Przez punkt $P$ leżący na boku $AB$ trójkąta $ABC$ poprowadzono dwie proste $k$ i $l$, równoległe odpowiednio do boków $AC$ i $BC$. Prosta $k$ przecięła bok $BC$ w punkcie $K$, a prosta $l$ przecięła bok $AC$ w punkcie $L$. Wiadomo, że pole trójkąta $PBK$ jest cztery razy większe od pola trójkąta $APL$.

R1IGkHJalp2UK

Na ilustracji przedstawiono trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ zaznaczono punkt P. Poprowadzono prostą k, równoległą do boku $AC$, przechodzącą przez punkt D i przecinającą bok $BC$ w punkcie K. Na boku $AC$ zaznaczono punkt L. Poprowadzono prostą l, równoległą bo boku $BC$, przechodzącą przez punkt P i przecinającą bok $AC$ w punkcie L. Kolorem niebieskim zacieniowano trójkąt $ALP$, oraz kolorem czerwonym trójkąt $PKB$.

Podstawami trapezu $ABCD$ są $AB$ i $CD$, a jego przekątne przecinają się w punkcie $P$. Oblicz pole trójkąta $ABC$, jeżeli pole trójkąta $ABP$ jest równe $7$, a pole trójkąta $CDP$ jest równe $112$.

Łącząc środki boków trójkąta $ABC$, dzielimy go na cztery mniejsze trójkąty i środkowy z nich wycinamy. Z pozostałymi trzema narożnymi trójkątami (czyli z tymi, które są zamalowane) postępujemy według zasady opisanej powyżej . Jeśli czynność tę powtórzymy jeszcze raz, to otrzymamy figurę jak na rysunku poniżej.

RTeoNSWiXBiGS

Ilustracja przedstawia trójką A B C, z którego wycięto trójkąt łączący środki boków trójkąta A B C. Z każdego z pozostałych niewyciętych również wycięto trójkąt łączący środki boków, następnie dalej z każdego z pozostałych niewyciętych trójkątów wycięto trójkąt łączący środki boków. Tym sposobem powstał trójkąt wewnątrz którego wycięto jeden duży trójkąt, trzy średnie i dziewięć małych trójkątów.

Oblicz pole tej części trójkąta, która jest zamalowana, wiedząc, że pole trójkąta $ABC$ jest równe $128$.

W trapezie $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$ oraz $\left|AB\right|=a$ i $\left|CD\right|=b$, poprowadzono prostą równoległą do podstaw, która dzieli trapez na dwie części o jednakowych polach. Znajdź długość odcinka tej prostej zawartego między ramionami trapezu.