Temat

Wielokąty foremne

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

IX. Wielokąty. Uczeń:

1) zna pojęcie wielokąta foremnego.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Wprowadzenie pojęcia „wielokąt foremny”.

2. Obliczanie miary kąta wielokąta foremnego.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozpoznaje wielokąty foremne,

- oblicza miarę kąta wielokąta foremnego.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji poznają wielokąty foremne i nauczą się obliczać ich kąty.

Pytania nauczyciela do uczniów:

- Jakie cechy wspólne mają kwadrat i prostokąt?

- Jakie cechy wspólne mają romb i kwadrat?

- Jakie cechy wspólne mają trójkąt równoboczny i kwadrat?

Podsumowaniem części wprowadzającej jest sformułowanie definicji wielokąta foremnego.

Realizacja lekcji

Definicja - wielokąt foremny.
Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

[Ilustracja 1]

Uczniowie podają przykłady modeli wielokątów foremnych, które spotykają się w otaczającej rzeczywistości (np. sześciokąty w plastrze miodu).

Nauczyciel objaśnia, jak można wykonać przybliżoną konstrukcję wielokąta foremnego.

Jeśli na okręgu zaznaczymy punkty w równych odległościach, a następnie kolejno je połączymy, to otrzymamy wielokąt foremny. Jeśli ze środka okręgu poprowadzimy promienie do każdego z wierzchołków wielokąta, to otrzymamy tyle przystających trójkątów, ile boków ma wielokąt.

Uczniowie pracują indywidulanie lub w parach, korzystając z komputerów. Odkrywają związek między kątami wielokąta foremnego, a kątami trójkątów, na które ten wielokąt podzielono.

Polecenie
Otwórz aplet Geogebry n‑kąty foremne. Zmieniaj liczbę boków n‑kąta i odpowiedz na następujące pytania.

- Jaka jest miara kąta trójkąta przy wierzchołku będącym środkiem okręgu dla n = 4, n = 6, n = 10? A dla n = 36? Dlaczego?

- Jaka jest suma miar kąta wewnętrznego wielokąta i kąta trójkąta przy wierzchołku będącym środkiem okręgu dla n = 3, 5, 12? A dla n = 40? Dlaczego?

- Jaka jest miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego dla n = 9? Wykonaj obliczenia, a następnie sprawdź swój wynik, wykorzystując aplet.

- Jak zmienia się miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego, gdy zwiększa się liczba jego boków? Czy kąt wewnętrzny wielokąta foremnego może mieć miarę 180°?

- Większą liczbę boków ma wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 120° czy 162°?

Wnioski:

- Kąt trójkąta przy wierzchołku będącym środkiem okręgu ma miarę:

gdzie: 
n – liczba boków wielokąta.

- Aby obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego, należy najpierw 360° podzielić przez liczbę boków tego wielokąta, a następnie odjąć tę wartość od 180°.

Uczniowie pracują indywidulanie, rozwiązując następujące zadania. Po zakończonej pracy dyskutują wyniki na forum klasy.

Polecenie
Ile boków ma wielokąt foremny, którego kąt wewnętrzny jest równy 162°?

Polecenie
Ile boków ma wielokąt foremny o sumie kątów 720°?

Polecenie dla chętnych:
Wyprowadź wzór na miarę kąta wewnętrznego n‑kąta foremnego w zależności od n.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułują informacje do zapamiętania.

- Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

- Aby obliczyć kąt wewnętrzny $\alpha$ wielokąta foremnego, należy najpierw 360° podzielić przez liczbę boków tego wielokąta, a następnie odjąć tę wartość od 180°. Miarę kąta $\alpha$ można wyrazić wzorem: