Zauważmy, że okrąg o środku w punkcie $O$ jest opisany na trójkącie $ABC$. Ponieważ odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu, zatem trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

Wobec tego do wyznaczenia miar kątów $\alpha$ i $\beta$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}2\alpha -\beta =60°\\ \alpha +\beta =90°\end{array}\right.$.

Zatem $\alpha =50°$ oraz $\beta =40°$.

Sprawdzamy jakim trójkątem jest trójkąt o podanych długościach boków, porównując sumę kwadratów dwóch krótszych boków z kwadratem długości najdłuższego boku

${\sqrt{10}}^2+{\sqrt{13}}^2=10+13=23={\sqrt{23}}^2$

Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, zatem $R=\frac{1}{2}·\sqrt{23}$

$R=\frac{\sqrt{23}}{2}$

Stosując twierdzenie Pitagorasa obliczymy wysokość $\left|\mathrm{BE}\right|$

${\left|BE\right|}^2+4^2={\left(4\sqrt{3}\right)}^2$

${\left|BE\right|}^2+16=48$

$\left|BE\right|=4\sqrt{2}$

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $OEA$ otrzymujemy:

${\left(4\sqrt{2}-R\right)}^2+4^2=R^2$

$32-8\sqrt{2}R+R^2+16=R^2$

$8\sqrt{2}R=48$

$R=3\sqrt{2}$

$P_{△}=\frac{8·4\sqrt{2}}{2}=\frac{32\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}$

$R=3\sqrt{2}$

$P_{△}=16\sqrt{2}$