Temat

Ciąg arytmetyczny i geometryczny - zastosowania

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VI. Ciągi. Uczeń:

7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Obliczanie wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego przy danych zależnościach między tymi wyrazami.

3. Zastosowanie ciągów geometrycznych i arytmetycznych do rozwiązywania problemów praktycznych.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza wyrazy ciągu arytmetycznego i geometrycznego przy podanych zależnościach między tymi wyrazami,

- stosuje własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych do rozwiązywania problemów praktycznych.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Metodą niedokończonych zdań uczniowie przypominają poznane wiadomości na temat ciągów arytmetycznych i geometrycznych:

- Ciąg (aIndeks dolny n_n) nazywamy ciągiem arytmetycznym jeżeli …

- Ciąg arytmetyczny (aIndeks dolny n_n) jest rosnący jeżeli …

- Aby obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, należy …

- Ciągiem geometrycznym nazywamy taki ciąg liczbowy (aIndeks dolny n_n), w którym …

- Sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (aIndeks dolny n_n) o ilorazie q ≠ 1 obliczamy według wzoru…

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest wykorzystanie poznanych wcześniej wzorów związanych z ciągiem arytmetycznym i wzorów związanych z ciągiem geometrycznym.

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują Slideshow, przedstawiającą sposób rozwiązania zadania z wykorzystaniem własności ciągów.

[Slideshow]

Wniosek:
- Rozwiązując zadania, w których występują ciągi arytmetyczny i geometryczny należy równocześnie korzystać z własności obu ciągów.

Uczniowie, pracują samodzielnie i rozwiązują zadania.

Polecenie
Pomiędzy liczby 2 i 30 wstaw dwie liczby w taki sposób, aby trzy pierwsze liczby utworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.

Odp.
Otrzymujemy dwie pary liczb: ( - 5) i 12,5 lub 6 i 18.

Polecenie
Dane są liczby 3, x, y, 25. Trzy pierwsze tworzą ciąg arytmetyczny rosnący, trzy ostatnie – ciąg geometryczny. Oblicz x i y.

Odp.
x = 9, y = 15

Polecenie
Bakteriolog badający wzrost komórek bakteryjnych stwierdził, że bakterie na szalce agarowej podwajają swoją liczbę co 10 minut. Zakładając, że początkowa próbka zawierała 100 bakterii oblicz liczbę drobnoustrojów po 4 godzinach hodowli.

Odp.
1677721600 bakterii

Polecenie
Piłka rzucona z balkonu mieszkania znajdującego się na drugim piętrze kamienicy odbija się wielokrotnie od betonowego podłoża podwórka. Po każdym kolejnym odbiciu traci część energii i wznosi się na $\frac{2}{3}$ poprzednio osiągniętej wysokości. Oblicz, jaką drogę w pionie (zarówno w górę jak i w dół) przebyła piłka do czwartego odbicia, wiedząc, że drugie piętro kamienicy znajduje się na wysokości 9 metrów nad powierzchnią podwórka.

Odp.
$37\frac{8}{9}$ m

Polecenie dla chętnych
Długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny. Objętość tego prostopadłościanu jest równa 1000 cmIndeks górny 3³, a pole powierzchni całkowitej 700 cmIndeks górny 2². Oblicz długości krawędzi.

Odp.
Długości krawędzi są równe 5 cm, 10 cm, 20 cm.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wniosek do zapamiętania:

- Rozwiązując zadania, w których występują ciągi arytmetyczny i geometryczny należy równocześnie korzystać z własności obu ciągów.