Temat

Działania na potęgach o wykładniku całkowitym

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Stosowanie twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych wykładnikach.

2. Obliczanie wartości potęg z wykorzystaniem twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych wykładnikach.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje twierdzenia o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych wykładnikach,

- oblicza wartości potęg z wykorzystaniem twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych wykładnikach.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Konkurs tematyczny.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą stosować prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym.

Realizacja lekcji

Polecenie
Uczniowie, korzystając z komputera zapoznają się z twierdzeniem dotyczącym dzielenia potęg o takich samych wykładnikach.

[Slideshow]

Uczniowie w grupach, wzorując się na odpowiednich twierdzeniach dotyczących działań na potęgach o wykładniku naturalnym formułują twierdzenia o działaniach na potęgach o wykładniku całkowitym. Pierwsza grupa, która poprawnie wypisze wszystkie wzory otrzymuje plusy.

Twierdzenie

- Jeśli a i b są liczbami różnymi od zera, x – liczba całkowita, to:

a) $a^x·b^x=(a·b{)}^x$

b) $\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$

Uczniowie dzielą się na grupy. Nauczyciel zadaje kolejno każdej z grup po jednym pytaniu, odpowiednio z polecenia 2, 3, 4, 5.

Czas na odpowiedź na jedno pytanie - 1 min. Grupa, która bezbłędnie w określonym czasie odpowie na wszystkie zadane pytania, otrzymuje trzy „plusy” lub ocenę.

Polecenie
Oblicz.

a) $2^{-3}·{\left(\frac{1}{8}\right)}^{-3}$

b) $3^{-2}·{\left(\frac{1}{9}\right)}^{-2}$

c) ${\left(-5\right)}^{-1}·{\left(-\frac{1}{25}\right)}^{-1}$

d) ${\left(-0,01\right)}^{-5}·{\left(10\right)}^{-5}$

e) $3^{-3}:{\left(-3\right)}^{-3}$

Polecenie
Uzupełnij podstawę potęgi.

a) $2^{-3}·4^{-3}=..{.}^3$

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}·9^{-4}=..{.}^4$

c) ${\left(2\frac{1}{2}\right)}^{-5}·{\left(-3\right)}^{-5}=..{.}^5$

d) ${\left(-\frac{5}{4}\right)}^{-4}·{\left(-\frac{4}{5}\right)}^{-5}=..{.}^4$

e) ${30}^{-3}:{15}^{-3}=..{.}^3$

Polecenie
Zakładając, że $a\ne 0$ zapisz wyrażenie w postaci jednej potęgi.

a) $(a^{12}·a^{-3}):(a^{-4}·a)$

b) $a^6:\left[a^5:\left(a^{-7}·a^{-1}\right)\right]$

c) $a^8·\left[a^{-3}:\left(a^{-7}·a^{-1}\right)\right]$

d) $\frac{a^{-3}·a^2:a^{-2}}{a^{-4}:a^6}$

e) $\frac{a^5·\left[\left(a^{-3}·a^5\right):\left(a^{-4}:a^3\right)\right]}{a^6:\left(a^{-3}·a\right)}$

Polecenie 
W wykropkowane miejsce wpisz odpowiedni znak <, >, =.

a) $1,2^{-3}...1,1^{-3}$

b) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-6}...{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-6}$

c) ${\left(0,75\right)}^{-5}...{\left(\frac{3}{4}\right)}^{-5}$

d) $2^{-3}...{\left(2^3\right)}^{-3}$

e) ${\left(3^{-1}\right)}^4...3^{-7}$

Polecenie dla chętnych:
Oblicz

$\frac{4^3-2·4^2}{4^{-3}}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania.

- Jeśli a i b są liczbami różnymi od zera, x – liczba całkowita, to:

a) $a^x·b^x=(a·b{)}^x$

b) $\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$