Temat

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje.

Uczeń:

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Odczytywanie liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej z jej wykresu.

3. Określanie liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej na podstawie wzoru opisującego tę funkcję

Efekty uczenia

Uczeń:

- odczytuje liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej z jej wykresu,

- określa liczbę miejsc zerowych na podstawie wzoru opisującego funkcję.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Niedokończone zdania.

Formy pracy

1. Praca Indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie metodą niedokończonych zdań, zainicjowaną przez nauczyciela, porządkują swoje wiadomości na temat funkcji kwadratowej.

Przypominają też definicję i interpretację geometryczną miejsca zerowego funkcji.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na zajęciach będą określać liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej opisanej graficznie oraz algebraicznie.

Uczniowie pracują w grupach.  

Polecenie dla grupy

Naszkicuj wykresy funkcji f i g. Odczytaj z wykresu liczbę miejsc zerowych każdej z tych funkcji.

Grupa 1:  f(x) = (x - 2)Indeks górny 2² - 3, g(x) = -(x + 2)Indeks górny 2² + 2

Grupa 2:  f(x) = -(x - 2)Indeks górny 2² - 4, g(x) = -(x + 1)Indeks górny 2² + 3

Grupa 3:  f(x) = 3(x + 2)Indeks górny 2² , g(x) = -2(x - 3)Indeks górny 2²

Dyskusja – ile miejsc zerowych może mieć funkcja kwadratowa?

Wniosek:

Funkcja kwadratowa może mieć dwa miejsca zerowe, jedno miejsce zerowe lub nie ma wcale miejsc zerowych.

Uczniowie zastanawiają się wspólnie, czy można określić liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej, nie sporządzając jej wykresu. Swoje przypuszczenia sprawdzają, analizując pokaz slajdów. Formułują wniosek.

Polecenie

[pokaz slajdów]

Przeanalizuj uważnie pokaz przedstawiającą położenie wykresu funkcji $y=a(x-p{)}^2+q$ w zależności od współczynników a i q.

Zwróć uwagę w każdym przypadku na znak iloczynu $a·q$. Co zauważasz?  Sformułuj odpowiedni wniosek.

Wniosek

Funkcja kwadratowa  $y=a(x-p{)}^2+q$:

- nie ma miejsc zerowych, gdy $a·q>0$,
- ma jedno miejsce zerowe, gdy $a·q=0$,
- ma dwa miejsca zerowe, gdy $a·q<0$.

Korzystając z wniosku, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie

Określ liczbę miejsc zerowych każdej z funkcji: 
$y=-\frac{3}{8}(x+9{)}^2+2$,
$y=\frac{3}{8}(x-5{)}^2+5$,
$y=-\frac{3}{8}(x+9{)}^2$

Polecenie

Parabola, będąca wykresem funkcji kwadratowej, ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych (-3,2).
Ramiona paraboli są skierowane do góry. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

Polecenie

Określ liczbę rozwiązań równania.

a. $2+(x+1{)}^2=0$

b. $9-(4-x{)}^2=0$

c. $-4x^2+6=0$

Polecenie

Funkcja kwadratowa f ma dwa różne miejsca zerowe xIndeks dolny 1₁ i xIndeks dolny 2₂. Osią symetrii paraboli, będącej wykresem tej funkcji jest prosta x=0.

Wykaż, że:

a. $2·x_1·x_2<0$

b. $x_1+x_2<2$

Polecenie dla chętnych:

Wyznacz wszystkie wartości współczynnika b, dla których funkcja $y=x^2+bx-4$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania.

Funkcja kwadratowa  $y=a(x-p{)}^2+q$:

- nie ma miejsc zerowych, gdy $a·q>0$,
- ma jedno miejsce zerowe, gdy $a·q=0$,
- ma dwa miejsca zerowe, gdy $a·q<0$.