Temat

Dziedzina funkcji

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Zakres podstawowy. Uczeń:

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Określanie dziedziny funkcji.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa dziedzinę funkcji.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie w domu przypominają sobie definicję funkcji oraz poszukują w dostępnych źródłach wiedzy nazw zbiorów X i Y, występujących w tej definicji.

Realizacja lekcji

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest określenie dziedziny funkcji, która obwodowi trójkąta o bokach długości 7 i 8, przyporządkowuje długość trzeciego boku.

[Geogebra aplet]

Uczniowie, powołując się na nierówność trójkąta wnioskują, że aby z trzech odcinków: 7, 8 i c można było zbudować trójkąt, muszą zachodzić warunki: 
c > 0, c + 7 > 8, 7 + 8 > c i c + 8 > 7. 
Stąd: 
c > 1 i c < 15.

A zatem dziedziną funkcji jest przedział (1, 15).

Uczniowie rozważają wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 16. Przez x oznaczają długość jednego z boków prostokąta, zatem sąsiedni bok ma długość 8 - x.

Uczniowie zauważają, że taki prostokąt istnieje, gdy zachodzi warunek: 
x > 0 i 8 - x > 0.

Zapisują funkcję opisującą pole tego prostokąta w zależności od długości boku.

Zatem dziedziną funkcji P jest przedział (0, 8).

Uczniowie wspólnie ustalają definicję dziedziny funkcji.

Definicja dziedziny funkcji

- Dziedziną funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy.

Dyskusja – jak ustalimy dziedzinę funkcji, w której wzorze występuje ułamek lub pierwiastek? Uczniowie rozważają problem na konkretnych przykładach.

Przykład

Uczniowie wyznaczają dziedzinę funkcji $w\left(x\right)=\frac{5}{x+6}$.

Zauważają, że dzielenie przez zero jest niewykonywalne, więc x + 6 ≠ 0.

Zatem dziedziną funkcji w jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od -6.

Zapisują to: D = R\{-6}.

Przykład

Uczniowie wyznaczają dziedzinę funkcji $p\left(x\right)=\sqrt{3-x}$.

Zauważają, że pierwiastek kwadratowy określony jest dla liczb nieujemnych, zatem $3 - x \ge 0$.

Czyli dziedziną funkcji p jest zbiór: $D=(- \infty , 3>$.

Uczniowie podsumowują rozważania.

Wniosek:

- Jeżeli we wzorze funkcji występuje ułamek, to z dziedziny funkcji należy wykluczyć wszystkie te liczby, dla których wartość wyrażenia w mianowniku jest równa 0.

- Jeżeli we wzorze funkcji występuje pierwiastek, to wyrażenie znajdujące się pod znakiem pierwiastka musi przyjmować wartości nieujemne.

Uczniowie wykorzystują zdobyte informacje w zadaniach.

Polecenie
Czy liczba 2 należy do dziedziny funkcji f?

a) $f\left(x\right)=x-2$

b) $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x}$

c) $f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$

d) $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2-4}$

Polecenie
Rozważmy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 33. Do jakiego przedziału należy długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa?

Polecenie
Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) $y=x^3-1$

b) $y=\sqrt{2x-6}$

c) $y=\sqrt[3]{x-4}$

d) $y=\sqrt{4-3x}$

Polecenie
Podaj wszystkie liczby naturalne dodatnie, które należą do dziedziny funkcji.

a) $y=\sqrt{5-x}$

b) $y=\frac{1}{\sqrt{5-x}}$

Polecenie
Rozważmy pary wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych x i y, których iloczyn jest trzy razy większy od sumy. Zapisz liczbę y w zależności od x. Ustal dziedzinę tego przyporządkowania.

Polecenie dla chętnych:
Ustal dziedzinę funkcji $g\left(x\right)=\frac{3}{x^2-2x+1}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania.

- Dziedziną funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy.