Symulacja interaktywna

Polecenie 1

Trójkąt, którego boki są liniami środkowymi, nazywamy trójkątem środkowym. Uruchom symulację i obserwuj zależność długości promienia okręgu opisanego na trójkącie środkowym $D E F$ od długości promienia okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ .

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu, w którym przedstawiono trójkąt, którego boki są liniami środkowymi. Jest to trójkąt środkowy D E F. Zwróć szczególną uwagę na zależność długości promienia okręgu opisanego na trójkącie środkowy D E F od długości promienia okręgu opisanego na trójkącie A B C.

RiyUtXFRFzdiM

Polecenie 2

Jaka jest zależność między długościami promieni okręgów opisanych na trójkącie i jego trójkącie środkowym? Odpowiedź uzasadnij.

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie jest $2$ razy większa niż długość promienia okręgu opisanego na jego trójkącie środkowym.

Trójkąt środkowy $D E F$ jest trójkątem podobnym do trójkąta $A B C$ w skali $k = \frac{1}{2}$ .

Zatem $P_{∆ D E F} = \frac{1}{4} P_{∆ A B C}$ .

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych długościach boków i promieniu okręgu na nim opisanego.

Niech $a, b, c$ oznaczają długości boków trójkąta $A B C$ , zaś $R$ – długość promienia okręgu na nim opisanego.

Zatem w trójkącie $D E F$ boki mają długości: $\frac{1}{2} a; \frac{1}{2} b, \frac{1}{2} c$ . Oznaczmy przez $R_{1}$ długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Wtedy:

$R_{1} = \frac{\frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2} b \cdot \frac{1}{2} c}{4 P_{∆ D E F}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{a b c}{4 \cdot \frac{1}{4} P_{∆ A B C}} = \frac{1}{8} \cdot 4 \cdot \frac{a b c}{4 \cdot P_{∆ A B C}} = \frac{1}{2} R$ .

Przeczytaj

Sprawdź się