Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RbIbeAxRaGc4G

Łączenie par. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”. . Kula o promieniu

2, 5 cm

jest wpisana w sześcian o krawędzi

0, 5 dm

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Kula o promieniu

3 dm

jest wpisana w sześcian o przekątnej

3 \sqrt{2} dm

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Kula o objętości

36 π

jest wpisana w sześcian o krawędzi

6

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Oceń prawdziwość podanych zdań zaznaczając odpowiednio prawdę lub fałsz.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Kula o promieniu $2, 5 cm$ jest wpisana w sześcian o krawędzi $0, 5 dm$ .	□	□
Kula o promieniu $3 dm$ jest wpisana w sześcian o przekątnej $3 \sqrt{2} dm$ .	□	□
Kula o objętości $36 π$ jest wpisana w sześcian o krawędzi $6$ .	□	□

Ćwiczenie 2

RIfxib5WkfKnE

Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w sześcian o objętości $216 {cm}^{3}$ . Podaj cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku. Przyjmij przybliżenie $π \approx 3, 14$ .

$P =$ ............

Z objętości sześcianu otrzymujemy:

$a^{3} = 216$

$a = 6 cm$

$R = 3 cm$

$P = 4 π 3^{2} = 36 \cdot 3, 14 = 113, 04$

Ćwiczenie 3

R3Tc2G4LD9VQx

Łączenie par. Wiemy, że w pewien prostopadłościan wpisano kulę o średnicy

4 cm

. Czy dane te wystarczą do obliczenia poniższych wielkości? Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „TAK” albo „NIE”.. Objętość kuli wpisanej w ten prostopadłościan.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE. Objętość tego prostopadłościanu.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE

Wiemy, że w pewien prostopadłościan wpisano kulę o średnicy $4 cm$ . Czy dane te wystarczą do obliczenia poniższych wielkości? Zaznacz przy każdym zdaniu TAK lub NIE.

Zdanie	TAK	NIE
Objętość kuli wpisanej w ten prostopadłościan.	□	□
Objętość tego prostopadłościanu.	□	□
Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.	□	□

Ćwiczenie 4

R48Nzd7OAB4XW

Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości $18$ jest równa:

$972 π$
$2916 π$
$7776 π$
$36 π$

$a = 18$

$R = 9$

$V = \frac{4}{3} π \cdot 9^{3} = 972 π$

Ćwiczenie 5

Szklaną kulę o objętości $288 π {cm}^{3}$ chcemy zapakować w możliwie jak najmniejsze sześcienne kartonowe pudełko z pokrywką. Ile papieru zużyjemy na wykonanie takiego pudełka, nie licząc zakładek potrzebnych do jego sklejenia?

W zadaniu musimy obliczyć pole powierzchni całkowitej sześcianu, który jest opisany na tej kuli.

Wykorzystując dane zadania, otrzymujemy równanie:

$\frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3} = 288 π$

$R^{3} = 216$

$R = 6 cm$

To oznacza, że sześcian opisany na tej kuli ma krawędź długości $12 cm$ . Obliczmy jego pole powierzchni całkowitej:

$P_{c} = 6 \cdot a^{2} = 6 \cdot 12^{2} = 864 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 6

R73hsETRI0Abr

Przeciągnij poprawną odpowiedź.

$6 π$ , $\frac{6}{π}$ , $\frac{3}{π}$ , $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{6}$ , $3 π$

Stosunek pola powierzchni sześcianu do pola powierzchni kuli wpisanej w ten sześcian wynosi: .............

$\frac{P_{s}}{P_{k}} = \frac{6 a^{2}}{4 π {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{6 a^{2}}{π a^{2}} = \frac{6}{π}$

R1Xi8N1LbjqrM3

Ćwiczenie 7

Krawędź sześcianu zwiększono $2$ razy. Czy objętość kuli wpisanej w ten sześcian zwiększy się wówczas czterokrotnie? Wybierz uzasadnienie spośród podanych poniżej odpowiedzi.

Nie, ponieważ skala podobieństwa $k = 2$ co oznacza, że objętość sześcianu zwiększy się $8$ razy, zatem objętość kuli również zwiększy się ośmiokrotnie.
Tak, ponieważ skala podobieństwa $k = 2$ co oznacza, że objętość sześcianu zwiększy się $8$ razy, zatem objętość kuli również zwiększy się ośmiokrotnie.
Nie, skala podobieństwa $k = 2$ co oznacza, że objętość sześcianu zwiększy się $4$ razy.
Tak, skala podobieństwa $k = 2$ co oznacza, że objętość sześcianu zwiększy się $4$ razy.
Nie, objętość kuli zwiększy się również dwukrotnie.
Tak, objętość kuli zwiększy się również dwukrotnie.

Ćwiczenie 8

W sześcian o objętości $512 x^{3}$ wpisano kulę. Oblicz sumę odległości środka kuli od wszystkich wierzchołków tego sześcianu.

Wykonamy odpowiedni rysunek.

R1T9hSkV7jAKo

Ilustracja przedstawia figury rozrysowane na tle w kratkę. Na rysunku znajduje się kwadrat o boku a na osiem kratek. W kwadrat wpisano okrąg o środku w punkcie S i o promieniu S K na 4 kratki poprowadzonym od środka okręgu do środka dolnego boku kwadratu. Poprowadzono również drugi odcinek z punktu S do prawego dolnego boku kwadratu. Promień S K oraz odcinek S B tworzą wraz z połową boku kwadratu trójkąt prostokątny S K B.

Zadanie polega na wyznaczeniu długości odcinka $B S$ (lub innego wynikającego symetrii sześcianu).

Zauważmy, że poszukiwany odcinek, to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego $B K S$ .

Do wyznaczenie długości odcinka $B K$ oraz $K S$ potrzebujemy długości krawędzi sześcianu $a$ .

Wykonujemy obliczenia wykorzystując dane zadania.

$V_{s} = 512 x^{3}$

$a^{3} = 512 x^{3}$

$a = 8 x$

Zatem $|K S| = 4 x$ oraz $|B K| = \frac{1}{2} a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} x$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $B K S$ otrzymujemy

${|B S|}^{2} = {(4 x)}^{2} + {(4 \sqrt{2} x)}^{2}$

${|B S|}^{2} = 48 x^{2}$

$|B S| = 4 \sqrt{3} x$

Suma odległości wynosi $8 \cdot 4 \sqrt{3} x = 32 \sqrt{3} x$ .

Ćwiczenie 9

Wykaż, że stosunek objętości kuli opisanej na sześcianie, do objętości kuli wpisanej w ten sześcian wynosi $3 \sqrt{3}$ .

Weźmy dowolny sześcian i przyjmijmy, że jego krawędź ma długość $2 a$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. (Takie założenie ułatwi obliczenia.).

Stąd, promień kuli wpisanej w ten sześcian ma długość $a$ .

Objętość tej kuli wynosi $V_{1} = \frac{4}{3} π a^{3}$ .

Promień kuli opisanej na sześcianie jest równa połowie przekątnej tego sześcianu.

Stąd $R = \frac{1}{2} \cdot 2 a \sqrt{3} = a \sqrt{3}$ .

Objętość kuli opisanej na sześcianie wynosi $V_{2} = \frac{4}{3} π {(a \sqrt{3})}^{3} = \frac{4}{3} \cdot 3 \sqrt{3} π a^{3} = 4 \sqrt{3} π a^{3}$ .

Zatem:

$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{4 \sqrt{3} π a^{3}}{\frac{4}{3} π a^{3}} = 4 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{4} = 3 \sqrt{3}$ .

Co należało wykazać.

Aplet

Dla nauczyciela