Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R19yuNz9yKZri1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij luki w zdaniach.

wierzchołków, symetralnych boków, wewnątrz trójkąta, na środku przeciwprostokątnej

Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia się .............................................................. tego trójkąta.
Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem równoodległym od .............................................................. tego trójkąta.
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży ...............................................................
Środek okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym leży ...............................................................

Ćwiczenie 2

R17MjbEKSfbRZ

R1ZtUOQisfi7C

R1JDx2sDkK7Gh1

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to:

środek okręgu na nim opisanego jest punktem przecięcia środkowych tego trójkąta
wysokości w tym trójkącie nie zawierają się w symetralnych jego boków
środek okręgu na nim opisanego leży na zewnątrz tego trójkąta

R1BKrVhNXVX0s2

Ćwiczenie 4

Zaznacz poprawną odpowiedź. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości $1$ i $7$ ma długość równą:

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$5$
$2, 5$
$5 \sqrt{2}$

Rb4J0G3hNc80F2

Ćwiczenie 5

Długość boku trójkąta równobocznego wynosi $18 \sqrt{3}$ . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość:

$18$
$36$
$24$
$12$

RBl3QufdFpz422

Ćwiczenie 6

Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień długości $6$ . Wówczas obwód tego trójkąta jest równy:

$18 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$12 \sqrt{3}$
$18$

Ćwiczenie 7

Odcinek $A C$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ . Punkt $B$ leży na tym okręgu. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeżeli wiadomo, że $2 α - β = 60 °$ .

R1DWJ7DbzO2j5

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C wpisany w okrąg, każdy z boków został przedłużony poza krawędź okręgu. Kąt BAC podpisano literą alfa. Kąt BCA podpisano literą beta. Środek okręgu O leży na boku AC.

Zauważmy, że okrąg o środku w punkcie $O$ jest opisany na trójkącie $A B C$ . Ponieważ odcinek $A C$ jest średnicą tego okręgu, zatem trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

Wobec tego do wyznaczenia miar kątów $α$ i $β$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 α - β = 60 ° \\ α + β = 90 ° \end{cases}$ .

Zatem $α = 50 °$ oraz $β = 40 °$ .

Ćwiczenie 8

Na trójkącie o bokach $\sqrt{10}$ , $\sqrt{13}$ , $\sqrt{23}$ opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Sprawdzamy jakim trójkątem jest trójkąt o podanych długościach boków, porównując sumę kwadratów dwóch krótszych boków z kwadratem długości najdłuższego boku

${\sqrt{10}}^{2} + {\sqrt{13}}^{2} = 10 + 13 = 23 = {\sqrt{23}}^{2}$

Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, zatem $R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{23}$

$R = \frac{\sqrt{23}}{2}$

Ćwiczenie 9

Punkt $O$ jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Oblicz długość promienia $R$ okręgu i pole tego trójkąta.

R1PkGGjWJVddT

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C wpisany w okrąg. Środek okręgu podpisano literą O, punkt ten leży na wysokości opuszczonej z wierzchołka B na odcinek AC, spodek tej wysokości podpisano literą E. Punkt leżący na przecięciu przedłużenia tej wysokości i okręgu podpisano literą D. Odcinek AB , ma długość 43, odcinek AE ma długość cztery.

Stosując twierdzenie Pitagorasa obliczymy wysokość $|BE|$

${| B E |}^{2} + 4^{2} = {(4 \sqrt{3})}^{2}$

${| B E |}^{2} + 16 = 48$

$|B E| = 4 \sqrt{2}$

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $O E A$ otrzymujemy:

${(4 \sqrt{2} - R)}^{2} + 4^{2} = R^{2}$

$32 - 8 \sqrt{2} R + R^{2} + 16 = R^{2}$

$8 \sqrt{2} R = 48$

$R = 3 \sqrt{2}$

$P_{△} = \frac{8 \cdot 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{32 \sqrt{2}}{2} = 16 \sqrt{2}$

$R = 3 \sqrt{2}$

$P_{△} = 16 \sqrt{2}$

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela