, również w języku angielskim.

2. Wyznacza sumę miar kątów n‑kąta.

Metody kształcenia

1. Ćwiczenia praktyczne.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji dowiedzą się, co to jest n‑kąt, jak policzyć liczbę przekątnych n‑kąta oraz sumę kątów n‑kąta.

Polecenie
Nauczyciel pyta uczniów:

- Jak nazywamy wielokąt, który ma trzy boki?

- A jak nazwiesz wielokąt, który ma siedem boków?

- Jak będzie nazywał się wielokąt, który ma n boków?

Realizacja lekcji

Uczniowie podają definicję.

Definicja

- Wielokąt, który ma n boków nazywamy n‑kątem.

Polecenie
Uczniowei rysują dowolny siedmiokąt ABCDEF.

1. Czy odcinek DE jest bokiem wielokąta?

2. Czy odcinek AC jest bokiem wielokąta?

3. Jak nazywa się odcinek AC?

4. Jak nazywa się odcinek BD?

Uczniowie podają definicję.

Definicja

- Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, nieleżące przy tym samym boku.

Polecenie
Ilustracja przedstawia wielokąty z zaznaczonymi przekątnymi. Uczniowie mają za zadanie obliczenie, ile przekątnych mają narysowane wielokąty.

[Ilustracja 1]

Czy potrafisz powiedzieć, ile przekątnych będzie miał siedmiokąt, ośmiokąt?

Nauczyciel z uczniami zapisują wzór na liczbę przekątnych wielokąta.

Twierdzenie

- Niech n będzie liczbą naturalną większą od trzech. Wielokąt o n‑bokach ma $\frac{n\left(n - 3\right)}{2}$ przekątnych.

Polecenie
Uczniowie obliczają liczbę przekątnych 50–kąta.

Polecenie
Uczniowie rysują pięciokąt, którego kolejne boki są do siebie prostopadłe. Nauczyciel prosi uczniów, aby w parach sprawdzili poprawność wykonanych rysunków i omówili możliwości rozwiązania zadania.

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zaobserwowanie, jak policzyć sumę miar kątów wewnętrznych n–kąta. Ważne jest, by uczniowie zauważyli, że każdy n‑kąt można podzielić na n‑2 trójkąty.

[Geogebra aplet]

Po skończonym ćwiczeniu, przedstawiają wyniki swoich obserwacji, odpowiadając na pytania:

- Ile wynosi suma miar kątów w trójkącie?

- Na ile trójkątów można podzielić czworokąt, pięciokąt itp.?

- Czy widzisz zależność między liczbą kątów wielokąta, a liczbą utworzonych trójkątów?

Nauczyciel z uczniami zapisują wzór sumę kątów n‑kąta.

Twierdzenie

- Niech n będzie liczbą naturalną większą od dwóch. Suma miar kątów n–kąta jest równa (n - 2) · 180°.

Polecenie
Uczniowie mają za zadanie wyznaczenie sumy kątów 12‑kąta.

Polecenie dla chętnych:
Czy istnieje wielokąt, który ma sumę kątów równą 1000°?

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia podsumowujące.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Wielokąt, który ma n boków nazywamy n‑kątem.

- Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, nieleżące przy tym samym boku.

- Jeżeli n będzie liczbą naturalną większą od trzech, to wielokąt o n‑bokach ma $\frac{n\left(n - 3\right)}{2}$ przekątnych.

- Jeżeli n będzie liczbą naturalną większą od dwóch, to suma miar kątów n–kąta jest równa (n - 2) · 180°.